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相似の問題の面積比を用いた小技 その1

2012.12.30 22:19|数学
どもども。

年末ともなりますと,受験生たちは日に日にピリピリしてくるものかと思います~hana14.gif

今回は受験でも使える便利な小技の紹介です~
これは自分も日頃から重宝してるものですので,実用性も結構あると思いますよ~onegai03t.gif
高校受験でも大学受験でもどちらでも使えます。


高校入試に出される図形の問題で難しいものといえば
例えば,相似の応用問題というのがありますよね。

補助線を引いて相似な三角形の組を複数作って
それらから得られる情報を総合して答えを出す
というのが基本的な流れです。
これがなかなか初めは難しいんですよね~。

複数の線分比の情報を1つにまとめあげるという作業が特に面倒で難しいです。
そのようなタイプの問題をさくっと解決してしまう方法を今回は紹介しますhanaji03.gif



それは,面積比を使ったやり方になります。

まずは,ごくごく基本的な底辺分割のおさらいをしましょう~haibisukasu01.gif

d1_20121230194713.jpg

△ABCの辺BC上に点Dがあって, BD:DC=p:q であるならば
△ABD:△ACD=p:q になるというものです。
底辺の比がそのまま面積比になってしまうという便利な性質です

その理由は単純で,おなじみの 底辺×高さ÷2 の公式に当てはめて比を取ると
高さが共通なので面積比と底辺比が一致してしまうということでした。


d2_20121230194713.jpg


決して難しい話ではないのですが,面積比に関する問題を解く練習は
合同・相似・円の問題に比べてやる機会が少ないためか
面積比の扱いは不慣れな受験生が多い気がします8164018.gif

今の底辺分割の原理を使って下の図の△BCD,△ACD,△ADE,△CDEの面積が
△ABCの面積の何倍かを計算してみましょう。

d3_20121230194714.jpg

このような計算に慣れて欲しいんです
△CDEのようなパッと見だとよく分かんないような三角形の面積の比を出すのが
苦手な人が多いようです。

△ABCを底辺比5:4で△CADと△CBDに分割して,
そのうちの△CADを更に底辺比3:8で分割することで△DAEと△DCEが得られます。
あくまで基本の底辺分割を繰り返しているだけです。




次は底辺分割の応用編です16053832(1).gif


d4_20121230194714.jpg

図のような四角形ABCDに対角線ACとBDを引いて交点をOとすると,
△ABD:△CBD=AO:CO が成り立ちます15927445.gif
このとき, △DAC:△BAC=DO:BO も勿論成り立ちますよ~

底辺分割というよりかは対角線分割とでも呼ぶほうがしっくり来るかもしれませんね!

これが成り立つ理由ですが,まず△AODと△CODに着目します。
AO,COを底辺とみると面積比は △AOD:△COD=p:q です。
同様に△AOBと△COBについて, △AOB:△COB=p:q になってます。
このことから, △COD=(q/p)△AOD,△COB=(q/p)△AOB と書けるので
△ABD=△AOD+△AOB, △CBD=△COD+△COB=(q/p)(△AOD+△AOB)より
△ABD:△CBD=(△AOD+△AOB):(q/p)(△AOD+△AOB)=p:q
となるのです


今の底辺分割のアイデアは,「2つの三角形が高さが共通ならば面積比が底辺の比と一致する」
という原理ですが,
「2つの三角形が底辺が共通ならば面積比が高さの比と一致する」という原理を使って対角線分割を説明することもできます。

上の図では△ABDと△CBDは,共にBDを底辺とみなすこともできます。
そうすると面積比は高さの比になりますよね。
そして,その高さの比が AO:CO と実は等しいというわけなんです~
これはA,CからBDに垂線を下して,相似な三角形を作ることによって確かめることができます15901723.gif

d5_20121230194715.jpg

この対角線分割の原理はどのように使うと威力を発揮するのでしょうか。

次の例題を使って説明してみますよ~

d6_20121230194715.jpg




これは中学数学の問題としては,相似の応用として
高校数学の問題としては,メネラウスの定理,位置ベクトルの基本問題としてよく出題されます。

まずは模範解答として解答ページに載るであろう標準的な解法を示してみますね11.gif



 相似の応用問題として解く

補助線を引いて,平行線と線分比の関係を使える状態にもっていきます。
補助線の引き方は何通りかありますが,
今回は一番わかり易いものを選んでみます。
下図のように点Dを通り線分BEに平行な直線を引きます。そして辺ACとの交点をFとします。

そうすると,△ABEに着目すると DF//BE より,AD:DB=AF:FE が成り立ちますね。
一方で,△CDFに着目すると PE//DF より,CE:EF=CP:PD が成り立ちます。

この2つの線分比の情報を統合する必要があります。
つまり AF:FE:EC を求めます。
この部分が一番大変なところです。
そこさえクリアしちゃうと,あとは答えを出すことができます~nezumi02.gif


d7_20121230194822.jpg


 ベクトルの問題として解く

こちらは高校数学の範囲です。
中学数学では相似の応用問題として出されたものが,この単元では基本問題として出てきます。
ベクトルABを (→AB) のように書くことにします。
(→AB)=(→b), (→AC)=(→c) とおいて,
(→AP)を2通りの表示で表すという方法を取りますよね~
何度も問題練習しているかと思いますので,さらっとやってしまいましょー

d8_20121230194822.jpg
   d9_20121230194823.jpg

何度もやらされるので定着はしやすいのがメリットですが
計算量や記述量の多さがデメリットですね~~hiyoko04.gif



 メネラウスの定理を使って解く

高校の範囲ではメネラウスの定理を用いた解法なんかも教わるかもしれません。
高校受験用のテクニックとして知ってる中学生もいるかもしれません。

△CADに直線BEが交わっているというシチュエ-ションを想定して
メネラウスの定理を適用します。

d10_20121230194823.jpg
d11_20121230194824.jpg

非常にあっさりしていますね~
記述量も少なくて済むしなかなかオススメですhachi03.gif
DP/PC=2 から 2DP=PC が得られます。 
PC=k とおけばDP=2k になるので DP:PC=2:1 になるわけですね。

メネラウスの定理とセットで教わることの多いチェバの定理を
メネラウスの定理と併用して問題を解くということも可能ですよー



 対角線分割を使って解く

いよいよ,今回ご紹介のテクを使った解法ですよ~~
これもなかなかあっさりしてて簡単でいいのですが,
問題集の解答ページでこの解法を使っているものは自分は見たことがありません。
でも自分は大体いつもこの方法でやってます~dog_love.gif

補助線を引くのですが,それはDとEを結ぶというものです。
この時点で既になかなか奇抜ですね。

そして四角形DBCEに対角線分割の原理を適用します。
DP:PC を求める問題でしたが,これは △DBE:△CBE の面積比に帰着されます。
この面積比は前半でやったような底辺分割の計算で求められますよね

d12_20121230194824.jpg


あっさりして個人的には凄いオススメの解法です~

メネラウスの解法も簡単でいいですが,こちらの解法は更に記述量が少なくて済みます。

d13_20121230194843.jpg

のように,1行か2行くらいで答案を完成させることが出来てしまいます

センター試験みたいな時間のない場所でも大活躍です。
ベクトルなんか使うより何倍も早いですからね~

色んな問題で試してみてくださいonpu08.gif







というわけで,面積比の計算には是非慣れて欲しいという思いが自分にはあるんです


それでは今回はこの辺で~~ 15927440.gif






 おまけ

模範解答として載るような解法ではありませんが,
模試の採点なんかをしていると,次のような解き方をしている答案を時々見かけます。
こういう解法を教えてる層が一定数あるんでしょうかね。
面白い考え方なので挙げておきますね~

数学ではなく物理の発想を使うというアイデアです~
    
△ABCを三角形の板だと思ってください~
各頂点に適当な重さのおもりを乗せて,おもりの乗った板の重心を考えるという方針です。
各頂点にかかる負荷がバラバラなので,数学で通常使う意味での三角形の重心(3本の中線の交点)とは異なります。

では,どのようにおもりを置くのでしょうか。
全体の重心が点Pになるようにします。

d14_20130105165249.jpg


Dは AD:DB=1:2 を満たす点なので,AとBに置くおもりの重さの比は2:1になるようにします。
Aに重さ2のおもりを,Bに重さ1のおもりを置いてみます。

d15_20130105155006.jpg

物理で習うと思いますが,線分ABがあって,Aに重さ2のおもり,Bに重さ1のおもりを置くと
全体の重心はABを1:2に内分する点Dになって,
重心Dに重さ2+1=3のおもりを置いているのと同等の状況と思うことができます。

いま,これと同じ発想を使って問題を解いています。

AE:EC=3:1 なので,頂点Cに置くおもりの重さは6にします。
これで,辺AB上の重心はD,辺AC上の重心はEになりますね。

Eのことは一旦おいておきましょう。
AとBの分の重さをDにまとめてしまうと,三角形の板には2点D,Cにおもりがある状態と同等です。
したがって,全体の重心は線分CDにあります。
同様に,AとCの分の重さをEにまとめてしまうと,三角形の板には2点E,Bにおもりがある状態と同等です。
したがって,全体の重心は線分BE上にあります。
すなわち,全体の重心は線分CDとBEの交点である点Pになるわけですね。

Dの重さは2+1=3,Cの重さは6なので,線分CDを1:2の比に内分する点が
線分CD上の重心すなわち全体の重心Pです。
このことから, DP:PC=2:1 であることが分かります。


うーむ,なかなか面白い解法ですね




そして更なる追記があります~~こちらも有用な話になっていますよ~ 箱ドットおにおん2mini
http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-295.html




     
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タグ:底辺分割 面積比 相似 メネラウスの定理 受験テクニック

2012年北大入試理系数学第5問

2012.12.26 04:15|大学入試問題
どもども。

北大の問題も今回でラストですよ~

問題はこちらぺんぎんmini


hmon5.jpg


確率の問題ですね~

最後の大問ということで,強力な問題が待ち構えているものだと思いきや
実は予想よりは易しい感じです。

1つ前の大問4の方がよほど厄介です~tawa02.gif

これといって面白い別解がたくさん見つかるような問題でもないので
さくっとやっつけてしまおうかと思います~

AとBが試合を続けて,Aが先にk勝する確率 P_k を求める問題ですよ~

といっても,実際の問題では k=2,3,4 の場合しか出てきません。

(1)から(3)までは P_2,P_3,P_4 をそれぞれ求める問題です。





(1)では P_2 を求めます。 
つまりAが先に2勝するということです。
3パターンしか無いので具体的に列挙してみてもいいですねsakura.gif

・Aが2連勝するとき
・1戦目はAが勝ち,2戦目はBが勝ち,3戦目はAが勝つとき
・1戦目はBが勝ち,2戦目はAが勝ち,3戦目もAが勝つとき


この3つです。
1戦目から順に勝者を書き上げて表示すると,この3つは

・ A A
・ A B A
・ B A A

になりますね~ こちらのほうがパッと見で状況が掴めやすいかもしれませんね

ポイントは次の点です。

・最後の試合はAが勝利すること,そしてそれが2勝目であること
・Bは多くとも1勝までであること

さて,P_2を計算してみましょう~

c2_20121226013528.jpg



この方針で(2)もやってみます。すなわち P_3 の計算です。
先に3勝するパターンは全部で10通りあります。
上の勝者を順に書き連ねる方式で表すと

・ A A A
・ A A B A
・ A B A A
・ B A A A
・ A A B B A
・ A B B A A
・ B B A A A
 A B A B A
・ B A A B A
・ B A B A A

です~


(1)とポイントは大体同じで

・最後の試合はAが勝利すること,しかもそれが3勝目であること
・Bは多くとも2勝までであること

です。

確率も計算しておきましょう~onpu16.gif


c6_20121226024126.jpg




さすがに(3)はこの方式で解くのはちょっと大変そうですね。
実は35通りもパターンがあります。
書き連ねていくのは時間もかかるし,見落としなんかもしそうです。
(1)と(2)で挙げたポイントを参考にして,列挙以外の方法を考えなければなりませんmikan01.gif


ついでなので,もっと一般のkに対して P_k を考えてみることにします。
Aが先にk勝するという場合です。

・最後の試合はAが勝利して,それがk勝目である
・Bは多くとも(k-1)勝である


というのがポイントです。
もし試合数が ℓ であったとすると,第 ℓ 戦目はAが勝利して,それが k 勝目になります。
また,第 (ℓ-1) 戦目までにAが (k-1) 勝して,Bが (ℓ-1)-(k-1) 勝します。
このときの確率は,反復試行の確率計算で求められますね


c3_20121226013529.jpg


ℓ の取り得る値を考えてみましょう。
最小になるのはAが k 連勝するときなので ℓ=k のときですね。
最大になるのはBの勝利数が一番多くなるとき,つまりAが k 勝,Bが (k-1)勝する場合なので
ℓ=2k-1 のときです。

というわけで ℓ=k,k+1,k+2,…,2k-1 の分の確率を全部足しちゃえば
P_k の値が求められますね

あとは k=2,3,4 を代入すれば(1)~(3)は即解決です~kabuto03.gif



c4_20121226013529.jpg
c5_20121226013530.jpg


(4)は確率の大小の問題です。
1/2<q<1 ならば P_3>P_4 となることを確かめる問題です。
先に3勝するのと先に4勝するのだと,ハードルの高い4勝のほうが
常に確率が低そうな気もしますが,実はそうでもないんです。
0<q<1/2 のときは P_4 の方が大きかったりするんです。面白いですね。

さて,(4)の大小の証明は P_3-P_4>0 を確かめるのが手っ取り早いです。
q=1-p であることに注意して計算してみると明快な形に因数分解できますよ~heart-ani01.gif




c7_20121226013544.jpg


P_4/P_3<1 を示すパターンでもOKですよーhaibisukasu01.gif



c8_20121226013545.jpg


P_3 を y=x^3+3x^3(1-x)+6x^3(1-x)^2
P_4 を y=x^4+4x^4(1-x)+10x^4(1-x)^2+20x^4(1-x)^3

としてグラフを描いたものが下の図です

c1_20121226034128.jpg

ちょうど真ん中の x=1/2 で大小が入れ替わりますね~

参考までに k=5(青), k=25(緑), k=100(赤) の場合の図も描いてみました。

c9_20121226034129.jpg

すべて (1/2,1/2) を通過しています。
またこの点に関して対称的にもなっていますね。
これはpとqの対称性によるものです。
P_kのpとqを入れ替えると,Bが先にk勝する確率になりますよね。
また 「Aが先にk勝する」 の余事象は 「Bが先にk勝する」 です。

P_k をもう少し詳しく P_k(p,q) と書くことにすると,
P_k(p,q)+P_k(q,p)=1
が成り立ちます。
すなわち, P_k(1-x,x)=1-P_k(x,1-x) が成り立ちます。

この式が上のグラフの対称性を表しています。
x=1/2 を代入すれば P_k(1/2,1/2)=1/2 も得られますねh-hokousya.gif










           

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タグ:北大 大学入試 数学 2012 確率 反復試行の確率 確率の大小関係

2012年北大入試理系数学第4問その2

2012.12.19 03:01|大学入試問題
どもども。

今回は前回の続きです~

問題はこちら~くりmini

hmon4.jpg

2次関数の問題です~
前回は(2)までやったので今回は(3)をやっていきます~

まずは y=f(x) と y=g(x) のグラフの頂点と軸の方程式のおさらいです~nezumi02.gif



a1_20121216220302.jpg


2つのグラフはただ1つの交点だけ持ち,そのx座標は -1/2 です。

(3)では a<b のとき, f(x)<0 かつ g(x)<0 を満たす x が存在するための
必要十分条件を求めてそれを ab平面に図示するという問題です~


(2)で a<-1/2<b の場合を考えていました。
a<b という状況は, a<-1/2<b, -1/2≦a<b, a<b≦-1/2
に分けられます。
したがって,残りの -1/2≦a<b, a<b≦-1/2 の場合について考えればOKです~hamu01.gif



-1/2≦a<b の場合を考えてみましょう~
2つの関数のグラフの位置関係から考えると分かりやすいです。

実は g(a)<f(a)が成り立ちます~
f(x)<0 を満たす x の存在条件は 最小値<0 すなわち f(a)<0 
で与えられますが,この条件が成り立つとき f(a)<0 かつ g(a)<0
も成り立ちますね。

これはつまり, f(x)<0 を満たす x が存在すると
自動的に g(x)<0 を満たす x も存在するということです。

「 f(x)<0 かつ g(x)<0 を満たす x が存在する」
⇔ 「 f(x)<0 を満たす x が存在する」
⇔ 「 f(a)<0 」


であるということなのです~xmas_santa.gif


b1_20121219010913.jpg

b2_20121219010913.jpg



a<b≦-1/2 の場合も同様で,今度は

「 f(x)<0 かつ g(x)<0 を満たす x が存在する」
⇔ 「 g(x)<0 を満たす x が存在する」
⇔ 「 g(b)<0 」


が成り立ちますよーxmas_tonakai.gif


b3_20121219010914.jpg



(ア),(イ),(ウ)で求められた条件式に基づいてab平面に図示します。
直線 a+b+1/4=0 は2つの放物線 b=a^2, a=b^2 に接していることに気をつけてください。
下図において,白色部分との境界部分は答えの領域には含まれません

b4_20121219021740.jpg





前回は f(x)=0 と g(x)=0 の解の大小関係に着目した別解を考えてみました。
(3)でもそれをやってみましょう~rabi_smile.gif

 f(x)=0 と g(x)=0 の解はそれぞれ
x=a±√(a^2-b), x=b±√(b^2-a)
でした。

最初の解法では(ア),(イ),(ウ)の3つの場合にわけて考察しましたが
このいずれの場合においても, f(x)<0 かつ g(x)<0 を満たす x が存在する条件は
「f(a)<0 かつ g(b)<0 かつ  b-√(b^2-a)<a+√(a^2-b) 」
で与えられます。

b5_20121219010915.jpg


(ア),(イ),(ウ)の場合分けが不要である代わりに,
前回の(2)の別解と同様に a^2-b と b^2-a の大小で場合分けをしますs2_sum_hotaru.gif

理由は √(a^2-b)-√(b^2-a) という値が計算過程で分母に出てくるからでしたね。

具体的な計算は前回の考察を参照してくださいね。

まずは a^2-b>b^2-a の場合をみてみます。

b6_20121219010916.jpg
b7_20121219011020.jpg

この2つの条件は実は1つにまとめることができます。
下の方ですが,「 a+b+1<0  かつ a+b+1/4<0 」 は 「 a+b+1<0 」
にまとめることができます。
さらに, 上の方は 「b≦-1/2」 下の方は 「b>-1/2」 で残りの条件が一致するので
1つにまとめることができるというわけです

b8_20121219011020.jpg


(B)(C)も同様にやってみます。

b9_20121219011021.jpg

  b10_20121219011022.jpg



あとは図示するだけですねmush.gif


b11_20121219021741.jpg












次回はラストの大問5をやっていきます~mug.gif













   

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