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2012年東北大入試(後期)理系数学第5問その2

2012.08.31 03:26|大学入試問題
どもども。

前回の続きで今年の東北大入試(後期)の理系数学第5問をやっていきます~w01.gif


問題はこちら~箱ドットおにおん2mini
m5

前回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-12.html



今回は(2)からやっていきますよ~
θ=2π/7というのは,下の図のように円を7等分したときの1つ1つの中心角の大きさで,
1,α,α^2,α^3,α^4,α^5,α^6は複素平面上で正七角形の各頂点になっていますururu03.gif

7kaku.jpg

(注:軸にある「Re」は実軸(real axis)であることを表しています。虚軸(imaginary axis)は「Im」を使います。また複素数zの実部はRe(z),虚部はIm(z)と書きます)

まずα^7=1を示す設問がありますが,これは(1)で示したド・モアブルの定理で瞬殺ですakaname.gif

また,βがαの逆数であることや共役複素数であることを使うことで
k+ℓが7の倍数のとき,α^k=β^ℓであることをいうことができます~body_run.gif




bouquet.gifβがαの逆数であることを使う

j1.jpg

bouquet.gifβがαの共役複素数であることを使う

j2.jpg



厄介なのは(3)以降ですね~dog_angry.gif

A=α+α^2+α^4,B=β+β^2+β^4とおいてA+BとABの値を求めよというものです~

解法パターンはいくつかあるかと思いますが,大きく考えるとBをαの式に直してしまう発想か,あるいは
BがAの共役複素数になってることに着目するかのどちらかに落ち着くことが殆どかと思いますcurry.gif

(2)からの流れを踏まえると,Bをαの式に直してやるのが一番標準的な解法といえそうですね。
実際それが一番早く答えを求められます~clover.gif

bouquet.gif等比数列の和の公式を利用する解法

具体的にどのようにBを変形するかというと,(2)より,
β=α^6,β^2=α^5,β^4=α^3という関係式が成り立つので,
B=α^6+α^5+α^3 と書けてしまうんですねdolphin.gif

従って,A+B=(α+α^2+α^4)+(α^6+α^5+α^3)=α+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6
というキレイな和になっているんです~
あとは等比数列の和の公式を使えばOKdokuro.gif

j3.jpg

ABのほうも,整理してみるとやはりα+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6がでてきます~hamster_2.gif


j4.jpg



bouquet.gifα+1/αの多項式に帰着させる解法

A+B=(α+β)+(α^2+β^2)+(α^4+β^4)
   =(α+1/α)+(α^2+1/α^2)+(α^4+1/α^4)

と書けますが,これはM=α+1/αの多項式として書けるのでありますladybug.gif
xとyの対称式をx+yとxyを用いて表す問題はよくあるかと思うのですが,それの応用として,
x=α,y=1/αの場合というのがあります。この場合,xy=1が定数なのでxとyの対称式は
x+yすなわちMの式で表せるわけですねlight.gif

まずはMが満たす関係式を求めてみます~

j5.jpg

この等式を用いて,A+BとABを求めてみましょう~kuma_fly.gif

j6.jpg
j7.jpg

j8.jpg



次回は更に三角関数の計算辺りも駆使して,この(3)の別解法について考えてみます~korobo.gif






    
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タグ:東北大 入試 数学 受験 ド・モアブルの定理 正七角形 極形式 回転移動 加法定理 三角関数

2012年東北大入試(後期)理系数学第5問その1

2012.08.25 19:42|大学入試問題
どもども。


今回は今年の東北大入試(後期)の理系数学第5問です~

問題はこちら箱ドットおにおんmini
m5

1の7乗根に関する問題ですね~tawa02.gif
(4)とかはこれだけ単問で出されると結構悩んでしまうタイプの人が多いかと思われます~
きっと和積・積和公式であーだこーだすることになってしまうのでしょう~
今回は誘導付きですので順調に(3)まで解ければ(4)はさほど困難ではないかもしれませんsyumai.gif

それでは(1)をやっていきます~star02.gif
いわゆるド・モアブルの定理ですね~。それを証明しろという問題です。

ここ何年かの指導要領からは複素数平面は消えていたんですけど
新課程では数学Ⅲの「平面上の曲線と複素数平面」という単元で復活するようですpiman.gif
ド・モアブルの定理もこの単元の内容に含まれているようですよ。

αのn乗を計算します。今回はnが自然数の場合について証明すればOKのようですが,
nが負の整数または0のときも定理が成り立ちます~
ただしnが分数とか無理数とかになってくると話がややこしくなってきますroket.gif
値が1通りに定まらない(多価性)が原因なのですが
(【例】1^(1/2)=(cos0+isin0)^(1/2)=(cos2π+isin2π)^(1/2)=cos0+isin0=cosπ+isinπとはならないですね)
今回はそういうややこしい話にはぶち当たらないので心配は要らないのです~

証明は幾つか考えられそうですが,まずは教科書に載っている標準的な考え方でいってみますrokuro.gif


taxi02.gif素直に数学的帰納法を使うパターン

nに関する命題なので数学的帰納法で証明しましょう~というのが定番の発想かと思いますdokuro.gif
ところでですが,αとβの関係についてみてみると,βはαの共役複素数ですね~
また,絶対値が1なのでαの逆数にもなっています~
具体的に角度が与えられる(2)以降では更に別の表示も可能になります

i1.gif

このため,α^nとβ^nの式,両方を別々に帰納法で証明してもいいですが,
α^nの方だけ証明してβ^nの方はα^nの式を変形して証明するというパターンの方が手間は減りますkusyami02.gif
また,任意のθに対して成り立つ式なのでθを-θに置き換えても構わないにゃ~neko02.gifという発想でもOKです


i2.gif

難しいところがあるとすると,三角関数の加法定理を逆に使うあたりくらいかな?
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB という変形には慣れていても sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B) 
という変形には案外慣れていないかもしれませんね。
よくみると三角関数の合成という見方で対処することも出来そうですにゃkujira.gif



ちなみに,例えばβはαの逆数だから~というのを使うと,最後はこんな感じh-rakuseki.gif


i3.gif


taxi02.gif絶対値1の複素数との積が回転を表すことを利用するパターン

複素数平面の単元が消滅していた昨今,複素数zに絶対値1の複素数α=cosθ+isinθを掛けると
zαは点zを原点中心に角度αだけ回転した点を表す複素数になるという話は,
もはや一般高校生の間では常識ではなくなっていたのかもしれませんpakukapa.gif


i8.gif

その事実はzαを極形式で表すだけですぐ確かめられるので,
指導要領に無いとて,その場ですぐ証明は可能です(むしろ何食わぬ顔で複素数平面を持ち出していいのかどうかの方が問題かぁinsect_kuwa_m.gif )

この考え方に基づくとド・モアブルの公式は非常に当たり前臭い等式といえて
α^n=αα^(n-1) は点αに対し角度θの回転移動(n-1)回繰り返した点を表すわけだから,それは角度(n-1)θの回転移動であり,
従って, α^n=cos(nθ)+isin(nθ) が成り立つというわけなのです~kaeru_fuku.gif


試験問題では,出題側がどこまで詳しい説明を要求しているかに沿って解答することが必要です。
角度θの回転移動(n-1)回というのは,非常に明快だしイメージもしやすいので
果たしてわざわざ数学的帰納法を用いて証明することが要求されるかと言うのは悩むところだと思います。
1回αを掛けるとにθだけ回転する。もう1回掛けると更にθだけ回転する。
もう1回掛けると更にθだけ回転する。………,最後の1回αを掛けると最後のθ回転をする。
この途中の,同様の手順を繰り返す「………」の部分で何が起きているのかを
「同様に」みたいに曖昧にせずに明確に説明しなさい,とおっしゃるのならば帰納法を用いるのがベターかと思うので
悩んだのなら帰納法使っとけ,といったところでしょうかkudan.gif


i9.gif


taxi02.gif漸化式を用いるパターン

α^n=X_n+iY_nとおいて, X_n=cos(nθ),Y_n=sin(nθ) となることを示しましょうという方針ですhakushu.gif
まずはX_nとY_nに関する漸化式を立てますwaraioni.gif


i4.gif

連立漸化式の解き方というのは色々あるんでしょうが,
今回は行列計算を使って解いてみますniwatori.gif


i5.gif

ここに現れた行列Rですが,これって角度θの回転行列ですよね~
なのでその(n-1)乗は角度(n-1)θの回転行列なわけです~
でもまぁ,いきなり「回転行列だから~」で済ましていいかどうか不安なので帰納法で証明しときましょうkawauso.gif


i6.gif
i7.gif




taxi02.gifEulerの公式を用いるパターン

これは完全に高校数学の範囲外です~body_walk.gif
でも,ちょっと発展的な話を知ってる高校生ならEuler(オイラー)の公式を知ってるかと思いますfutaba05.gif
(といっても,Eulerの公式みたいに呼ばれる式って実はいくつかある)



i10.gif

物凄く有名で深くてキレイな公式なんですが,この公式を使うと,もはやド・モアブルの定理はただの指数法則を使った計算で済んでしまいますs2_sum_hotaru.gif

i11.gif

ただ,整数ベキだからこれでいいんですが,一般には指数計算は多価性に注意しなきゃいけませんeto_tatsu.gif










最後に1ついっておくと,2項定理を使って (cosθ+isinθ)^n を展開して整理することで,実部と虚部からそれぞれ三角関数のn倍角の公式 cos(nθ)=なんちゃら,sin(nθ)=なんちゃら,を得ることが出来ますよ~ny_tako.gif


もしなんらかの方法で先にn倍角の公式を求めてしまえれば,それを使ってド・モアブルの定理を証明する,
な~んてこともできちゃいそうですねdog_smile.gif






           

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2012年東北大入試(後期)理系数学第4問

2012.08.20 20:38|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東北大入試(後期)の理系数学第4問をやります~kirakira(1).gif

問題はこちら箱ドットおにおん2mini
m4

なんだか文章が長ったらしい確率の問題なんですが~yotuba08.gif
個人的な感覚からすると,全部で6つある大問の中で一番簡単なのがこの第4問である気がします~
(2)なんて,漸化式とか使って解くような面倒な問題なのかと思いきや,
後半の動き方が一意的に決まってしまっているので,何も怖いことがありませんbeen.gif

数学の問題を解くときに,実際に手を動かして実験してみる,ということが大事になることがしばしばあります。
この問題なんかもそうで,ちょっと確かめてみたらどんな計算をしなければならないかがすぐ分かります~


では(1)から見ていきましょう~boy08.gif


butterfly07.gif動点Qの移動の仕方を絞り込む解法

x=4,6が共に訪問点になるということは,
x=4が訪問点になる確率をまずは求めて,その後の移動分の確率を掛ければOKなわけです~buta(2).gif
動点Qは一度に+1+2の移動をするので,
4=1+1+1+11+1+22+2より
x=4が訪問点になるには, 「+1の移動4回」 「+1の移動2回,+2の移動1回」 「+2の移動2回
のいずれかの移動の仕方になることが必須ですaicon_bbs17.gif

特に「+1の移動2回,+2の移動1回」については,+2に移動が何回目にやってくるかで3通りあることに注意です~s2_sum_bbq.gif


h1.jpg

h2.jpg

x=4に到達した後にx=6に到達するためには,
4→5→6」 か 「4→6」 の2パターンのどちらかの移動の仕方をしなければなりませんrobo.gif 

h3.jpg



butterfly07.gifx=4の1つ前の訪問点で場合分けする解法

前半のx=4が訪問点になる確率ですが,今度はx=4の1つ前の訪問点がx=2かx=3かで場合分けしてみましょう~rabi_smile.gif

h4.jpg



butterfly07.gifx=6に到達する時刻で場合分けする解法

x=6に到達するのは最も早くてで2+2+2の移動をする時刻3,
最も遅くて1+1+1+1+1+1の移動をする時刻6で,どちらの場合もx=4も訪問点になっています

到達時刻3~6の場合についてそれぞれ確率を求めて足せば答えになりますねbody_stretch.gif

h5.jpg

h6.jpg

h7.jpg


最初に求めた答えの形とは違っていますが,これはこれでそれなりにキレイにまとまっているので
答えの形としてはアリなんじゃないかな?

ちなみに次のようにして因数分解した形にもっていくことが出来ますbakezouri.gif

h8.jpg



butterfly07.gif余事象の確率を計算する解法

x=4,6が共に訪問点である,の余事象はx=4,6のうち少なくとも一方は訪問点ではない
ですが,これはさらに次のように言い換えることが出来ます:
「x=6が訪問点ではない」 または 「x=4が訪問点ではないがx=6は訪問点である」

よって,「x=6が訪問点ではない」の確率と「x=4が訪問点ではないがx=6は訪問点である」の確率の和が
余事象の確率となります~poloneck.gif

ちなみに,一度に移動できる距離が+1か+2しか無いので,
x=kが訪問点でないとすれば,必ずx=k±1は訪問点になります~
つまり,k-1→k+1という移動の仕方以外が無いのです~clover.gif

h9.jpg

h10.jpg



次は(2)を考えてみましょう~dog_love.gif


butterfly07.gif動点Qの移動の仕方を絞り込む解法

x=3,6,9,…,3mが訪問点ではない確率ということで,何やら難しそうですね~
ところが,実は全然難しくないんです~s2_sum_sunflower.gif

上で述べたようにx=kが訪問点でないとすれば,必ずx=k±1は訪問点になるので,

x=3が訪問点でないからx=2,4は訪問点になり,
x=6が訪問点でないからx=5,7は訪問点になり,
x=9が訪問点でないからx=8,10は訪問点になり,

…ということを繰り返していくと,x=2から先の移動の仕方が

x=2→4→5→7→8→10→11→13→……→3m-2→3m-1→3m+1


と1通りに確定してしまうのであります!tanuki.gif

場合分けがいるのはx=2に到達するまでの部分ですが,
それも 「0→1→2」 か 「0→2」 の2パターンしかありませんzashiki.gif

h11.jpg


butterfly07.gif確率漸化式を用いる解法

確率漸化式を立てて解くのも簡単そうですね~kirin.gif

h12.jpg
h13.jpg






(1)の別解のように細かく分類したり余事象を考えたりとかすると,
結構な計算をさせられそうな予感がします。2項定理とか出てくるんじゃないだろうか~kinkan.gif
暇な人はやってみてください~kirakira.gif
今回の問題は一旦ここまでとします~



   

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