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平成26年度 【前期】 宮城県公立高校入試 数学 第四問

2014.02.12 00:00|高校入試問題
今回は今年の宮城県の前期公立高校入試の第4問をやりますー


問題はこの辺などから~~ kaerum mini
http://www.kahoku.co.jp/spe/kokonyushi2014/img-204133424.pdf


図形の問題です~~
平行線と線分の比の関係などを駆使する問題です~~
昨年と同様に前期試験では円の性質があまり出てきませんねー

最後に待ち構えているのは面積比の設問です。
合同・相似・円あたりはみんな熱心に勉強するのですが
面積比の問題については割と盲点になりやすいんですよねーー rabi_happy.gif
しっかり理解ておきたいところです~



まず最初は平行線と線分比の関係を使って線分 DE の長さを求める設問です。
DE//BCなので AD:AB=DE:BC が成り立つので,この関係式を利用します~ poloneck.gif


i1_2014021020463223e.jpg




ここまではまぁ準備運動です~ body_jump.gif

ここから図形がだんだん複雑になっていきますよ~
DE を E のある側に延長してその上に DE:EF=1:3 となるように点 F を取ったようです。
このとき △ADE∽△CFE であることを証明するのが次の設問です~

i2_20140210204633c8a.jpg

三角形の相似条件は3つほどありましたけど,
使う機会の多さでは圧倒的に「対応する2組の角がそれぞれ等しい」が首位になるでしょう。
そのおかげで残り2つの存在感が薄れてしまいがちです~ car2_dump.gif

この設問では3つの条件どれを使っても証明することが出来るんですが
実は存在感の薄い「対応する2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」を使うのが
一番記述量が少なく済みます~ dog_happy.gif

対頂角は等しいので ∠AED=∠CEF であることはすぐ分かると思います。
それを挟む対応する2辺について比が 1:3 になっていることから証明ができます~

i3_20140210204633d03.jpg




与えられた図を見て 「あれ?四角形 BCFD って平行四辺形じゃね
って思った人はいませんか?

実際それは正しい直感です。
DF=BC=12cm, DF//BC から1組の対辺が平行で,かつ長さが等しいことが分かるので
確かに四角形 BCFD は平行四辺形になります~

三角形の合同条件や相似条件だけではなく,
四角形が平行四辺形や長方形や正方形やひし形になるための条件もしっかりおさえておきましょう~

四角形 BCFD は平行四辺形であることを利用すると DF//BC だけではなく
DB//FC という平行関係も得られるので,これを利用して
△ADE と △CFE において対応する2組の角が等しいことを述べることが出来ます~ patikapa.gif


i4_20140210204634e9b.jpg



同様に3つ目の条件「対応する3組の辺の比が全て等しい」ことを利用した証明もできます~

以下の証明例は前半の,四角形 BCFD が平行四辺形であることを述べる部分は割愛してあります~

i5_2014021020463421b.jpg



最後の設問は,線分 BF を F のある側に延長し,その上に BF:FH=3:1 となるように
点 H をとるとき, △ADE:△CHG を求めるというものです~


i6_201402102046355d6.jpg



基本方針としては底辺分割の原理を使って
他の三角形や四角形の面積との比を経由しながら最終的に △ADE と △CHG の面積比と結びつける
というものになります~ pig01.gif

三角形の面積公式といえば,おなじみの 底辺×高さ÷2 ですよね。
この公式により,底辺が共通な2つの三角形の面積の比は高さの比と一致するし,
高さが等しい2つの三角形の面積比は底辺の比と一致します。

この原理に基づくと,例えば △ADE:△BDE=AD:BD=1:3 であることが分かります~
また, △BDE:△BFE=DE:FE=1:3(=3:9) であることも分かります~
この2式を組み合わせれば, △BFE との面積比を経由して △ADE:△BFE=1:3×3=1:9
であることが分かるわけですね。
このような考え方を繰り返していって,間にいろいろな三角形などの面積比を挟みながら
最終的に △ADE と △CHG の面積比と結びつけたいわけですよ~ apple01.gif

ここでは一例として, △ADE と △CHG の面積が △FCG の面積のそれぞれ何倍になるかを
求めて答えを出してみたいと思います~ sreep_dog.gif




i7_20140210204702c6a.jpg


△CHG の面積が △FCG の面積の何倍かを求めるためには, 
BG:GF:FH がいくらになるかというのが必要になってきます。
これは仮定の BF:FH=3:1 と, △GEF∽△GCB から得られる FG:BG=3:4 を
組み合わせることで解決します。 FH=a とおいたとき, FG, GB を a の式で表してみると
良いと思いますよ~ hunayurei.gif


i8_20140210204703fb9.jpg


底辺分割の原理の他には,相似な2つの図形の面積比が相似比の2乗になる
という性質を利用することも出来ます~
最近はこの事実も高校から中学数学の範囲に戻ってきたようですねー

この事実を利用すれば上の解法でも △ADE=(7/36)△FCG であることに
もう少し早く到達できるようになったりします hamster_2.gif

i9_20140210204703e21.jpg





ところで, AD:DB=HF:FB=1:3 なので実は AH//DF//BC が成り立っています~ heart2_glitter.gif
直線 DF と線分 CH の交点を I とします。
△ABC と △HBC は底辺 BC が共通で高さも等しいので面積が等しいです。
△ABC に線分 DE を引いたものを高さを変えずにぐにょーーんと右側に寄せたら
△HBC に線分 FI を引いた図形になるんですよね~(いわゆる等積変形
DE=FI=(1/4)BC=3cm であることからも確かめられますが △ADE=△HFI です~
そういわけで △HFI と △HCG の面積比較をしてもよいことになります~ rabi_right.gif

あるいは △ABC-△GBC=△HBC-△GBC より △ABG=△HCG であるから
△ADE と △ABG の面積比較をするという発想でもいいわけです~

i10_2014021020470493a.jpg






また,面積計算の原点に立ち返って 底辺×高さ÷2 の公式を使っていくという発想も出来たりします s2_sum_beach.gif

△HCG は2つの三角形 △GCF と △HCF に分けて考えることにしましょう~
△ADE は AD(=2cm) を底辺としてみます。
△GCF と △HCF は FC(=6cm) を底辺としてみます。
あとは高さの比が分かればよいですね。

下の図のように垂線 GJ, HK, EL を引いて,
三角形の相似関係を駆使して高さの比も出していくことが出来ます~

以下の解答例では既に1回記述してある △GEF∽△GCB の証明部分と
GF:HF=9:7 を求める部分は割愛してあります~




i11_20140210204705e3c.jpg

i12_20140210204705c07.jpg


i13_201402102047168b9.jpg










とりあえずこれで今年の前期公立高校入試の問題は全部網羅できましたね~~

これにて解散! zashiki.gif









               
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平成26年度 【前期】 宮城県公立高校入試 数学 第三問

2014.02.11 00:00|高校入試問題
どもども。


今回は今年の宮城県の前期公立高校入試の第3問をやりますー


問題はこの辺などから~~ 箱ドットおにおん2mini
http://www.kahoku.co.jp/spe/kokonyushi2014/img-204133424.pdf


何だか面倒くさそうな1次関数の応用問題です~
何が面倒くさいか。それは問題文を読むのがかったるい

問題文の長い問題はシチュエーションを理解するだけで時間が掛かるからあまり好きではないんすよねー
理科でも実験の手順とかをやたら長々と述べてある長文の問題とかよくありますよね。
あーいうのはなかなか「さぁ解いてやるぜーー 」という意欲が沸かなくて困っちゃうんですよねぇー

・・・という感じの1次関数の問題ですよ~
宮城県の公立高校入試はこういう問題多いですね。


さて,では問題のシチュエーションを理解していきましょう~
太郎さんが自転車で公園まで一本道を駆け抜けていくんだそうです~ jitensya.gif
ただ,途中に2ヶ所工事している場所があり,
そこでは30秒毎に赤と青が切り替わる信号機で交通整理されてるらしいのです~
運が悪く赤信号のタイミングで信号機地点にやって来てしまうと
何秒か足止めを食らってしまうから気をつけてねーー
というシチューションらしい。


h1_20140210022315f73.jpg



自宅から信号Aまで300m,信号Aから信号Bまでも300m,
信号Bから公園までは400mという位置関係らしいですね、
自宅から公園までは1000mあるわけです~

また,信号A,Bはそれぞれ別々のタイミングで赤青が切り替わるようなので
それも注意しておきたいところです。


まず最初の設問は太郎さんの移動速度を求めよ,というものですな。
ちょうど家を出てから75秒で信号Aに到達したみたいです~
ということは,300mの道のりを75秒で移動するスピードだということですね hanaji03.gif



h2_201402100223163c4.jpg

1秒で4m。
うーん,普通の歩道なんかだとそのスピードを維持し続けるってのは何だか危ないですねー h-ichijiteisi.gif









ここら辺からだんだん話がややこしくなってきますよー

太郎さんは信号Aで30秒足止めを食らったようです。
つまり信号Aに着いた瞬間に赤信号になってしまったわけですね。
なんて運が悪いんでしょうか ga-n01.gif
ていうか信号Aに着くまで秒速4mを保ってるのだから超急ブレーキをかけてますよ太郎さん。
慣性の法則で吹っ飛びますよ太郎さん。

30秒待った後,再び出発するわけですが信号Bに差し掛かったとき
またもや赤信号で足止め
を食らっていまいます。
相変わらず運が悪いですねー。
ここでは何秒停止していたのかは問題文では説明されていません。
ここの停止時間は後で設問で問われていますので,一旦保留しておきましょう。

ちなみに,信号AとBの間の距離も300mだったので,
自宅から信号Aまでと同じく75秒を要します。
わざわざ秒速4mを使って所要時間を計算し直す必要はないですよ~ fuurin04.gif

信号Bが青になった後は公園までノンストップで駆け抜けます~
公園に着いたのは自宅を出てからちょうど300秒後だったそうです~



h3_20140210022316411.jpg




次の設問は,自宅を出てから150秒後には自宅から何m離れた地点にいるかを答えるものです~

上のグラフを見てみると,150秒経過時は信号Bに向かってせっせと自転車をこいでいるタイミング
であることが分かりますね。
信号Aが青になって再始動してから45秒後なので,信号Aのある地点より更に
4(m/秒)×45(秒)=180(m) だけ進んだ地点にいる
ことになります~ crown04.gif



h4_20140210022317ec9.jpg




他にもいくつかの考え方で答えの480mを求めることが出来るのでちょっとだけ挙げてみます~

まず,上の解法以上に簡単に求める方法があります。
太郎さんの移動速度は信号待ちしているとき以外は常に一定で秒速4mですよね。
150秒間のうち信号待ちしていたのが30秒だから,
残りの120秒はずっと秒速4mで移動していたことになります 8190575.gif

h5_20140210022317e58.jpg



1次関数の応用問題ということなので直線の式を利用してみる手もあります~
太郎さんが家を出て x 秒後に太郎さんは自宅から y m 離れた地点にいるとして
x と y の間の関係式を求めます。
グラフを見ても分かりますが 105≦x≦180 のときは1つの直線の式で y を表すことが出来て
x=150 はその部分に含まれています。
グラフの横軸は単位が「秒」,縦軸の単位は「m」なので
太郎さんの移動速度が秒速4mであることから,直線の傾きは4です~

y=4x+k の形で書けるのであとは点 (105,300) を通ることから k を求めればOK~ 8187095.gif
あとは得られた直線の式に x=150 を代入して y の値を求めてください~


h6_201402100223184b9.jpg





次の設問へ進みましょう~

信号Bで足止めを食らったのが何秒かを求めるものです~
これも色々な考え方で求めることが出来ます~




まずは信号Bから先の残りの400mを移動するのに何秒かかるかに着目する考え方で解いてみましょう~

秒速4mだと400mを移動するのに 400÷4=100(秒) かかるわけですね。
自宅を出てから300秒で公園に着いているので,
その100秒前に信号Bから出発した事になります。
つまり信号Bから出発したのは200秒経過時だということになります~~
180秒経過時に信号Bに着いているので,停止していた時間は 200-180=20(秒) と分かります~ 8184765.gif

信号Bに着いたのが180秒経過時だから,その後120秒かけて公園に着いているので
120-100=20(秒) として求めることも出来ますねー


h7_20140210022344998.jpg





今度は,そもそも1000mの距離を秒速4mで移動するのに何秒かかるかに着目してみましょう~

もし信号AでもBでも足止めを食らわなかったとしたら,
公園まで 1000÷4=250(秒) あれば着いてしまうのです~
実際は300秒かかってるわけだから,全体で50秒間信号待ちをしていたことになるわけですねー

このうち信号Aで止まっていたのは30秒だったので
信号Bで止まっていたのは 50-30=20(秒) って分かりますねー 8257300.gif



h11_20140210022347b05.jpg




今度は1つ前の設問で 105≦x≦180 において y=4x-120 が成り立つことを
求めていた場合に有効な考え方になります~

もし信号Bで足止めを食らわなければ, x>180 のときも同じ式 y=4x-120 が成り立つ
はずです。このとき, 1000=4x-120 とおくと x=280(秒) が出てきます。

信号Bで足止めを食らわなければ,280秒で公園に着いてしまうのです 8269809.gif
実際は300秒かかっているので,信号Bでは 300-280=20(秒) だけ停止してたことになります。


h8_2014021002234507f.jpg
h9_20140210022345c11.jpg




今度は信号Bを越えた後に成り立つ直線の式を求めてみます~

これはやはり傾き4の直線です。あとは点 (300,1000) を通るように調整してやればよいですね。
ここで得られた直線が y=600 となるときの x を求めれば,
信号Bから再び動き出したのがいつなのかが分かります~

h10_20140210022346545.jpg






では,そろそろ最後の問題に進みましょうかーー
今回の前期試験の中では一番難しかったんじゃないかと思うのがこの最後の設問です~ 8190579.gif

太郎さんの弟が40秒遅れで自宅を出発するらしいのです~
弟の移動速度を上手く調整して,2つの信号で一切足止めを食らわないようにしたいというわけなんですね。
なおかつ,太郎さんより後に公園に着くようにしたい,とのこと。
これらの条件を満たすとき,弟は最短で何秒で公園に着けるか
ということを問うているなかなか厄介な問題です~~


2つの信号は30秒毎に赤と青が切り替わるのでしたね。
信号Aは x=75 のタイミングで赤になり x=105 で青に切り替わるということが
既に分かっています。このことからその前後の赤青切替のタイミングも全部分かってしまいます。

h12_20140210022347831.jpg


上の図の斜線部分の時間帯が信号Aが赤になっている部分です。
斜線部の左端は含みますが右端は含まないと思ってください~
弟は斜線部分でないタイミングで信号A( y=300 )を通過しなければいけません 12.gif



同様に信号Bの切り替えタイミングも把握してみましょう~
x=180 のタイミングでは赤で20秒後の x=200 で青に切り替わっています。
このことから下の図のようなタイミングで赤青が切り替わります~
やはり斜線部の左端は含みますが右端は含みません。
弟は斜線部分でないタイミングで信号B( y=600 )を通過しなければいけません

h13_20140210022415fe4.jpg


弟は信号待ちをしないということは,弟の足取りを示すグラフは
(40,0) を通る1本の直線の式で書けなければいけません。
この直線が2直線 y=300, y=600 と交わる点の位置をうまく調整してやりたいわけです。

太郎さんより後の到着であることも必要なので, x>300 であるようなタイミングで
y=1000 に到達しなければいけません。

ここで試しに,2点 (40,0) と (300,1000) を通る直線の式を考えてみましょう。
これは計算してみると y=(50/13)x-(2000/13) になります~
弟は秒速(50/13)mでノンストップで突っ走れば太郎さんと同時に公園に着くことが出来ます。
したがって,太郎さんより後に着くためには秒速(50/13)mよりも遅い速度で突っ走らなければいけませんねー 05(1).gif

ただ,実際に秒速(50/13)mで進んでみると,信号Aは青信号で通過できるのですが,
信号Bでは赤信号で足止めを食らってしまうことが計算で確かめることが出来ます~



h14_20140210022415e1f.jpg

h15_201402100224162ae.jpg

h16_20140210022416b2b.jpg


最速のパターンを見つけなければいけないので,
秒速(50/13)mを基点として,そこからちょっとずつ遅い速度にしていってみましょう~ 05.gif

秒速(50/13)mのときは x=196 で信号Bに到達しているので,4秒しか信号待ちをしません。
だんだん速度を落としていって,4秒遅れの x=200 のタイミングで信号Bに到達できる速度にしてみましょう

こうしてみると信号Bには青信号に切り替わったときに到達できるので信号待ちがなくなります。
秒速(50/13)mより遅い速度の中で,信号Bで足止めを食らわないものとしてはこれが最速です。

ただし,これはあくまで信号Aを停止すること無く通過できることを前提としています。
願わくばこの速度で突っ走るとき本当に信号Aを青で通過できていて欲しいのですが~~ 03.gif

2点 (40,0), (200,600) を通る直線の式は計算してみると y=(15/4)x-150 
になっています~  秒速(15/4)mで走ることになりますね。
この式において y=300 としてみると x=120 が出てきます。
x=120 は信号Aが青信号のタイミングです

やったーーーーー
秒速(15/4)mで突っ走れば x=120 で信号Aを無事に青で通過でき,
x=200 で信号Bを無事に青で通過でき,x=300より後に公園に着きます~~
これより速度が上だと信号Bで足止めを食らうわけですから,
この秒速(15/4)mというのが条件を満たす速度の中では最速になるわけです~~


h17_20140210022417171.jpg



なかなか厄介でしたねーー nezumi02.gif

もう1つほど解法を与えてみます~

はじめ信号AかBかどちらかに着眼してみます。
ここではBのほうにしてみましょう~

弟は信号Bを青のタイミングで通過しなければいけません。
例えば, 140≦x<170 の間は信号Bは青ですね。

x=170 のタイミングで信号Bに着く速度は計算してみると秒速(60/13)mになります。
しかし,この速度だとそのままのペースで突っ走れば太郎さんより前に公園に着いてしまいます。
これではスピードが早過ぎるのです。
したがって, x>170 の青信号タイミングで通過しなければいけません

次の青ゾーンは 200≦x<230 です。この中でも最短の
x=200 のタイミングで信号Bに着く速度は上の解法でもみたように秒速(15/4)mです~
この速度でなら太郎さんより後に公園に着くことが計算から確かめられるので,
もしもこの速度で突っ走ったとき信号Aを青信号で通過できるなら,
「秒速(15/4)mで進むのが最速」が結論づけられます~~

そして実際,この速度だと信号Aを青で通過できちゃうんですよね turu.gif





h18_20140210022417f6d.jpg
h19_2014021002242882a.jpg






答えを得るまでにいくつかの検証を重ねなければいけなかったので
時間がかかってしまいます。
さっさと他の問題に進んでしまって,最後にじっくりと取り組むのが正解だろうなーー 15927445.gif
と思います~~


















                   

テーマ:高校受験
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平成26年度 【前期】 宮城県公立高校入試 数学 第二問

2014.02.10 00:00|高校入試問題
どもども。


今回は今年の宮城県の前期公立高校入試の第2問をやりますー


問題はこの辺などから~~ FULL_2013_02_26_213320.gif
http://www.kahoku.co.jp/spe/kokonyushi2014/img-204133424.pdf


第2問もまた小問集合のような感じです~


それでは具体的に見ていきますよ~ milk.gif

最初は連立方程式を使って解く文章題です~
中学校で吹奏楽部のステージ発表があるらしくて,
何台かある長いすに観客が何人かずつ座っていくというシチュエーションです~

まずは4人ずつ座るとどうなるか,という点について
長いすの数が足りなくて座れない観客が14人出てしまうということらしいです~



g1_20140209191651677.jpg


長いすが全部で x 台あり,観客が全部で y 人いるとするとき,
s と y の間に成り立つ関係式を求めるというのが最初の設問です。
何に着目して立式するかによって様々な解答ができると思いますー

例えば観客数を2通りに表して等式にしてみましょう~
長いすは全部で x 台あり,1台あたり4人が座っているということは
長いすに座れた観客の数は 4x 人ということになりますよね。
それに加えて座れなかった人が14人いるので,観客は全部で (4x+14) 人と表せます~ s2_sum_sunflower.gif


g2_20140209191651d4d.jpg

基本的に y=4x+14 を式変形して得られるものであれば正解になります
長いすの台数を2通りに表してみます。
長いすに座れた観客の数は (y-14) 人とも表すことが出来て,
この (y-14) 人は4人ずつのグループ x 組に分けることが出来ることができます。

g3_20140209191652106.jpg


座れなかった人の数に着目すると,観客数から座れた人数を引けば出てくるので

g4_20140209191652138.jpg


などのような式を立てることも可能です。


(2)では今度は長いす1台に5人ずつ座ったシチュエーションも考えています。
全員が長いすに座ることが出来て(しかもピッタリ5人ずつ),長いすは2台余ってしまうそうですよ~ 


g5_20140209191653c41.jpg


この5人ずつのシチュエーションについて,(1)と同様に x と y の関係式を求めることが出来ます。
例えば,長いす1台あたり5人が座っていて,それが (x-2) 台分だから
観客数について y=5(x-2) ですね。
(1)の関係式と併せて x, y に関する連立方程式が得られます~ whale.gif


さてこの(2)は何を問われている問題か確認しておきましょう。
方程式の応用の文章題では,何を答えなければいけないのかを正しく把握していないと
せっかく正しい立式と正しい方程式の解が得られたとしてもマルがもらえないことがあります。

長いすの台数なのか,観客数なのか,両方なのか,あるいはそのどれでもないのか。
ズバリ今回は観客数です。つまり y の値が問われています。

といことなので連立方程式を解いて y の値を答えにすればよいわけです~
x の値は出しても出さなくてもどちらでも構いません。
ただ,検算をしやすくするためにも x の値も出しておくほうが無難かと思いますよ~ s1_spr_chulip.gif


g6_20140209191654651.jpg

 g7_20140209191724856.jpg


この問題は連立方程式を使って解くというのが標準的な解法だと思いますが,
方程式を使わず算数でもちゃんと解けます。

例えば次のような考え方をしてみるといいですね。
長いす1台に5人ずつ座ってるシチュエーションをまず考えます。
ここで長いす1台につき1人の人間をちょっと呼び寄せてみましょう
これで5人座ってた各いすには4人ずつが残されます。
また,呼び寄せてきた人たちのうち8人を余っている2台の長いすに4人ずつ座らせてみます。

このとき全ての長いすに4人ずつ観客が座っていることになるので
この時点で長いすに座っていない人間は14人じゃなければいけません。
ということは,最初に呼び寄せてきた人数は 14+8=22 人であることが分かります。
5人ずつ座っていた各長いすから1人ずつ集めてきて22人になったということは
5人ずつ座っていた長いすの数が22台だということですよね。
したがって,観客数は 5【人/台】×22【台】=110【人】 でジ・エンドです~ kaeru0-01.gif



g8_20140209191725146.jpg







それでは次の問題へ進みましょう~

今度は円柱や球の表面積に関する問題ですよ~
円柱 P は底面の円の半径が4cm,高さが14cmです。
(1)はこの円柱 P の表面積を求める設問です。

上面と下面の円の面積に側面積を足してやれば表面積が出てきますね~ osake02.gif
上面と下面の面積については特に問題はないと思います。
悩むかもしれないとすれば側面積でしょうか。

立体の表面積を考える際に有効な手段として,
その立体の展開図を考えるというものがあります~

円柱の場合,長方形に円が2個くっついてるような展開図が描けます。
この長方形。縦14cmであることは明白ですが,横の長さはいくらになるでしょうか。

元々,上面または下面の円がピッタリくっつていたわけだから
横の長さは底面の円の円周の長さと等しくなっています kinoko06.gif

g9_201402091917250df.jpg



(2)では円柱 P と表面積が一致する球 O を考えます。
級の表面積・体積の公式はちゃんと覚えていますかー?

まずは球 O の半径をちゃちゃっと求めてしまいましょう~
設問は,球 O の半径と円柱 P の底面の円の半径に関して,
どっちがどれだけ長いかを答えよというものですから,
正しく球 O の半径が求められていたらあとはやっつけ仕事です。

g10_2014020919172602b.jpg






次の問題に進みましょう~
2次関数がらみの問題ですよ~
関数 y=(2/3)x^2 のグラフと直線 y=k が相異なる2点で交わっているそうですよ~
その交点を A, B とします(ただし x 座標が正の方が A )。

(1)は k=6 であるときの A の座標を求める設問です~
A(a,(2/3)a^2) とおいてみましょう。 k=6 なので (2/3)a^2=6
が成り立てば良いことが分かります okojyo02.gif


g11_20140209191726ac8.jpg




(2)は △OAB が直角二等辺三角形になるときの k の値を求めるものです。
y=(2/3)x^2 のグラフも直線 y=k も共に y 軸に関して対称なので,
OA=OB が成り立ちます。したがって, △OAB が直角二等辺三角形になるとすれば
それは OA=OB, ∠AOB=90° であるようなものでなければいけません

線分 AB と y 軸の交点を C とします~
このとき CO=CA になることを利用して k を求めたいと思います。

CO=CA であることを説明する方法はいろいろあるかと思います。
例えば △ACO が ∠COA=90° の直角二等辺三角形になることから従います。
これは △AOB∽△ACO を証明することで確かめられます neko02.gif



g12_20140209191727573.jpg
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他にも例えば ∠CAO=45°, ∠ACO=90°(このとき自動的に ∠COA=45°) から 
△AOC が直角二等辺三角形になることが言えたりします


また, △AOC が直角二等辺三角形になることに着眼しなくても
対称性から C は線分 AB の中点なので,
これが直角三角形 OAB の斜辺 AB の中点であることから
CA=CB=CO となる
ことがいえたりもします~
(O が線分 AB を直径とする(C が中心の)円の円周上にあることになります)


g15_201402091917593ce.jpg



ある程度慣れてきたら ∠AOC=45° であることから即座に
直線 OA の式が y=x であるということが分かってしまいます。

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その他にも, A(a,(2/3)a^2) とおいて OA と AB の長さを a の式で表して
AB=√2OA が成り立つことから a を求めてみるという作戦なんかもあります。
√の中に a が入ってたりするので,ちょっと面倒臭い感じがします。

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まぁこの問題はこれくらいにして最後の確率の問題に進みます~ kinkan.gif

2つの袋 A と B があり,
A には 白1 白2 白3 赤3 赤4
B には 赤1 赤2 白4 白5

の球が入っているそうですね~


まずは袋 A から1個球を取り出して,それが赤球である確率を求めます。

5個のうち2個が赤球なので確率は 2/5 ですねー

g17_201402091918001b4.jpg



次は袋 A, B から1個ずつ球を取り出すときに
球に書いてある数字の和が5になる確率を求めます~

まずは2個の球の取り出し方が全部で何通りあるか調べます~
樹形図や表などを使って書き下してみるとよいでしょう~ rokuro.gif

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中学数学の範囲ではこのようにやるのが通常の解法となりますが,やっぱ面倒くさいですねー。
高校数学の範囲でなら,積の法則から 5×4=20 という風に即座に場合の数が出せたりします。


さて20通り全部を書き下してしまったので,
この中から2個の数字の和が5になるものをピックアップしてくればOKです~ roket.gif
4通りありますね。


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最後は「取り出した2個の玉の色が異なり,かつ数字の和が奇数」になる確率を求める設問ですー
さっき列挙した20通りのパターンの中から条件を満たすものをピックアップしてくればOKです~ kaeru_en4.gif
5通りありますよ~


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まぁ第2問はこんなとこですねー kirin.gif








         

テーマ:高校受験
ジャンル:学校・教育

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