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相似の問題の面積比を用いた小技 その2

2016.05.23 22:30|数学
どもども。

以前に相似の問題の面積比を用いた小技として,
自分が勝手に対角線分割と呼んでいる手法(http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-59.html
を取り上げましたが,今回も有用な手法を取り上げてみたいと思います~ げろ

一部の界隈でベンツ切りなどという呼び方がされたりもしているものです。
受験算数の問題なんかではよく使われるようなのですが,その名称は自分は最近知りました~
とは言え,内容自体は決して斬新なものではなくて,線分比と面積比の関係のちょっとした応用です~


m1_20160603005404c3d.jpg


この手の図形の線分比を求めていく定型パターン問題を考えていきます~
通常は相似を使ったりベクトルを使ったりメネラウスの定理・チェバの定理を駆使して解いていくのが
スタンダードなアプローチとなるわけですが,対角線分割を用いた方法や加重重心を用いた小技もあることを
以前に触れています。
今回は新たなる手法を挙げていきます~


まずは下準備として,次の基本発想をおさらいしておきましょう~~ panda_1.gif

m2_201606030054051bf.jpg

上図において, △ABP:△ACP=BP:PC が成り立ちます~ rabi_love.gif
いわゆる底辺分割というやつです~
線分比と面積比の関係を見付けるアイデアとしては最もベーシックなやつです~
△ABPと△ACPはそれぞれBPとPCを底辺と見たときに高さが等しくなっているので
面積比と底辺の長さの比が一致してしまいます。


m3_20160603005405bb9.jpg


続いて,上図において △ABO:△ACO=BP:PC が成り立ちます~ tanuki.gif
△ABP:△ACP=△OBP:△OCP=BP:PC であるため,
(△ABP-△OBP):(△ACP-△OCP) もやはり BP:PC と一致してしまうのです~



m34jpg.jpg



そして,上図において 四角形ABOC:△OBC=AO:OP が成り立ちます~ wahakapa.gif
△ABO:△OBP=△ACO:△OCP=AO:OP であるため,
(△ABO+△ACO):(△OBP+△OCP) もやはり AO:OP と一致してしまうのです~





では本題に入っていきます~~


m5_20160603005406ac6.jpg

上の図においてAR:RB,BP:PC,CQ:QA,AO:OP,BO:OQ,CO:ORのうちどれか2つが分かってしまえば
赤,青,緑の三角形の面積比もすぐに分かってしまい,それを活用して残りの比も全部すぐに分かってしまいます~
zashiki.gif
上の図の赤・青・緑の分割をメルセデス・ベンツのエンブレムの形に見立てて
ベンツ切りみたいな呼び方がされてるんでしょうかね。


では例題を用いて実践してみたいと思います~

m6_201606030054325d3.jpg

AR:RB=4:3,AQ:QC=1:1 のときに残りの比を求めていきたいと思います~

まずは赤:青:緑の面積比を求めます~
赤:青=AQ:QC=1:1, 青:緑=BR:RA=3:4
であることから, 赤:青:緑=3:3:4

このとき, BP:PC=赤:緑=3:4, AO:OP=(赤+緑):青=7:3,
BO:OQ=(赤+青):緑=6:4=3:2, CO:OR=(青+緑):赤=7:3


といった具合に全部簡単に求められます~ aicon156.gif
BP:PC=赤:緑=3:4 はチェバの定理の証明の流れそのまんまですけどね。


もう1つ例題をやってみます~~
AR:RB=4:3,CO:OR=2:1 のときに残りの比を求めていきたいと思います~


m7_20160603005433c7a.jpg


まずは赤:青:緑の面積比を求めます~
青:緑=BR:RA=3:4=6:8, (青+緑):赤=CO:OR=2:1=14:7
であることから, 赤:青:緑=7:6:8

このとき, BP:PC=赤:緑=7:8, CQ:QA=青:赤=6:7,
AO:OP=(赤+緑):青=15:6=5:2, BO:OQ=(赤+青):緑=13:8, 


となるわけです~~


とても簡単ですね~~ zoo02.gif








   
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

組み分けの問題その2

2016.05.04 00:21|数学
どもども。

前回に引き続いて組分けの問題について考えていきます~ ぺんぎんmini


問5:6人の生徒を1人,1人,4人の3組に分ける方法は何通りあるか?

A組,B組,C組のような区別は設けられていません~
まずはオーソドックスに考えていきます~
A組(1人),B組(1人),C組(4人)のように組の区別を設けてみると
A組に入れる人の選び方が  通りあり,その各々に対してB組に入れる人の選び方が  通りあります。
残った4人が自動的にC組です。このとき,  (通り) となりますが,
実際はA組,B組,C組のような区別は無いので,補正が必要です。
問4と同様に3!で割ればいいという発想に至りがちですがそれは誤りです~
問4で 3!=6 で割ったのは同じ分け方が6重カウントされていたからでした。
問5の場合,6重ではなくて2重カウントなので2で割ればOKなのです~
6人をa,b,c,d,e,fとしたとき,「A:a B:b C:cdef」と「A:b B:a C:cdef」 は同じ分け方扱いになりますが,
これ以上同じ分け方に分類されるものは30通りの中には含まれていないことに気をつけましょう。
同じ人数になる組がいくつあるかというところに着目するのがポイントです。
以上から正解は 30÷2=15(通り) になります~

順列方式で考えると  (通り) ということになりますね。

自分が6人の中の1人と考える方式で考えてみると,
自分が「1人の組」に入るときは,もう一人誰かが「1人の組」に入るのでその1人の選び方が  通りで,
残った4人が「4人の組」に入ります。自分が「4人の組」に入るときは,自分と同じ組に入る3人の選び方が
 通りで,残った2人がそれぞれ「1人の組」を作ります。
したがって,  (通り) で答えが出ます~

多項式の展開に着目すると,  の展開式における   の係数30を求めて
2!で割ると良いです~


問6:6人の生徒を3人ずつの2組に分ける方法のうち,特定の2人が同じ組ならないようなものは何通りあるか?

A組,B組のような区別はなく,組分ける人数がともに3人パターンの問題ですが,
「特定の2人が同じ組ならない」という付加条件が設定されています。
このような問題ではまず「特定の2人」をaとbとしてみると,
「aのいる方の組」と「bのいる方の組」という区別が生じるので,
あとは「aのいる方の組」に入れる2人の選び方が  通りあることから
正解は  (通り) となります~ dog_happy.gif

付加条件がある場合は,全体の場合の数から余事象の場合の数を引くという発想も使うことが出来ます。
全体の場合の数は問3の答えより10通りです。
ここから,aとbが同じ組になるパターンを取り除けば良いことになります。
aとbが同じ組になる場合は,あとはその組に入る最後の1人を選んでくればよいのだから  通りです。
したがって,  (通り) となります。

順列方式で考えてみましょう~
「aのいる方の組」をA組,「bのいる方の組」をB組として残り4人について先程までと同様に考えて
(通り) と求められます。

自分が6人のうちの1人だという方式で考えてみます。
このとき,自分が「特定の2人」に含まれると想定するのか含まれないと想定するのかで
2パターンの解法が考えられます。
まず自分が特定の2人のうちの1人だと仮定します。もう1人をaとしましょう~
自分と同じ組になる残り2人を決めれば良く,a以外から選ぶので  (通り) となります~
一方で,自分が特定の2人a,b以外の人物であると仮定してみます。
自分がaと同じ組になる場合が,同じ組になる最後の1人の選び方を考えて  通り,
bと同じ組になる場合も  通り。
ゆえに,  (通り) となります。

多項式を用いると,  の展開式における  の係数を考えて6通りです。



問7:6人の生徒を1人,1人,4人の3組に分ける方法のうち,特定の2人が同じ組ならないようなものは何通りあるか?

問6の類題ですが,3組に分けるタイプに進化しています。
「特定の2人」をaとbとしてみるところは前問と一緒です。
このときaとbがそれぞれ「1人の組」に入る場合と,2人のうち1人だけが「1人の組」に入る場合とがあります。
前者は1通りしか無いです。
後者は,aが「1人の組」に入るときが,「4人の組」に入らない1人の選び方を考えて  通りです。
bが「1人の組」に入るときも同様なので,結果として  (通り) が正解です~ m_0038.gif

余事象を考えてみます。
全体の場合の数は問5より15通りです。aとbが同じ組になるのは2人が「4人の組」に入るときです。
この組に入る残り2人の選び方を考えればよいから,  通りとなるので,
正解は  (通り) です。

順列方式でも同様に   (通り) とすることができます~

自分が6人のうちの1人だという方式で考えてみます。
まず自分が特定の2人のうちの1人だと仮定します。もう1人をaとしましょう~
自分が「1人の組」に入るとしたら,残りの5人はどのような組み分け方をされても良いので
もう1つの「1人の組」に入る人物の選び方を考えて  通りあります。
自分が「4人の組」に入るとしたら,残りの3人をa以外の4人から選べば3組とも決まるので  通りです。
したがって,  (通り) となります。

一方で,自分が特定の2人に含まれないとしましょう。特定の2人をa,bとします。
自分が「1人の組」にいるときは,aかbのどちらか1人がもう1つの「1人の組」に入るので2通りです。
自分が「4人の組」にいるときは,自分と同じ組にaもbもいないパターンは1通りです。
aだけが同じ組にいる場合は,b以外の3人から同じ組になる残り2人を選べばいいので  通り。
bだけが同じ組にいる場合も同様なので,  (通り) と求められます。

多項式を用いると,  の展開式における  の係数1,  の係数4の2倍の8,
この2つの和を考えて 1+8=9(通り) です。



問8:6人の生徒をA組,B組の2組に分ける方法は何通りあるか?

ここでちょっと趣の異なる問題が出てきました~
今までの問題は各組に入れる人数が決まっていましたが,今回は決まっていません。
「A組:2人 B組:4人」かもしれないし「A組:1人 B組:5人」かもしれません。
「A組:0人 B組:6人」または「A組:6人 B組:0人」の場合は1組にしか分かれていないので除外しますが,
このような分け方も特殊パターンとして含めるという指示がある場合もあるので注意です。
「A組:k人 B組:(6-k)人」とすると, k=1,2,3,4,5 の場合があるので,
それぞれについて問1,問2のように考えていけば良いので,
 (通り) が正解です。

また,次のような考え方もできます~
1人につきA組に入れるかB組に入れるかの2通りあり,それが6人分なので積の法則より
 (通り) がまず出てきますが,この中には「A組:0人 B組:6人」と
「A組:6人 B組:0人」の場合が含まれているので,正解は 64-2=62(通り) となります m_0172.gif

上記の考え方は順列の考え方でも同様に適用されます。
「AABABB」や「BABAAB」のようなAとBの2種類の文字からなる長さ6の文字列の個数を求めればよいわけです。

6人のうちの1人が自分である方式ではどうでしょうか。
自分以外の5人についてそれぞれ「自分と同じ組」か「違う組」かの2通りの選択があり,
自分自身はA組かB組かの2通りの選択があります。
残り5人が全員「自分と同じ組」に入るパターンは除かなければいけません。
したがって,  (通り) となります~

多項式を用いると,  の展開式における  以外のすべての項の係数の和を求める
という発想で解けます。その計算をするならば,  よりも  を考えて,
 (通り) とするのが賢いところでしょう。



問9:6人の生徒を2組に分ける方法は何通りあるか?

問8と似ていますが組の区別が無くなっています。
「2人と4人」のような分け方だと人数の違いで組の区別ができますが,「3人と3人」の場合は区別が出来ません。
「1人と5人」,「2人と4人」,「3人と3人」の3パターンの分け方に分類できるので
 (通り) が正解です~

また,はじめにA組,B組という区別を作っておいて最後に区別をなくすという考え方でも解けます。
その場合は問8の答えを2で割れば良いので, 62÷2=31(通り)  になります。

自分が6人の中にいると考えると,
自分以外の5人についてそれぞれ「自分と同じ組」か「違う組」かの2通りの選択があり,
全員「自分と同じ組」に入るパターンは除くので,  と求められます~ onigiri_1.gif


多項式を用いるなら問8と同様に計算して2で割ればよいです。






   

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組み分けの問題その1

2016.05.03 01:47|数学
どもども。

今回は場合の数の分野で頻出の組分けの問題について見てみます~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90

組分けの問題とは,例えば次のような問題です:

問1:6人の生徒を2人,4人の2組に分ける方法は何通りあるか?

問2:6人の生徒を3人ずつA組,B組の2組に分ける方法は何通りあるか?

問3:6人の生徒を3人ずつの2組に分ける方法は何通りあるか?

問4:6人の生徒を2人ずつの3組に分ける方法は何通りあるか?

問5:6人の生徒を1人,1人,4人の3組に分ける方法は何通りあるか?

問6:6人の生徒を3人ずつの2組に分ける方法のうち,特定の2人が同じ組ならないようなものは何通りあるか?

問7:6人の生徒を1人,1人,4人の3組に分ける方法のうち,特定の2人が同じ組ならないようなものは何通りあるか?

問8:6人の生徒をA組,B組の2組に分ける方法は何通りあるか?

問9:6人の生徒を2組に分ける方法は何通りあるか?



基本的に人などの区別のつくものを様々な条件に従って組み分けしていく問題が該当します。
区別のつかないものを組み分けていく問題は重複組合せのカテゴリに分類されることが多いです~ eto_tora.gif

問:6個のみかんを3人に分配する方法は何通りあるか?

このようなタイプの問題ですね。
実際は1つ1つのみかんにも「こっちの方が大きいな」「こっちの方が甘そうだな」のような区別があるわけですが,
この手の数学の問題では見分けのつかないクローンのようなみかんを想定し,
誰に何個配るかという個数のみが考察対象とされます。
これに対し今回見ていく組分けの問題では区別のあるものを分けていくことになるので,
例えば「A組に3人」という分け方も,どの3人を入れるのかというので更に細かく分けてカウントしていかなくてはいけません。


まずは問1をいくつかの考え方で見てみます~

問1:6人の生徒を2人,4人の2組に分ける方法は何通りあるか?

最もオーソドックスな考え方はこうです~
「2人の組」に入れる2人の選び方が  通りあり,
その各々に対して「4人組」に入れる4人の選び方が  通りあるので,
積の法則より  (通り) が正解です~~ dolphin.gif
 の部分はしばしば省略されます。

この6人をa,b,c,d,e,fとしましょう~
「2人の組」をA組,「4人の組」をB組として,例えばaとdの2人がA組で残り4人がB組であるとき,
これを「ABBABB」という文字列に対応させることにすると,組分けの方法の総数は「ABBABB」のような,
「Aが2個,Bが4個あってそれらを1列に並べる順列の総数」と等しいことが分かります。
このことに着目することで,  (通り) と求めることも出来ます~

順列への対応としては次のような考え方もできます。
a,b,c,d,e,fの6人を1列に並べる順列を考えます。このとき,はじめの2人を「2人の組」に入れることにし,
後半4人を「4人の組」に入れることにします~
そうすると,例えば「ad bcef」という並び方は「da ecbf」「ad fcbe」「da cefb」などと同じ組み分け方を表すことになり,
6!=720(通り) として求めるとかなり重複カウントが起きていることになります~
そこで重複分を打ち消す操作を考えます。
結果的に同じ組み分けを表す順列が何通りあるのかを考えます。
上で挙げた「同じものを含む順列」の考え方に向かっていくことになるのですが,
「ad bcef」「da bcef」のように後半4つは共通なのに先頭2つの文字が入れ替わったものというのがあるので
全体を2で割ると前半2つの入れ替えによる重複は解消されます。
また,「ad bcef」「ad cbfe」のように後半4つについても並び方だけが異なるものがあり,4!=24(通り)出てくるので
更に全体を4!で割れば重複問題は解消されます。
結果として,(通り)が得られるわけです~

次は6人の中に自分がいるという目線でものを考える方法を挙げてみます。
自分は「2人の組」に入るときと「4人の組」に入るときがあります。
「2人の組」に入るとすると,もう1人同じ組になる相方を見つけさえすれば残った4人が「4人の組」に入るので
そのような組み分け方は相方の選び方を考えて  (通り) です。
「4人の組」に入るとすると,自分と同じ組に入る3人を選んでこなければなりません。
よって,そのような組み分け方は  (通り) です。
これらを足して,求める場合の数は 5+10=15(通り) となります~

変わり種としては,多項式の展開を利用した発想があります~

の展開を考えてみます~
この展開は6個の(A+B)のそれぞれからAかBかどちらか1個ずつ項を選んできて掛け合わせたものの和になりますね。
ここで,6個並んだ(A+B)を左から順にa,b,c,d,e,fの6人に対応させます。
「2人の組」をA組,「4人の組」をB組として,例えばaとdの2人がA組で残り4人がB組であるとき,その選び方を
1番目と4番目の(A+B)からはAを選び,残りの(A+B)からはBを選んだときに出来る項
A×B×B×A×B×B と対応させることを考えます。
そうすると,求めるべき場合の数は  の展開式における  の係数に一致します~
ニ項定理より,  (通り) が得られます~


問2:6人の生徒を3人ずつA組,B組の2組に分ける方法は何通りあるか?

問1とほとんど変わらないような問題のように見えますね。2人,4人ではなくて3人,3人になりました。
人数が変わっても考え方は一緒です。
オーソドックスにいくと,A組に入る3人の選び方を考えればいいので,  (通り) で解決です。
問1の2番目,3番目の方式に従うと, (通り) です。

4番目の方式に従うと,自分がA組にいる場合が  (通り) で,
B組にいる場合も  (通り) で,合わせて 10+10=20(通り)

5番目の方式でいくと,  の展開式における  の係数を見れば良いので,
 (通り) となります~


問3:6人の生徒を3人ずつの2組に分ける方法は何通りあるか?

これが問2と一体何が違うのかを理解することがまず重要です。
問3ではA組,B組のような区別がありません。
単に3人組に分けてくれという要求なんです~
例えば「A組:abc  B組:def」という分け方と「A組:def  B組:abc」という分け方は
問2では別カウントになっていました。
結局同じ3人どうしがグループになっているのだから,問3ではこの2つは同一のものとして考えます。
ということは問2の答えの20通りというのは,1つの分け方をちょうど2回ずつカウントしています~
このため,問3の答えは 20÷2=10(通り) になります~
したがって,組に区別がない問題が出てきたら,まずは組に区別を設けて場合の数を考え,
重複カウント分の補正を行えば良い
という教訓が得られます dog_shy.gif
これがオーソドックスな手法になっています。

ところで,問題文をよく見てみると問1もA組,B組のような組の区別がない問題になっています。
問1と問3の違いは何でしょうか。それは組み分ける人数です。
2人と4人に分ける場合,この2組は対等ではなく,「2人の組」と「4人の組」というラベル付けが自動的にされているので,
A組,B組のような組の区別が設けられているのと同等なのです。
問3の場合,「3人の組」と「3人の組」という互いに対等な組み分けをするため,
自動的にラベル付けがされているわけではないという違いがあることを意識しなければいけません~

ここで問1の4番目の解答方式に目を向けてみましょう~
つまり6人の中の1人が自分だという発想です。
この立場で考えてみると,自分と同じグループの2人を選ぶだけで3人ずつの組み分けが完了するため
 (通り) で問題が解けてしまいます~
重複カウントの問題が生じないため,その分だけ楽に解くことができます~ kaeru_en1.gif




問4:6人の生徒を2人ずつの3組に分ける方法は何通りあるか?

組にA組,B組,C組のような区別がなく,また組分け人数が3組とも2人であるためこれらは対等です。
まずは問3に倣ってA組,B組,C組の区別を設けてみます~
A組に入る2人の選び方は  通り,その各々に対してB組に入る2人の選び方が  通り,
残った2人が自動的にC組に入ります。
したがって,  (通り) となります。
ただ実際にはA組,B組,C組のような区別がないため,このままでは重複カウントが起きています~
ここで補正を行いますが,3組なので3で割ればいいという考え方は誤りなので注意が必要です。
例えば「A組:ab B組:cd C組:ef」,「A組:ab B組:ef C組:cd」,「A組:cd B組:ab C組:ef」,
「A組:cd B組:ef C組:ab」,「A組:ef B組:ab C組:cd」,「A組:ef B組:cd C組:ab」
という6つの組み分けは本来全て同じものとしてカウントしなければならないものです。
実は90通りというのは1つの分け方を6重カウントしているのです。
この6重というのは,「ab」,「cd」,「ef」の3つのかたまりを1列に並べる順列の総数として捉えることが出来ますね。
以上から,答えは 90÷3!=15(通り) ということになります~ m_0052.gif

順列方式でいくと,  (通り) として求められます~

自分がグループの一員だった方式で考えてみましょう~
はじめから組の区別はないものとして考えていきます。
まず自分とペアになる相方の選び方が  通りです。
その各々に対し,今度は残り4人のうち一番背の高い人の目線に立つと,
その人の相方の選び方が  通りあり,残った2人が3組目になります。
よって,  (通り) と求められます~
一番背の高い人が同立1位で複数いたら,一番体重のある人や一番生年月日が早い人などに置き換えると良いですね。

多項式の展開に着目すると  の展開式の  の係数として90を求めてから
3!で割ると良いです~






問5以降は次回に回すことにしましょう~ m_0051.gif



 








  

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