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誤答から学ぼうシリーズ・論拠を図に頼る

2016.12.29 11:56|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ kero.gif

今回は誤答とまでははっきり言えないちょっと微妙な答案について眺めてみましょう~


問題: 関数  について考える。
(1) f(x) は x>0 を定義域とする逆関数を持つことを示せ。
(2)  のグラフと  のグラフの共有点の個数を求めよ。



それでは微妙例にいってみましょう~


cc1_20161221003442c67.jpg

   cc2_20161221004429fc3.jpg


(1)については特に問題はありません~
具体的に逆関数を明示するというスタイルを取っていますが, f(x) が y>0 を値域に持つ単調増加関数であることに
着目すれば具体的な構成なしに論じることも可能です。下で挙げる正答例では  を求めずに
逆関数の存在を示しています aobara.gif

問題は(2)です。
 のグラフが,  のグラフを縦方向に平行移動しただけであることに着目し,
直線 y=x に接する  のときを基準にして,それより k が大きいか小さいかで場合分けしていく
という発想を用いています。焦点となるのは,図から暗黙の了解として認めていい事実の範囲がどこからどこまでか
という部分です cat_1.gif

まず第一に,「2つのグラフ  の共有点は,あるとしたら直線 y=x 上にある」
という点について考えましょう。これは以前に触れたように(http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-345.html),
逆関数を持つどんな f(x) についても言えるわけではない事実でした。ただ今回の関数では共有点は,
あるとすれば必ず直線 y=x 上にあるのですが,その理由はどれくらい自明と言えるでしょうか。
上の解答例では「  のグラフは下に凸,  のグラフは上に凸」と,簡単に論拠を
示しています。では,もう少し詳しく述べることは出来るでしょうか?
それが出来る人にとっては自明な話なのでしょうけど,詰まってしまう人にとっては全然自明な話ではありません。
全然自明ではないことを,「説明しなくても分かるでしょ,図から自然に判断すれば明らかでしょ,察してよ」と言って
華麗に説明を放棄して流したことになります

答案を書く上で「図より」という表現はとても便利なフレーズではあります。
しかし濫用はよくありません。あらゆる場面において常に「図より」を使ってはいけないということはないのですが,
なるべく言葉での説明とともに用いたいフレーズです。
「図より」を用いても構わないだろうという基準として(あくまで)個人的に思っていることは,

「十分に説明がされ尽くしていて,もはや説明の余地がないもの」
「もはや共通の認識として周知されていて,改めて詳しく述べると逆にくどくなりそうなこと」
「図が無くても答案が成立するが,更に状況を分かりやすくために図を用いているもの」
「図に関する詳細な説明を要求しているような雰囲気ではない」

といった状況を思い浮かべます。
これらの状況とは異なるけれど「図より」を用いている答案でよくあるパターンとしては,例えば

1,「説明しようと思ったら出来るんだけど,ただただ面倒くさいから「図より」でごまかした」
2.「ぼんやりとは分かってるはずなんだけど,上手い説明の仕方が思いつかないから「図より」でごまかした」
3.「正しい保証は全然ないんだけど,他に何も思いつかないので「図より」で強引に押し通して話を進めてしまおう」
4.「実は全然自明なことではないのに,説明不要な自明なことだと思い込んでいたので「図より」で流した」
5.「図の説明よりもっと優先順位の高い部分に時間を割きたい」

のようなものが挙げられます~
これらのものについては採点基準によっては減点対象になり得ます。
つまり「図より」で流すと説明不足として扱われるような採点基準の場合ですね。
答えは合っているのに得点があまり高くないという経験が多い人はこういったところに原因があるのかもしれません。
5.については状況次第では賢明な判断と言えますね。実際の試験の現場では,短い制限時間内でベストな時間の
使い方をしなければいけません。
普段の日々の学習においては,面倒を全部端折る行為は得策ではありません。
いま自分が「図より」で流そうとしている内容が本当に説明不要なくらい自明なことか,ちゃんと説明しようと思ったら
出来るのか
,そういったことを考えながら問題を解きましょう ipon.gif


さて,元の問題に戻ります~
「2つのグラフ  の共有点は,あるとしたら直線 y=x 上にある」ということの理由を
述べるという話でしたね。
2つのグラフ  が直線 y=x の上にない共有点 (a,b) を持っていたとしましょう。
 の2式が成り立ちますが,後者からは更に 
が得られます。従って,  のグラフは (a,b),(b,a) の両方を通ることになります。
対称性から a<b と仮定しても支障はありません。  は単調増加関数なので  でなければ
ならないのですが,これでは b<a となってしまうため不合理です。よって,このような共有点は存在しません。
結局のところ,凹凸云々ではなく単調増加性がポイントだったようですね kojika.gif

この程度まで丁寧に論じないとダメなのかどうかは採点基準次第です。
特に説明なく「共有点は y=x 上にある」だけ書いても許される場合も恐らくはあるでしょうし,
許されない場合もあるでしょう。

そして上の解答例にはもう1箇所,図に根拠を頼っている部分があるんです。
 のグラフが直線 y=x に接するときの k の値を求め,それより k が大きいか小さいかで
場合分けをしている流れになっていますが,1点で接している  のときには,その接点以外には
共有点が無いということはどれくらい明らかなのでしょう。
また,  のときは2点で交わることが前提になっていますが,下図のように1点でしか交わらない
可能性はないのでしょうか。


cc3_2016122100452439a.jpg

冷静に考えてみると, y=x に接してるときには共有点1個でないと奇妙ではあるのですが,
「冷静に考えるとそうあるべき」ことは自明扱いで良いのかという点はとてもビミョーーな話です。
個人的な感覚では,あまりにも直感頼りが過ぎるものはあまり採点する側には好まれないように思います kudan.gif

共有点1個でないと奇妙というのは図を描いてみると何となく分かります。
ただし,この図というのは有限な範囲でしか描けませんね。
「図より」と言われても,その図に描かれている有限な範囲では共有点1個だということしか分かりません。
図に描ききれなかった範囲においても「共有点は1個」の状態が変わらず維持されていることを説明できないといけません。
似たような話が数列分野での類推→数学的帰納法の流れの問題でもあります。



で定義される数列  の一般項を考えてみましょう。







この流れから察するに,2以上の任意の n に対して



が成り立っているような感じですね。
ただそれはあくまでこの段階では推論に過ぎません。たまたま n=5 まではそれが成り立っていましたが
それがこの先もずっと続く保証がまだありません。
でもこの調子だとどう考えてもこの流れが続くでしょう,途中で崩れるというのはおかしい,と思うはずです。
その感覚が今回の問題でいうところの,図からはみ出た範囲でも共有点1個の状態は崩れないでしょう,という
自然な推論の感覚と大体同じではないしょうか m_0243.gif
上記の数列の問題では推論が正しいことを立証するため,この後,数学的帰納法を用いて証明する流れに進みます。
推論を元に  の関係に気付いて等比数列の漸化式の話に帰着させるという作戦だと
帰納法を用いないで立証することもできますね。

今回の問題でも直感的には正しい事実をしっかり説明しておく方が説得力が増して好ましいと思います。
 や  という関数を考えて,その増減を調べ, k の値によって
グラフと x 軸との共有点の個数がどう変化していくのかを調べると良いですね。
そういう類の考察を行った答案はしっかり得点が期待できると思いますが,直感頼りのみで結論に飛んだ答案が
どれくらいの評価になるかについては,これも採点基準次第になりますね。
こういう微妙なテーマについては意見が割れがちです。容認派と否定派に分かれます。
何を良しとして,何を良しとしないかは採点する側のさじ加減でどうにでもなってしまいますので,
うまく問題ごとに空気を読むことが大事ですね。
まぁ丁寧に論じてくれていれば基本的には大丈夫なはずです~ m_0245.gif


それでは正答例にいきます~

cc5_2016122100452683b.jpg
cc6_20161221004526c9e.jpg
cc7_20161221004527de6.jpg
cc8_20161221004528c4b.jpg






  
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誤答から学ぼうシリーズ・正接の取り扱い

2016.12.04 00:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ 箱ドットおにおんmini


今回は三角関数の表示を巡っての,厳密には正しくないよという部類の誤答を見てみます~



問題:  において,関数  の導関数を求めよ。



それでは誤答例です~


bbb18.jpg





一見,何も間違っていないように感じる解答ですし,正解扱いされることもあるかもしれません。
実は,  で止めててくれれば何も問題なかったんです。
 としてしまったことで厄介なことが起きてしまったんです koinoburi06.gif


 という2つの間には僅かなギャップが有るのは分かるでしょうか。
 においてはすべての x に対して  は定義されています。
一方で  の方は  では定義されていません。 
 が  では定義されないからですね。

  においては  なので,  を用いて記述したいならば,



のようにしなければならないわけですね~ k-01.gif

というわけで  を用いずに記述しておいた方が簡単ということになります。
それでは正答例にいきます~


bbb19.jpg

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誤答から学ぼうシリーズ・常用対数

2016.12.03 00:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ げろ

今回は常用対数を用いて桁数を求める問題に関する誤答を見てみます~~


問題: (1)  は何桁の自然数か答えよ。必要ならば  ≒0.3010,  ≒0.4771
を利用してもよい。
(2)  は何桁の自然数か答えよ。必要ならば(1)で与えた近似値と
 を参考にしてもよい。ただし, e は自然対数の底とする。






誤答例です~~~


bbb12_201612021756438ff.jpg

bbb13.jpg


自然数 n が k 桁の自然数であることは,  が成り立つことと同値です。
このため,  の値さえ分かれば  に着目して k の値を求めることが出来ます。
常用対数を利用したこのような桁数の問題は頻出ですよね dog_angry.gif
 などの近似値が問題で与えられ,それに基づいて  の値を出していくというのが
よくある流れです~
(1)ではその流れに忠実に従って20桁と答えを出すことが出来ましたし,桁数もそれで合っています。
(2)も同じようにその流れ通りに30100桁と求めています。ところが,これは不正解です。
正解は30102桁なんです。2桁分ずれてしまいました。同じ手法で解けるはずなのに何故(2)では
正しい答えが得られなかったのでしょうか。

それは  という数値が大きすぎたために,  の近似値を0.3010としたのでは精度が低すぎて
正しい桁数が得られなかったからなんです
実際には  のようになっていて,このことから,
 となるので,30102桁が得られます。

今回のポイントは, n が十分大きいと,それに合わせて常用対数の精度も上げていかないと正しい桁数が
得られない
ということです~~ kaeru_en1.gif
問題文では「(1)で与えた近似値」を参考にしてもよいとありますが,あくまで参考にするだけで実際の計算には
使えません。どうにかこうにかして  の近似値を0.30102…くらいの精度まで格上げしなくては
いけません。つまり  を見出さなければなりません。
先に小数第5位の数字が2であることを見せてしまったので  を示す
という目標がすぐに定まりましたが,実際には小数第5位が2であることも分からない状態から始まっているので
本来はもっと難解です。そしてとても厄介なことに0.301029994…という数値から分かるように,
もう殆ど0.30103に近い数値なんです。そのため,0.30102994≦λ<0.30103 を満たす λ で
上から評価しないといけないため相当シビアです m_0006.gif
(1)と(2)はぱっと見では同じような問題に見えると思いますが,実は(2)はとても難しく,多くの試行錯誤を
要求されることになりそうです。入試で出すならもっと十分な誘導がつくことでしょう~
誘導無しで出すならレポート問題とかには良いかもしれません。

ではどのように2の常用対数を追い詰めていけばよいのでしょうか。
粗い評価なら簡単に色々思いつきます。
例えば,  は比較的  に近いので,  は
およそ3だということになり,  の粗い近似値として0.3が得られます。
また,級数展開に基づいた近似なども有用な手段です。
このような操作をどんどん精度の高いものにしていきます~

さて,問題ではヒントとして  が与えられています。
e の常用対数のやや高い精度での評価式です。これを活用すると良いでしょう。

なので,メルカトル級数
  
なんかを用いて  の近似値を獲得するという作戦なんかが真っ先に浮かびます。
しかしながら,この級数は収束が遅いことが知られていて,もっと効率の良い作戦を模索してみたいです~
少し級数の工夫をしてみます~

1<x<1 において,


が成り立つことを示すことが出来ます。この2式を引くと,

が得られます。奇数乗しか出てこない上に,ずっと係数が正であるような項が続いてくれるので,
収束の速さが期待できそうです。では代入する x の値をいくらにしましょう。
 となるように  とする案もあるでしょう。ですが,もっと効率を上げたいと思います。
このような級数(マクローリン級数)は x の値が0に近いほど近似の精度が良くなるのですが,  より
もっと小さい値を代入したいです。
ここで再び  が比較的  に近いことに着目してみましょう。




これを活用してみます。
 となるのは  のときで,なかなか小さい値です。



は十分収束が速く,はじめの  だけでも十分近似できています(誤差が約  )。
このため,  は精度の高い  の近似値になっています~ m_0100.gif
近似が出来ていることを保証するために正答例では



が成り立っていることを検証しています。誤差がこれだけ小さいなら問題なく正しい答えが得られます~
ここまで述べたことを以下の正答例で丁寧にまとめていきます~ m_0245.gif





bbb14.jpg
bbb15.jpg
bbb16.jpg
bbb17.jpg





  

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