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平成24年度宮城県公立高校入試数学 第五問(B) その1

2012.09.30 12:00|高校入試問題
どもども。

今回は今年の春の宮城県公立高校入試の数学選択問題Bの第五問をやっていきます~
1次方程式の1,確率の2,図形問題の3,
3題から成りますが,今回扱うのは1と2です~

問題はこちら~箱ドットおにおん2mini

mon5b1.jpg
mon5b2.jpg




ではまず1からやっていきましょう~yotuba14.gif

一見するとシンプルな方程式の問題です。
1次方程式で解いてもいいし連立方程式を立てても良さそうです
1つ厄介なのは,男子の人数と女子の人数,どちらが多いのか分からないところですね。

そのような問題はもしかしたら不慣れかもしれませんが,

えー>< そんなんどうすればいいか分かんないよう~

みたいに動揺しないようにしましょう。
男子のほうが多い か 女子のほうが多い か
どちらかが正しいので2択です。

男子のほうが多かったら… という場合と
女子のほうが多かったら… という場合の

両方を,方程式を解いて調べてみたらOKです。
正しいほうからはちゃんと答えが出てきますし
正しくないほうからはおかしな解が出てくることになります。
それによって判定することが出来ます~saboten.gif



男子の人数をx人とおいてみる
p1.jpg

このように,人数なのに「-12」というおかしな数値が出てきたことで
男子のほうが多い というシチュエーションはおかしい
ということがわかります~

では一方,女子のほうが多いと仮定するとどうでしょうかrose03.gif

p2.jpg

今度は何も不自然ではない答えが出てきましたね。

さて,問われているのはA型の男子,女子の人数です。
うっかり油断して男子12人,女子20人を答えにしないようにしましょうonpu10.gif


p3.jpg



女子の人数をx人とおいてみる

やることは基本的に一緒です~
ただ,ちょっとだけ計算は手間が多くなるかな?ningyou.gif


p4.jpg




ちなみに連立方程式で解いてみるとすると,
男子の人数をx人,女子の人数をy人とおいて

(1/3)x+(2/5)y=x,   x=y+8

または

(1/3)x+(2/5)y=x,   x=y-8

を解けばOKです~
前者が男子の方が多い場合,後者が女子の方が多い場合です~



男子と女子の人数比を求めてみる

次は方程式を使わずに解いてみます~
男子と女子の人数比を求めることで,
男子と女子どちらが多いかを探ってみます。
その結果,「男子が多かったら」「女子が多かったら」の仮定が不要になりますnasu.gif


A型男子は男子全体の1/3だけいます。
A型男子とA型女子の人数の和は男子全体の人数と等しいです。
ということはA型女子の人数は男子全体の2/3と等しいことが分かりますkoinoburi06.gif
A型女子は女子全体の2/5だけいるので,
これらの関係から男子と女子の人数比を求めることが可能です!


ちなみに 男子:女子=3:5 になりますdog_love.gif

このことから,女子のほうが多いことがわかりますね。
何人多いかというと,問題文より8人です。
男子:女子=3:5より,男子は女子の3/5だけいるので,
人数差の8人というのは女子全体の人数の2/5ですladybug.gif


p5.jpg

p6.jpg






続いて2の確率の問題です~

コインを投げて表が出るか裏が出るかによって,
玉を取り出す容器と取り出す個数が変わってきます。
どのような操作を行うのか正しく把握するようにしましょうkudan.gif


(1)ではコインを2回投げます。
まずは全体の場合の数を求めましょう。
コインの表裏の出方は(表表),(表裏),(裏表),(裏裏)
4通りあるので,これが全体の場合の数です



それぞれの場合にA,B,Cの容器の玉の個数を数えてみる

4パターンしか無いので,それぞれの場合について
A,B,Cに残っている玉の個数を実際に求めてみます。
あとはそれを見て,Aの玉の個数が最小になっている場合がいくつあるか数えればOKですkaeru_yodare1.gif

p7.jpg

(裏裏)のときだけはBの3個が一番少なくて,
あとの3パターンはどれもAの玉の個数が一番少ないですね~



1回目が表か裏かで場合わけしてみる

コインを2回投げるので,とりあえず1回投げてみた後の結果を調べてみて
その上で2回目がどうなればAの玉の個数が最小になるかを考えてみる手があります

p8.jpg
p9.jpg






(2)はコインを3回投げます~
まずは全体の場合の数を求めますdrink_juice.gif

p10.jpg


表と裏がそれぞれ何回出るかで場合わけしてみる

表と裏の出る回数が決まれば,それらの出る順番にかかわらず
Bの玉の個数は決まってしまいます。
では,Bの玉の個数が5個になるのは表,裏がそれぞれ何回出たときなのでしょう?dokuro.gif

p11.jpg



8通りある各パターンについて,A,B,Cに残っている玉の個数を数えてみる

(1)で最初にやった解法と同じやり方をやってみます~
全体で8パターンなので,まぁ何とか全パターンについて
玉の個数を調べてみてもいいでしょうdolphin.gif

Bに残ってる玉の個数が5個になっている場合の数を数えればいいですね!

p12.jpg



2回目の操作を終えた時点での個数から考察してみる

(1)を解く過程で,4通りある各パターンでの玉の個数を数えているとしましょう。
そのデータを利用して(2)を解くのも効率的でいいですよねcar2_dump.gif
それを見て,3回目に表と裏どちらが出たらいいかを考えてみます

p13.jpg








次回は図形問題の3をやっていきます~body_stretch.gif




   
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テーマ:算数・数学
ジャンル:学校・教育

タグ:宮城県 公立高校入試 数学 選択問題 B問題 1次方程式 文章題 連立方程式 確率 コイン

平成24年度宮城県公立高校入試数学 第五問(A) その3

2012.09.26 00:00|高校入試問題
どもども。

今回もこの春の宮城県公立高校入試の数学のA問題選択5番の続きをやっていきます~~yotuba13.gif

前回は3の図形の問題をやっていました~

問題はこちら~算数mini

mon5a3.jpg

n1.jpg


mon5a4.jpg

前回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-28.html


今回は(3)からやっていきます~
前回の話も利用しますので上のリンクを参考にしてくださいudon(1).gif


(3)はAB=6cmのとき,FGの長さを求めよ
というものです。

三角形の相似関係から得られる線分比の関係式を駆使しますが
それだけでは解けません。
三平方の定理も活用しなければいけないのですよー!onpu07.gif

なんとかしてAEの長さを求めて
あとは線分比の関係でFGを求めたいです

△ABCは正三角形なので,30°-60°-90°型の直角三角形や
60°や120°のような角があちこちにちょこちょこ現れます。
それらを用いた1:2:√3絡みの線分比の関係に着目することが大事です。
あとはうまい具合に三平方の定理で長さを求めていけばいいですmikan01.gif


どこに直角三角形を見い出すかによって解法が変わってくるので,
幾つかのパターンを紹介してみたいと思いますmayo01.gif



AからDEに垂線を下す

下の図のようにAからDEに垂線AHを下してみます。
このとき,△ADHは30°-60°-90°型の直角三角形で
AD=10cmがわかっているので
AHとDHが求められれます。
これでAH,HEの長さが分かるので△AHEにおいて三平方の定理から
AEの長さが計算できますkusyami02.gif

n9.jpg
n10.jpg
n11.jpg



頑張って答えを求めたのに,√76=2√19に気付けずに,
答えを4√76/35として終わってしまってる人は多かったんじゃないかという
気がします。最後の最後まで油断が出来ませんね!!kouji-ani.gif



さて,AEの長ささえ求めてしまえば,あとは

 FG=(2/7)FE (上の解法)
 FG=(4/25)AG
 FG=(4/35)AE
 FG=FE-GE
 FG=AG-AF
 FG=AE-AF-GE


などに着目する方法でFGを求めることが出来ます。

例えば,AF:FG:GE=21:4:10を利用して解く場合はこんな感じになります


o1.jpg

o2.jpg



EからADに垂線を下す

次は下の図のようにEからADに垂線EIを下してみましょう
今度は△EDIが30°-60°-90°型の直角三角形ですよ~

o3.jpg


AEを求めたらあとは既に挙げた解法と同様ですkoinoburi10.gif


EからBCに垂線を下す

今度はEからBCに垂線EJを下して考えてみます~
すると△ECJが30°-60°-90°型の直角三角形ですよ~

o4.jpg
o5.jpg

この解法の場合はAEではなくてFEを計算してますねk-01.gif



DEとACを延長する

DEとACを延長して交点をKとすると,
△ADKは正三角形になります~
EからCKに垂線ELを下すと,△EKL≡△ECLで
どちらの三角形も30°-60°-90°型の直角三角形ですjya-ji01.gif

o6.jpg
o7.jpg

AEを求めたあとは他の解法と同様です~


AEの代わりにDCを求める

一般に下の図のような台形ABCDが与えられたとき,
∠B=∠Cであるときは,左右対称な台形になり,
これを等脚台形とよびます。
左右対称なのでAB=DC,AC=DB,∠ABD=∠DCA
などが成り立ちます~

o8.jpg


さて,今回の図では,傾いてるので分かりにくいかもしれないですが
台形CADEは∠CAD=∠EDA=60°が成り立っていますので,
実は等脚台形なんですよ~~hiyoko03(1).gif

したがってAE=DCになっているので,AEの長さを求める代わりにDCの長さを求めても構いません。

その際もやはり適当な位置に垂線を下して直角三角形に三平方の定理を適用します。

例えばCからADに垂線を下したりすればよいですね
基本的にやることはAEを求める過程と特に違いはありません~

AE=DCを利用した解法例を次に挙げてみますね~



△AGC∽△CGFを利用する

△CFG∽△DEG≡ACGより△AGC∽△CGFが成り立ちます~
ここで得られる線分比の関係からFGを求めるという発想もありますよheri01.gif


o11.jpg
o12.jpg



メネラウスの定理を利用する

最後は,高校受験の時点ではちょっとマニアックな知識になりますが
メネラウスの定理を使ってみたいと思います~
高校数学の範囲では結構メジャーになるんですが,
内容は以下のとおりですhana07.gif

o9.jpg

三角形に直線が交わってるシチュエーションで成り立つ定理だと思えばよいです~

これを利用してAF:FG:GEを求めてみたいと思います~
△ADGと直線BCに関してメネラウスの定理を使ってみます


o10.jpg





いろんな解法が考えられる問題でした~
次回はB問題のほうの大問5をやっていきますよ~



     

テーマ:算数・数学
ジャンル:学校・教育

タグ:宮城県 公立高校入試 数学 選択問題 A問題 相似 正三角形 平行四辺形

平成24年度宮城県公立高校入試数学 第五問(A) その2

2012.09.25 19:13|高校入試問題
どもども。

今回はこの春の宮城県公立高校入試の数学のA問題選択5番の続きをやっていきます~~yotuba13.gif

1と2を前回やったので今回は3の図形の問題をやります~

問題はこちら~もなたん算数mini

mon5a3.jpg

n1.jpg


mon5a4.jpg



正三角形と平行四辺形を合体させた図形です~
色んな図形の性質が使えそうですが,
そのおかげで,かえって混乱しちゃうかもしれませんねtaxi01.gif
入試問題のトリに出てくる図形問題は大抵このように複雑です。
相似な三角形の組なんかが多いと,
いったいどの相似関係に着目すればいいのかなど
迷ってしまいますよね。

特に平行線があると相似な三角形はたくさん出来ます。
この問題だと分かりやすいトコだけでも
△ABF∽△ADE,△FCG∽△EDG,△ADG∽△ECG,△ABF∽△ECF
なんかが挙げられます~tawa02.gif

とにかく,そもそも様々な図形の関係性に気付けないと,
「どれを使えば解けるのか」を悩むステージに進めませんので
等しい辺や角,平行な線分などに印をつけたりするなどして状況把握に努めましょうtakenoko03.gif





まずは(1)です!
BF:DEを求める設問ですね~

△ABF∽△ADEを利用する

一番オーソドックスな解法がこれだと思います。
以下に挙げる平行線と線分の比の関係を用います。

n4.jpg

これらは△APQ∽△ABCから導かれる線分比の関係式です。
今回の問題では△ABF∽△ADEに着目してこの関係式を用いてみましょう~akaname.gif

n2.jpg
n3.jpg


一瞬で答えが求められてしまいましたbouquet.gif



(1)別解1  △ABF∽△ECFに着目する

今度は△ABF∽△ECFに着目してみます。
BF:FCの比とBC=DEの関係式からBF:DEを求めますbuta.gif

n5.jpg
n6.jpg



(1)別解2  △CFG∽△DEG,△ADG∽△ECGに着目する

次はBF:DEを求めるためにまずFC:DEを求めようという発想で,
そのためにまず△ADG∽△ECG,次に△CFG∽△DEGから導かれる線分比の関係式を利用します

n7.jpg
n8.jpg




基本的な解法は大体こんなトコですかねー
続いては(2)です~cat_1.gif

△CFG∽△DEGを証明する問題です~
しかしながら,実は上にある(1)別解2の中で既に証明しちゃってますね~car2_tank.gif
これが一番やりやすくて分かりやすい証明の方法だと思います

せっかくなので,別の相似条件を用いた証明も挙げておくことにします

【証明2】
△ADGと△ECGにおいて,
∠AGD=∠EGC (対頂角)……
∠GAD=∠GEC (平行線の錯角)……
 , より,対応する2角がそれぞれ等しいので,△ADG∽△ECG
よってCG:DG=EC:AD=DB:AD=2:5…… 

また,(1)より BF:DE=3:5
BF+FC=BC=DEより,CF:DE=(5-3):5=2:5 ……

△CFGと△DEGにおいて,
∠FCG=∠EDG (平行線の錯角)……
 , , より
対応する2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので,
△CFG∽△DEG

【証明終わり】


【証明3】
△ADGと△ECGにおいて,
∠AGD=∠EGC (対頂角)……
∠GAD=∠GEC (平行線の錯角)……
 , より,対応する2角がそれぞれ等しいので,△ADG∽△ECG
よってCG:DG=EC:AD=DB:AD=2:5…… 

また,(1)より BF:DE=3:5
BF+FC=BC=DEより,CF:DE=(5-3):5=2:5 ……

さらに,△ABFと△ECFにおいて,
∠AFB=∠EFC (対頂角)……
∠BAF=∠CEF (平行線の錯角)……
 , より,対応する2角がそれぞれ等しいので,△ABF∽△ECF
よって,AF:EF=AB:EC=AB:DB=3:2

ここで,AF:FE:EG=3:2:xとおく。
(3+x):(2-x)=5:2
2(3+x)=5(2-x)
x=4/7

したがって,FG:GE=4/7:(2-4/7)=2:5……

△CFGと△DEGにおいて
 , , より,対応する3組の辺の比がそれぞれ等しいので,
△CFG∽△DEG

【証明終わり】



次回は(3)をやっていきます~dog_happy.gif





     

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