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2012年東工大入試数学 第3問その2

2012.10.30 17:39|大学入試問題
どもども。


前回の続きで東工大入試数学第3問やっていきますよー

問題はこちら算数mini

mon3.jpg


前回は(1)をやったので今回は厄介な(2)をやりますー
何が厄介かというと,キレイな結果(導関数が因数分解できる)にたどり着くまで
なかなか面倒な計算が続くので,
「あれおかしぃなぁ~どこかで計算間違えたかなぁ~
という恐怖が付きまとってじわじわ苦しめてくることです。
更に加えて,自分みたいなうっかりさんは,本当に途中で計算間違ってるから
ますます厄介ですtawa02.gif

問題内容は3次関数と原点を通る直線の囲む領域の面積の最小値を求めるものです。

直線ℓが曲線Cの接線になっているa=-1/4,2のときを境として
(i) -1/4≦a≦2      (ii)a>2
の2つの場合に分けて考えましょーtaxi02.gif
境界点a=-1/4,2の場合を更に別に分けてもいいですが
上のように一緒にまとめてしまっても特に支障はないです。
(i)の場合の最小値または下限,(ii)の場合の最小値または下限を比べて
小さいほうがSの最小値になります。
(※ 「最小値」ではなく「最小値または下限」としたのは,
最小値を持たないことがあるからで,実際(ii)の場合は最小値がありません。
最小値ギリギリまでいきますが最小値まで届きません。(ii)a≧2 という風に
「≧」をつけておくとこの問題は起きません。a=2で最小値をとります。)

直線ℓと曲線Cの交点のx座標をx=0,α,β (0≦α≦β)とおきます。


f1_20121030034025.jpg


まずは(i)から考えます。
積分を使ってS(a)をα,βの式で表しますsosu.gif

f2_20121030034025.jpg

これにα,βの値を代入して出来たaの関数を微分して…
というのが通常の流れなんですが,
計算が大変になる事が目に見えているので,何やら工夫を施したいですねsaboten.gif


aの関数にすると無理関数とか出てくるし面倒ですが,
一方,現在のαやらβやらが混じった段階の式は多項式なので,
まだ扱いやすそうです。
それならば,aの関数にこだわらないで,いっそαの関数にしてみてはどうか。
つまり変数変換です!onpu15.gif

α,βは2次方程式 x^2-3x+2-a=0 の解として与えられます。
解と係数の関係より,  α+β=3, αβ=2-a
が成り立ちますので, β=3-α, 2-a=α(3-α)
となります。これをさっき求めたS(a)の式に代入すれば,
たちまちαだけの多項式に変形できてしまいます。
それをT(α)とおきましょう。T(α)の最小値または下限を求めます。

-1/4≦a≦2 という変域も,変数変換に伴い,αの範囲に直さなければいけません。
幸いにもαはaの単調減少関数になっているので,
αの取り得る値の範囲を求めるのは容易です~ladybug.gif


f3_20121030034026.jpg
f4_20121030034026.jpg

とりあえず(i)の場合はa=38-27√2のときに最小になることが分かりました。
計算ミスしていないか不安になりそうな値ですね~

別解は一旦置いといて,先に(ii)のほうをみてみます~

こちらの場合は,様子がとても分かりやすいです。
面積を求めたい領域をD(a)とおいてみます。
2<a<bのときは, D(a)⊂ D(b) となっているので
S(a)が単調増加になっていますkaeru_yodare2.gif


f5_20121030034027.jpg




次は,(i)の場合の考察の別解を考えてみます

 多項式の割り算を利用してS(a)を計算する

最初の解法は,aの関数に固執しないで,αの関数にしてしまえ!
という発想でしたが,「いや,私はaの関数にこだわりたいのッ!
という人もいると思うので,今度はaの関数のまま考察してみます。


とはいえ,積分して求めたα,βを含んだ式を,
そのままα,βの値を代入してaの関数に直すのはちょっと大変です。
こんなときに頼りになるのは割り算ですよーーdolphin.gif

F(x)=x^4/4-x^3+{(2-a)/2}x

とおくと,S(a)={F(α)-F(0)}-{F(β)-F(α)}=2F(α)-F(β)
になっています。
α,βは2次方程式 x^2-3x+2-a=0 の解なので,
 α^2-3α+2-a=β^2-3β+2-a=0 が成り立ちます。
そこで,F(x)を2次式 x^2-3x+2-a で割ると
1次式の余りR(x)が出てきます。このとき, F(α)=R(α),F(β)=R(β)
が成り立ちます。α,βを代入するなら,4次式F(x)より1次式R(x)のほうが
計算しやすいですよね これでS(a)の計算が少し楽になります~~
あとは微分して増減を調べればOKです~dog_love.gif

f6_20121030034027.jpg

f7_20121030034127.jpg

2-(38-27√2)=27√2-36=√1458-√1296>0 より 2>38-27√2
が抜けてましたね><



 定積分で表された状態で微分する

定積分で表された関数を微分して増減を調べるタイプの問題は,
最初に定積分を計算した後に微分する方法のほかに,次の公式を使う方法もあります。

f8_20121030034127.jpg

今回は,定積分の上端と下端にαやβが含まれているので,
最初の解法と同様にαの関数とみなして,αで微分を試みます。
注意しなければならないのは,被積分関数にαが含まれていると
上の公式はそのままでは使えないことです。
αをうまーく積分の外に出して公式を使います。
また,上端がβ=3-αのときは合成関数の微分とみなしますdog04.gif


f9_20121030034128.jpg

f10_20121030034128.jpg

最初の解法と同じ微分の式が出てきたので,あとは最初の解法と同様です





 被積分関数=x(x-α)(x-β)であることを利用する

被積分関数はx=0,α,βを零点にもつ3次関数ですので,
x(x-α)(x-β)と書けます。この形を利用した変形で定積分計算してみます。
この解法の特徴は,S(a)を求めるまでの計算が,x(x-α)(x-β)という形の
関数なら常に成り立つものになっていて,
x^3-3x^2+2-a という具体的な係数を持った関数の場合に限らない,一般論になっていることです。
そのため,別の問題で同じような形状の図形の面積を求めるときにも
全く同じ計算が使えますkatudon.gif


f11_20121030034129.jpg

I_2の計算は俗に言う「1/6公式」を使っています。

f12_20121030034129.jpg

あとは最初の解法と同様です~





 1次近似を利用する

次は,とりあえず答えだけバッと求めたい!時に使える技です。
かなりアバウトな発想になるので注意です。検算用ですね
△aは信じられないくらい恐ろしく凄まじくはんぱなく絶対値が小さい値とします。
aの値がa+△aまで増えたとき,下の図でいうと緑色の部分が面積の減分,
水色の部分が面積の増分になっていますが,
この面積の増分と減分が等しくなって均衡がとれるときはいつでしょうか。
△aは小さいので,△OPQと△OSRは二等辺三角形だと思いましょう。
緑の部分は△OPQの面積で1次近似,水色の部分は四角形QPRSの面積で1次近似
すると,△OPQ∽△ORSで,相似比が1:√2のときに
△OPQ:四角形QPRS=1:1になります。
よって,OP:OR=1:√2が成り立つ場合を計算すればOKです。

そのときのaより大きいaをとると,OPは短く,PRは長くなり,
増分のほうが大きくなるためS(a)は増加。
小さいaをとると,OPは長く,PRは短くなり,
減分のほうが大きくなるためS(a)は減少。
均衡の取れるaで極小になっていますkudan.gif


f13_20121030034200.jpg






最後に(ii)の場合に具体的にS(a)を計算して単調増加を考察する場合を
やってみておしまいにしましょう~

やり方は(i)の最初の解法と同様にやってみます。
αの関数に直すと範囲はa>2からα<0に変化するので
T(α)の単調減少性を述べればOKですdokuro.gif


f14_20121030034200.jpg







次回は大問4をやりますーーーudon(2).gif






   
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タグ:東工大 大学入試 数学 2012 微分 積分 面積 最小値 3次関数

2012年東工大入試数学 第3問その1

2012.10.29 12:03|大学入試問題
どもども。


今回はこの春の東工大入試数学の第3問です~

問題はこちら~ぺんぎんmini

mon3.jpg

安易にいえば,下の図の緑の部分の面積の最小値を求める問題です

計算に工夫を施して効率的に計算を進めないと大変です。
自分はこういう問題は大抵計算ミスしますね~~
いかに落ち着いて正確に計算できるか,が試されます。
やることは分かっているし,間違ってないはずなのに,なぜか計算がひたすらメンドクサイので,
どこかで自分の計算は間違ってるんじゃないかという不安が常に付きまとう系の問題ですakaname.gif
果たして自分の計算をどれくらい信じられるでしょーか。

ee3.jpg


まず(1)は下準備。
直線ℓが曲線Cと原点以外の交点を持つためのaの条件を求めます。

問題を解く前提として曲線Cとはどんなものか考察してみましょう。
曲線Cの方程式は y=x(x-1)(x-2) とかけるので,
x軸との交点は(0,0),(1,0),(2,0)の3点であることがすぐ分かります。
3次関数のグラフなのでこの情報があるだけで大まかな形状は把握できますが,
せっかくなので極値も調べておきましょう。
ただし,この問題では極値はこれといって重要ではないです。

e1_20121028203616.jpg


さて,(1)の解法ですが,
いくつか考え方があるので,何個か見てみましょうgp01.gif


 2次方程式が解を持つ条件に帰着させて,判別式を考察する

曲線Cと直線ℓの交点のx座標は,3次方程式
x^3-3x^2+2x=ax  の解で与えられます。
これは,  x{x^2-3x+(2-a)}=0  と書き換えられます。
そのため,x=0のほかの解は2次方程式 x^2-3x+(2-a)=0 から得られますhamster_2.gif

よって,まず第一にこの2次方程式が実数解を持たなければなりません。
これは, (判別式)≧0 によって条件が求められます。
このとき計算後に得られるのが, a≧-1/4 という条件です。
この条件から,「上の2次方程式がx=0しか解を持たない」場合のaを取り除けば完了です。
今回の問題では,そのようなaはありません。a=2のときにx=0を解には持ちますが,
もう一方の解がx=3になるので,しっかりx=0以外の解を持ちます~

e2_20121028203617.jpg

e3_20121028203617.jpg



 2次方程式 x^2-3x+(2-a)=0 の解を直接考察してみる

上の解法に出てきた2次方程式 x^2-3x+(2-a)=0 について
解の公式で解を求めます。ルートを含んだ式がでてきますが,
その中身が≧0であることが,さっきの判別式の条件と同値になりますhiyo_face.gif

e17.jpg


ここに出てくる「±」のついた2つの解のうち,
「+」のほうは,よく見ると常に正ですね!!
したがって0になることはないので,x=0以外の解を必ず持ちます~~

e18_20121028203828.jpg

違う考察の仕方としては,例えばこんなやり方が浮かびます。
この2次方程式は重解を持つ場合を除いて2個の異なる解を持ちます。
ということは仮に片方がx=0だったとしても,
他方は必ずx=0以外の値になるということなので,
あとは重解を持つ場合について,その重解がx=0ではないことを確かめればOKというわけですkaeru_ang2.gif

e19_20121028203837.jpg



 3次関数 y=x^3-3x^2+(2-a)x を考察する

3次関数 A(x)=x^3-3x^2+(2-a)x のグラフとx軸の交点が
(0,0)以外に存在するためのaの条件を求める,という発想でも解けますね!

さっきまでとは違った着眼をしてみたいので,
y=A(x)のグラフの極小値に注目してみます

(極小値)≦0 となることがx=0以外の交点を持つ条件になっています。
 

e4_20121028203618.jpg

この極小値を求めるためには,A(x)の式に x={3+√(3a+3)}/3 を
代入して計算しなければなりません。しかし,それはちょっと大変ですね。
時間もかかる上に,きっと計算ミスしますね!isona.gif

そこでちょっとだけ楽をしましょう。
 x={3+√(3a+3)}/3 は2次方程式 A’(x)=0 の解ですので,
多項式 A(x) を多項式 A’(x) で割ってやります。
筆算をすれば割り算できますね!
そこで出てきた余りの1次式に x={3+√(3a+3)}/3 を代入すると,
それがA(x)の式に x={3+√(3a+3)}/3 を代入したものと同じになりますinsect_kuwa_m.gif

e5_20121028203618.jpg


ちょっと難しそうな不等式が出てきました。
ルートを含んでるので両辺を2乗して解きたいのですが,
無理不等式は同値性に注意して変形しなければならんので,
むやみに2乗してはいけません。
(たとえば,-2<5 は両辺を2乗して 4<25 としても正しいですが,
-2<1 は両辺を2乗すると 4>1 と不等号の向きが逆転します)


まずルートの中身が≧0でなければならないので a≧-1 です。
a≧0 のときは,左辺は0以下,右辺は正になるので常に不等式は成り立ちます。
-1≦a<0のときは両辺ともに正なので2乗して比較しても大小関係は一緒です。

e6_20121028203619.jpg
e7_20121028203744.jpg




 他の交点を(p,p^3-3p^2+2p)とおいてみる

(0,0)以外の交点を持つ条件を求めるので,
その交点を仮に(p,p^3-3p^2+2p)とおいてみます。
(0,0)以外といってるのでp≠0です。
直線ℓは2点(0,0),(p,p^3-3p^2+2p)を通る直線なので
y=(p^2-3p+2)x と表すことが出来ます。
したがって, a=p^2-3p+2 が成り立ちます。
aがpの関数として表されました。

p≠0のときに関数 a(p)=p^2-3p+2 のとりうる値はどうなるでしょう。
それが求めるaの範囲と合致しますkitune.gif


e8_20121028203744.jpg

p=0のときa=2なので,これが除外されるかと思いきや
別のp(ちなみにp=3)がしっかりa=2をカバーしてくれています。

そこにある図を見て欲しいのですが,p軸に平行な直線a=kを考えると
これと,a=p^2-3p+2 (p≠0) のグラフとの交点の数が
y=kxと曲線Cの,原点以外の交点の数です。
k=-1/4,2のとき, a=p^2-3p+2 のグラフと a=k は1点のみで交わっていますね。
実はこれは直線ℓが曲線Cの接線になっている場合になっています。
次の解法に出てくる図と見比べながら考えてみると良いかもしれませんkame.gif




 直線ℓが曲線Cの接線になってる場合を分岐ポイントとして考える

最初に挙げた解法のように,図とか考えずに方程式の計算をガリガリするだけでも
問題は解けますが,図を描いてみてℓがどんな状態のとき複数の交点を持つかを
調べてみる作戦も有効ですよね

直線ℓが曲線Cの接線になっている場合が2通りあります。
そのときのaをまず求めてみましょう。

e9_20121028203745.jpg

e10_20121028203745.jpg

y=-1/4xとy=2xが接線になっているようです。

a=-1/4,2の前後で図の状況が変化するようなので,
このときCとℓの交点がどうなるか見てみましょうkawauso.gif

e11_20121028203746.jpg
ee1.jpg


e12_20121028203746.jpg
ee2_20121028204458.jpg

(※ 緑の部分は(2)で面積を求める部分なので(1)では関係ありません)

e13_20121028203826.jpg
ee3.jpg



e14_20121028203826.jpg
ee4.jpg



e15_20121028203827.jpg
ee5.jpg



e16_20121028203827.jpg

3次関数は直線よりも増加のスピードは速いことに注意しましょう。
下側の2つの場合(a=2,a>2)は縦幅が少々長い図を描かないと
右側の交点の存在に気付きにくいですladybug.gif
a>2の場合はx<0の部分にも交点があるので注意です。
右側の交点を含めた図を計算用紙の狭いスペースにおさまるように描くために
縦幅を圧縮しすぎたりすると,今度はx<0の部分の交点が図が小さくて潰れてしまうかもしれないので気をつけましょう











それでは次回は(2)をやっていきます~kuma_fly.gif






   

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2012年東工大入試数学 第2問その2

2012.10.26 00:00|大学入試問題
どもども。

前回の続きで今年の東工大入試の数学第2問をやっていきます~~

問題はこちら~箱ドットおにおんmini
mon2.jpg

今回は(2)をやります~

ガウス記号がらみの整数問題です~
[x]はxを超えない最大の整数を表します,ていうのは応用問題でよく出てきますね~
おそらく苦手な人が多いかと思います~~bakeneko.gif

整数部分を表すので例えば[5.34]=5,[π]=3,[6]=6のようになります。
負の数のときは要注意で,[-3]=-3とかは良いですが,
[-2.5]=-3であって,-2ではありません。
(-2.5を超えない最大の整数は-3ですね)


幸いにも今回は正の数ばかり出てくるので,負の数のややこしさに遭遇することは
ありませんが,[√n]という形で,[ ]の中にルートが出てくるのでこれはこれで厄介そうです。

[ ]の中に無理数が混じってくるともう分からないッ
そんな人は多いのではないでしょーーかbenibara.gif


今回の問題はn≦10000を満たすnの中で,[√n]がnの約数になってるものは
いくつありますか~~?というものであります。
文章で言われてもよくピンと来ませんね。

n=[√n]×ℓ (ℓ:整数) の形で書けるnは何個だニャ??neko(1).gif

と聞いているわけですよー!!
…と言われても結局ピンとこなかったりしますか~?>w<

そういうときは,いくつか実験してみましょうonpu06.gif

n=1のときは,[√1]=1で,1=[√1]×1 なので条件を満たしますね。
n=2のときは,[√2]=1で,2=[√2]×2 なので条件を満たしますね。
n=3のときは,[√3]=1で,3=[√3]×3 なので条件を満たしますね。
n=4のときは,[√4]=2で,4=[√4]×2 なので条件を満たしますね。
n=5のときは,[√5]=2で,5=[√5]×5/2 なので条件を満たしません。
n=6のときは,[√6]=2で,6=[√6]×3 なので条件を満たしますね。
n=7のときは,[√7]=2で,7=[√7]×7/2 なので条件を満たしません。
n=8のときは,[√8]=2で,8=[√8]×4 なので条件を満たしますね。
n=9のときは,[√9]=3で,9=[√9]×3 なので条件を満たしますね。
n=10のときは,[√10]=3で,10=[√10]×10/3 なので条件を満たしません。
n=11のときは,[√11]=3で,11=[√11]×11/3 なので条件を満たしません。
n=12のときは,[√12]=3で,12=[√12]×4 なので条件を満たしますね。
n=13のときは,[√13]=3で,13=[√13]×13/3 なので条件を満たしません。
n=14のときは,[√14]=3で,14=[√14]×14/3 なので条件を満たしません。
n=15のときは,[√15]=3で,15=[√15]×5 なので条件を満たしますね。
n=16のときは,[√16]=4で,16=[√16]×4 なので条件を満たしますね。


はじめのうちは条件を満たす数が多いですねー。
nが大きくなるにつれて条件を満たさない数が増えていきます。
[√n]って一見難しそうに見えますが,上の例をみてみると
どうやらnが平方数1,4,9,16,25,……,に到達する度に1個ずつ
値が大きくなっていくようですねbeen.gif



任意の自然数nに対して,n以下で最もnに近い平方数というものが取れます。
それをk^2とすると, k^2≦n<(k+1)^2 が成り立ちます。
このとき,k≦√n<k+1が成り立ちます。
k以上 k+1未満の実数は k+r (0≦r<1)の形で書ける,
すなわち小数表示で, k.*******… の形で記されるので
[k+r]=kになりますね。
したがって, [√n]=k となります

d1_20121025165255.jpg


1≦n<4ならば, [√n]=1
4≦n<9ならば, [√n]=2
9≦n<16ならば, [√n]=3
16≦n<25ならば, [√n]=4
……
98^2≦n<99^2ならば, [√n]=98
99^2≦n<100^2ならば, [√n]=99
n=100^2=10000ならば  [√n]=100

となっています。 n≦10000=100^2 までの範囲で考えるので
最後の[√n]=100のところだけ,ちょっと他と様子が違います
[√n]=100となるnは,範囲内にはn=10000の1個だけです。


さて,いま問われているのは,
n=[√n]×ℓ (ℓ:整数) の形で書けるnの個数でした。
k^2≦n<(k+1)^2 の範囲にあるnについては
[√n]=k なので,n=k×ℓ (ℓ:整数) の形で書けるもの,
つまりnがkの倍数になっているようなものが条件を満たします。
k^2≦n<(k+1)^2 の範囲にあるkの倍数は何個か数えれば
OKというわけですね~~aicon_80.gif

k^2=k×(k+1)^2-1=k×(k+2)なので,
その間にあるkの倍数はk×(k+1)だけです。

1から99までの各kに対して,n=k^2,k(k+1),k(k+2)の3個ずつ条件を満たすnが対応するので,
3個×99 と,それにk=100に対応するn=10000の1個を足して298個が答えになりますnezumi02.gif

d8_20121025175838.jpg

d2_20121025165255.jpg



他のアプローチ方法を模索してみましょう~

条件を満たすnを書き連ねてみて様子を探ってみる

条件を満たすnを小さい順に書き連ねてみます

1,2,34,6,89,12,1516,20,2425,30,3536,…

3個区切りで見てみると,どのグループも最初が平方数k^2
3番目が次の平方数(k+1)^2の1個手前の(k+1)^2-1
そして2番目がこれら2個の平均の値になっています。

これら3タイプの自然数が条件を満たすこと,
およびそれ以外の自然数は条件を満たさないことを言えば
条件を満たす自然数の絞り込みは完了ですtentou01.gif



d3_20121025165255.jpg

d4_20121025165256.jpg





n=[√n]^2+p とおいてみる

k^2≦n<(k+1)^2 を満たすnは[√n]=kとなってしまうのでした。
したがって,任意のnに対して,
[√n]^2≦n<([√n]+1)^2=[√n]^2+2[√n]+1
が成り立ちます。
したがって,n=[√n]^2+p (0≦p<2[√n]+1)
の形でnを表現できますjyugon.gif

pがどのような条件を満たすときnは[√n]の倍数になるのでしょう。
ズバリ,pが[√n]の倍数であるときですね!
0≦p<2[√n]+1 であるので,pの候補はp=0,[√n],2[√n]
の3個です。


d5_20121025165256.jpg
d6_20121025165257.jpg







関数f(x)=x/[x] を考える

n=[√n]×ℓ (ℓ:整数) の形で書けるnを数えるので,
n/[√n]が整数になるnの個数を数えることと同義です。

そこで,関数f(x)=x/[x](x>0)を考えてみます。
f(n)が整数値になるnの個数を求めますkinkan.gif

何やらパッと見は難しそうですが,
k^2≦x<(k+1)^2 のとき,1次関数 f(x)=x/k となるので
実はそんなに厄介ではないです。
さらに,この範囲において f(k^2)≦f(x)<f((k+1)^2 )
が成り立つので, k≦f(x)<k+2+1/k
となります。
このとき,f(x)の取り得る整数値はk,k+1,k+2ですが
そのときのxはそれぞれk^2,k(k+1),k(k+2)で,
こちらも全て整数値です。よって3個のnが条件を満たすようです


d7_20121025165307.jpg








次回は大問3に挑戦です~aicon_bbs18.gif







          

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