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2017年東大理系数学第1問

2017.03.08 13:13|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東大入試理系数学の第1問を見てみます~ げろ

今年の東大入試は巷で言われているように例年に比べるとだいぶぬるい印象です。
試験としては十分に機能するのだと思いますが,もしこの傾向がずっと続いていくのならちょっと物足りないですね~

第1問は三角関数と2次関数の融合のような問題です。
難易度的にはやや易しめ。
問題はこちら~

2017tokyo1.jpg


2つの三角関数 f(θ), g(θ) が主役ですが, x=cosθ の置き換えにより,
三角関数から多項式に移行します~
g(θ) の最小値についての設問が(2)に出てきますが,実質的には2次関数の問題になってしまう,
というのがあらすじですかね cat_4.gif

それでは(1)をさくっと処理してしまいます。
3倍角の公式と2倍角の公式を用いて f(θ) を cosθ の多項式に直してしまえばOKです~
方程式 f(θ)-f(0)=0 は θ=0 を解に持つので cosθ-cos 0 すなわち x-1 は
x の多項式で表した f(θ)-f(0) の因数の1つとして現れます car2_truck.gif
このことから, g(θ) も x の多項式で表すことができるわけです。

kkk1.jpg


0<θ<π のとき, -1<x<1 です。
この範囲において g(θ) の最小値を考えますが, θ を一旦置いといて、
x の2次関数として捉えていきます。
よくある軸の位置で場合分けする典型問題です~ dog_right.gif



とおきます~
y=G(x) のグラフの軸の方程式は  です。
軸が区間 -1<x<1 に含まれているかどうかで事情が変わってきますね。
 または  が成り立つときには区間 -1<x<1 において
G(x) は最小値を持ちません。  の場合に限り,区間 -1<x<1 における最小値が
存在し,それが0になることから  という関係式が得られます~ kiraneko.gif



kkk2.jpg
kkk3.jpg



軸の位置で場合分けして  の条件を見い出しましたが,
落ち着いて吟味すると場合分けを回避することもできます。
区間 -1<x<1 において最小値があるということは,この区間において2次関数 G(x) が
単調増加であったり単調減少であったりしてはいけません。閉区間ではなくて開区間だからですね。
-1でも1でもないその間の何処かで最小値を取らなければいけません。
G(x) は区間のはじめでは単調減少していて,頂点のところで最小値を取り,以後は単調増加する。
このような状況になっていなければならないわけです。
ということで軸が区間内にあることから  が得られます。

kkk4.jpg



ところで,  とおくと, 
というのは y=F(t) のグラフ上の2点 (1,F(1)),(x,F(x))を通る直線の傾きを表しています。
t が1から x まで動いたときの G(x) の平均変化率と言っても良いでしょう。
-1<x<1 で考えるということは (x,F(x)) は (1,F(1)) より左側にあることになりますね。
-1<x<1 で g(θ) の最小値が0であるということは,この傾きが最小値0だということです。
「傾きが常に0以上であり,0になることもある」
という点に着目して条件式を立ててみましょう~ kasabake.gif

F(t) が単調増加な3次関数ならば決して平均変化率が0になることはないので, F(t) は極値を
持つタイプの3次関数です。
x=α で極大値 M, x=β で極小値 m を取ると仮定すると, m≦F(1)≦M でなければいけません。
そうでないなら y=F(t) のグラフは t 軸に平行な直線 y=F(1) と共有点を1個しか持たないからです。
また,平均変化率が負にならないためには -1<x<1 で常に F(x)≦F(1) が成り立たなければいけません。
これが実現するのは,  の形で書けるときに限られることを
検証していきましょう~ kaeru_yodare2.gif


kkk6.jpg
kkk7.jpg
kkk8_201703081250327f2.jpg

kkk9.jpg
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2017年センター試験数学2B大問5

2017.02.09 13:16|大学入試問題
どもども。


今回は今年のセンター数学2B第5問を見てみます~ 箱ドットおにおんmini
「確率分布と統計的推測」の分野からの出題です~
数列・ベクトルの両方を完成させるのは困難だという人の駆け込み寺的な立ち位置の選択第5問ですが,
今年は過去2年とはちょっと違っていますね。
期待値周辺と2項分布辺りくらいまでおさえておけば半分弱の得点が出来たのがここ2年くらいの傾向でしたが,
今年は期待値を求める設問はなく,全くの未習の人でも何となく正解できちゃうサービス設問もなく,
はじめの空欄から埋められなくなってしまう可能性も十分にある構成になっています。
いきなり2項分布の平均と標準偏差に関する連立方程式を立てて解く設問ですもんね。
数列とベクトルの問題ははじめの空欄はサービス問題になっていたのに,第5問だけは未習者を門前払いしてきます
その代わり埋める空欄の個数は数列・ベクトルより少なくなっていますね。
過去2年は区間推定の問題なんかもあり,この単元を最後まで学びきってないと解ききれない厄介さがありましたが,
今年は区間推定の問題はなく,代わりに確率密度関数が出題され,第2問に続いて積分が登場します。
個人的には区間推定よりもこちらの方が解きやすい印象があったので,序盤は面倒だけど後半はかなり易しく感じました~

ほぼ標準ルートの一本道ですが,ささっと眺めていきましょう~
1回の試行につき事象Aの起きる確率は p, 起きない確率は 1-p で, n 回の試行のうち
Aが k 回起こる確率は反復試行の確率の考え方から  と表せます。
このことからAが起こる回数 W を確率変数とみなすと,その分布は2項分布 B(n,p) に従います yotto.gif



によって n と p に関する連立方程式が立ちますので,それを解いていけば(1)は終了。

(2)では W の分布を正規分布で近似し,正規分布表を利用するため変数の置換を施して標準正規分布に移行します~
指示通りに  という置換を施せばOKです~ m_0001.gif



によって計算ができます~




jjj39.jpg



(3)ではいよいよ確率密度関数が登場です~
親切にも,  という平均を求める式を与えてくれています。
覚えてなかった人はラッキーでしたね。
y=f(x) のグラフと x 軸が囲む領域は三角形になっています。 全確率=1 なので,この三角形の面積は1です。
 は確率密度関数を  の区間で積分することで計算できます。
E(X) は定義どおりに計算すればOKです。
最後は Y=2X+7 という変換を考えるようですが, E(Y)=2E(X)+7 で計算すればよいだけなので,
数列とべクトルと比べると最後の設問はかなり解きやすいです kuma_fly.gif



jjj40.jpg

jjj41.jpg





数列やベクトルと比べると解法の選択の幅は広くない分野ですが,確率密度関数を用いた計算の箇所は
上の流れより多少簡単に出来ます。

 は結局のところ台形の面積を1つ計算すれば良いので,
わざわざ積分計算を実行しなくても良いです~ korobo.gif



jjj42.jpg



また,平均    は三角形の重心の x 座標を表します。
3頂点の座標がすぐ分かるので,それを使うと速いです kudan.gif




jjj43.jpg






   

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2017年センター試験数学2B大問4

2017.02.06 14:15|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター数学2Bの第4問です~ 算数mini
例年同様でベクトルの問題になっています~
昨年の追試は正八角形を題材にした問題で非常に難しかったのですが,それを易しくしたような類題に
なっています。正六角形を題材にした問題で,馴染みのある受験生も多かったことだろうと思われます。
しかも「図形と方程式」や「図形の性質」のような分野の要素もあるため,
殆どベクトルを使わずに解いてしまうことも出来てしまいます。
1次独立性やベクトル方程式など,べクトル特有の諸概念の理解が甘い受験生にとってはラッキーでした。


まずは誘導に沿って自然な流れで解いていきます。
と言っても様々な解き方ができるので何が一番自然かというのが決めにくい問題ですが~
まぁベクトルの問題なのでベクトルを使って解いていくのが恐らく自然なのでしょう~

(1)はBとDの座標を答える設問です。
これは「三角関数」分野の雰囲気も漂っていますね。べクトルの要素は薄いです。
極座標的な考え方で埋めておくと良いでしょう。

(2)は  の成分表示を求めるのが目標です。
MはBDの中点なので,  は  や, 
  で計算すると良いでしょう。
 は  としても良いし,正六角形の特性から 
とするのも良いでしょう。
 を  と2通りに表して,成分比較により
r と s に関する連立方程式を立てる,という流れになっているので,それに従って r と s を出しましょう~ eto_ushi.gif

(3)は(2)の話とは基本的に関係がないので,(2)が詰んでしまった人は諦めずに(3)に挑んでみるべきですね。
はじめの  なんかはサービス問題ですよ~
さて,  のなす角に関する設問が最後に待ち構えているので,
まずはHの座標を出していきたいという流れです。
ここの計算はアプローチの仕方が結構人によって分かれそうですね。
ベクトルの問題で「垂直」「垂線」「直角」「直交」などのキーワードが出てきたら「内積=0」と結びつけて考える
というのが定石なので,その方針で解いていくという人も多いでしょうし,直線CHの方程式を求めて直線 y=a 
との交点を求めるという「図形と方程式」的な解き方で攻めた人も多かったのではないでしょうか。
他にも色々なアプローチの仕方があるのでそれは後で触れることにしましょう。まずは内積=0で解きます。

最後は  のなす角 θ について,  が成り立つような a の値を求めます。



という方程式を解いたという人が多数派だと思います~ kame.gif



jjj17.jpg
jjj18.jpg

jjj19.jpg



それでは今回も別ルートを検討していきます~
まずは相似,平行線と線分の比に着目したアプローチその1です。
下の図において, AI:AJ=AM:AN=MI:NJ が成り立つことに着目して必要な長さや比を求めてみます。
また,MはBDの中点であるのと同時に,BDとOCの交点でもあるので,
ここでは敢えてそれに着目してMの座標を求めてみます。


jjj20.jpg
jjj21.jpg


続いて相似に着目する方針その2として,下の図のようにBCとANを延長してその交点Kをとってみます。
△ADM≡△KBM と △ADN∽△KCN に着目して設問に答えていきます~ kawauso.gif



jjj22.jpg
jjj23.jpg

△ADN∽△KCN に着目する代わりにNが△BDKの重心になっている(2本の中線の交点だから)ことに
着目して,重心の性質から DN:NC=2:1 を導くのもよいでしょう~


続いてはチェバの定理と角の二等分線の性質を使ってみます。
下の図において△ACDにチェバの定理を適用し, CN:ND=1:2 を求めます。
∠NDM=∠ADM=30° なので,△ADNに角の二等分線の性質を用いると,
AM:MN=DA:DN が成り立ちます。このことから r が求められますね。


jjj24.jpg
    jjj25.jpg

残りの空欄は上の解答と同様なので割愛します~

チェバの定理を使った解法があるなら,メネラウスもいけるでしょう。
△OCDと直線ANに関してメネラウスの定理を使って CN:ND=1:2 を求め,
同様に△ADNと直線OCに関してメネラウスの定理を使って AM:MN=3:1 を求めることが出来ます kasabake.gif



jjj26.jpg



続いて面積比を使ったアプローチです~
一般に下図のような状況において,どちらも  が成り立ちますが,それを活用していきます。



jjj27.jpg



CN:ND=△AMC:△AMD であり, AM:MN=四角形ACMD:△CDM です。
よって面積比の計算で r や s が求めていけます。
まぁチェバの定理は面積比を使った証明から導くことが多いので,チェバの定理を用いた解法と
やってることは結局同じなのかもしれません。


jjj28.jpg
jjj29.jpg


なお,MがCOの中点,OがADの中点,ということを活かして
△CDM=△ODM=OAM=△CAM=S を導くと,上の解法より更に楽に△CAMの面積まで到達できます kaeru_en1.gif




それではぼちぼち(3)の考察に進みたいと思います~

Hの座標を求めるにあたっては,既に述べたように直線CHの方程式を求めて直線 y=a との交点を出す
というアプローチがありました。「直線CHの方程式」に関してはごくごく自然に1次関数の形式で求めるほかに
ベクトル方程式の形式で求める発想もあります。

まずは1次関数形式で求めてみましょう~
 の場合のみCHは y 軸と平行な直線になってしまうので例外とし,それ以外の場合について
直線EPの傾きが  なので,EPと垂直な直線CHの傾きは   です。
Cを通る傾き   の直線を求めたら良いですね。


jjj30a.jpg


ベクトル方程式として求める場合は  のような例外を気にする必要はありません。
CHの方向ベクトルとして,EPの法線ベクトルの1つである  を選んでくることができるので
直線CHのベクトル方程式は  ( k は実数)
で与えられます。


jjj30b.jpg



また,(2)でやってきたみたいに相似を利用したアプローチも可能です。
下の図を見て分かるように,相似な直角三角形がたくさん隠れています。
特に △EFP∽△CQH に着目してみます。


jjj31.jpg


最後のなす角θの問題について考えてみましょう。
 なのでθは鋭角です。2直線OP,OHのなす鋭角を考察する問題 として捉えられますが,
「2直線のなす角」問題と言えば,高校数学ではベタな手法を3つ習います。
「ベクトルの内積を使ってなす角のcosの値を出す」,「直線の傾きとtanの関係を加法定理を使って調べる」,
「複素数平面上の点の回転と偏角の関係を調べる」の3つです。最後のは数3の内容です。
ほかには適当に三角形をっ作って余弦定理を使って cosθ を出すような手法もありますが,
余弦定理の話と内積の話は大体同じことをやっています。

はじめに内積を使ったアプローチを試してみたので,今度は加法定理を使ってみます m_0006.gif
Pの位置について a≧0 と a<0 の場合に分けて考えます。
a=0 なら3点O,H,Pは一直線上に並ぶので明らかに条件に適しません。
実質的には a>0 か a<0 です。
更にいうと, a=±1 のときにはHが y 軸上に位置してしまうので傾きが定義できません。
そこで a=±1 の場合は例外扱いにします。


jjj32.jpg
jjj33.jpg



今度は複素数平面を使ったアプローチです。
xy 平面と複素数平面の自然な対応を考えましょう。
点Pは 1+ai という複素数を表すことになり,この点を原点のまわりに ±θ だけ回転移動した点は
 (複号同順) と表せます。 
であることから,より具体的には  です。
これを X+Yi の形に整理したとき,3点  が同一直線上に並ぶことに着目して
 を満たす実数 k が存在することから両辺における実部と虚部の比較で
a と k に関する連立方程式が立てられます。



jjj34.jpg
jjj35.jpg




上の解法では cosθ だけでなく sinθ も出てきました。
sinθ が分かっているときには,三角比を用いた三角形の面積公式と絡めたアプローチが出来ます。
△OPH の面積を2通りに表すことで立式してみましょう~


jjj36.jpg




さて,ここまでのいくつかの解法を見ていると,

といった値が出てきています。
これらの値のうちどれか1つでも分かっていると, ∠HOP=∠POA=θ であることや △OPH が
HO=HP の二等辺三角形であることに気付けたりします rabi_smile.gif
 ということは辺の比が5:12:13の直角三角形と関連付けしていくことが出来ますが,
結局のところ原点, (1,0),(1,a) を頂点に持つ直角三角形がこのような辺の比を持てばよいわけです。
これで非常に早く答えが出せます。




jjj37.jpg



辺の比が5:12:13の直角三角形と関連付けしていくなら更に次のようなスピード解法も考えられます rokuro.gif
直線OAの上向き法線ベクトル (-a,1) の成分表示と5:12:13の比を絡めていきます。
下図にある通り | a |:1=5:12 なわけです。
物理に出てくる力の分解みたいですね。


jjj38.jpg






   

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