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平成25年度 【前期】 宮城県公立高校入試 数学 第五問

2013.02.26 00:54|高校入試問題
どもども。

今回は今年の宮城県公立高校入試前期試験の数学の第五問をやります~

問題はこちら~ぺんぎんmini
m11_20130225145830.jpg
m12_20130225145830.jpg


平面図形の問題です~
円が絡んだ図形問題が登場する事が多いのですが
相似,平行線の性質,三平方の定理あたりだけで片付けることができます~


i1_20130225145650.jpg


最初は △ABC∽△DEA であることを証明する問題です~
2組の角がそれぞれ等しいことをいうのが簡単ですねーtaxi02.gif

どちらも直角三角形なので1組の角は明らかに等しくなります。
もう1組は AD // BC に着目して錯角が等しくなることを利用すれば良いですよー

i2_20130225145650.jpg


AB=3cm,BC=9cm,AD=4cmのときに AE:EC を求めるのが
次の設問です~

いくつかの方法を挙げてみます~

 相似の性質でAE,三平方の定理でACを求めてAE:ECを実際の長さを使って計算

△ABCは直角三角形で,ABとBCの長さは分かっているので
三平方の定理を使えばACの長さが出てきます。

また先ほど証明したように △ABC∽△DEA なので
線分比の関係性からAEの長さを出すことができます。
ACの長さからAEの長さを引いたらECの長さが出てくるので
これで AE:EC が計算出来ますね~sakura.gif



i3_20130225145651.jpg



 △ADEからAE,△DCEからECを求めて比を出す

次は相似による線分比の関係を使わずにやってみます~
△ADEと△DCEが共に直角三角形なので,
それぞれの三角形に三平方の定理を使ってAEとECの長さを求めて比を出してみます。

DからBCに垂線DHを下すと, DH=AB=3cm,BH=AD=4cm になります。
よって HC=5cm と分かって,△DHCに三平方の定理を適用することができます。
これでDCの長さが計算出来ますね。ちなみに DC=√34cm になります。

i4_20130225145651.jpg

AE=xcm,EC=ycm とおいて,xとyに関する連立方程式を作ると
割と見通しが良いですよー。自分もよく使う手ですkinoko02(1).gif



i5.jpg
i6.jpg



xとyの連立方程式を解いて比を出したのが上の解法ですが
解かずに比を出すこともできますよーhanaji03.gif


加減法の要領ですが,xかyのどちらかを相殺させるのではなく
定数項を消去するようにします。
こうすることで x=ky の形の式が得られるので
x:y=ky:y=k:1 になるんです~

i7.jpg




 AEを求めるのに相似の代わりに面積を使ってみる

またまた相似を使わない解法です~
代わりに面積の関係式を使ってみますね。

△ADCに着目します。
ADを底辺とみなすと,高さはABの長さで与えられ,
底辺と高さ,どちらの長さも分かっているので△ADCの面積が計算できます。

一方,ACを底辺とみなすと,高さはDEの長さで与えられます。
△ABCに三平方の定理を使って AC=3√10cm が出てくるので
最初に求めた△ADCの面積の値を使って
DEの長さを求める方程式を立てることができます~

これで△ADEのAE以外の2辺の長さが判明したので
三平方の定理を使ってAEの長さが出せます。
あとはECの長さを出して比を求めれば良いですねーhana14.gif


i8.jpg

  i9.jpg



 DEを延長して△ADEと相似な三角形を作ってみる

i20.jpg

三平方の定理を使わないで答えを出すことも可能ですよ~
線分DEを延長して直線BCとの交点をGとします。
△ABC,△DEA,△GHD,△GEC は全て相似な三角形です。
線分比の関係から GH=1cm になります。

ちなみに,BH>GH からGは線分BH上にあることが分かります
(ADがすごい短いとGがBよりもっと左に来ることもあり得るので,
Gが線分BH上にあることは決して自明なことではないんですよー)。
四角形ABGEは, ∠ABG=∠AEG=90° より円に内接する四角形です。
よって内接四角形の内角の性質より ∠BAE=∠DGH で,
一方で平行線の錯角で ∠ADE=∠DGH なので,
結局 ∠CAB=∠ADE になります。
これと ∠ABC=∠DEA=90° を根拠にして
最初の設問の △ABC∽△DEA を証明することもできますよ~hana13.gif



さて,今の問題に戻ると DH=1cm,HC=5cm より
GC=6cm ですね。
このことから△ADEと△CGEの相似比は AD:CG=4:6=2:3 です。
このことから, AE:CE=2:3 であることが分かりますh-doubutu.gif


i10.jpg

   i11.jpg







最後の設問です~
AからBEに垂線AFを下したときにEFの長さを出す問題です。
これも色々とやり方があるようです~


 △ABEの面積に着目してAFを求めて三平方の定理を使う

EからABまたはBCに垂線EIを下した時にできる△BEIに
三平方の定理を使うとBEの長さが出せます。

また,△ABCは直角三角形なので面積はすぐ出せます。
AE:EC=2:3 より,底辺分割の原理から
△ABEの面積は△ABCの面積の2/5になっています。
これをBEを底辺とみて考えると高さAFの長さが出せます~
これで△AEFの2辺の長さが出てきたので,
三平方の定理を使ってEFの長さが出せます~futaba.gif


i12.jpg



 △ABFと相似な三角形を利用する

EからABへ垂線EJを引き,EJとAFの交点をKとします。
このとき△ABFと相似な三角形が
△AKJ,△EBJ,△EKFなどあります。
(実は△EKFにいたっては△ABFと合同だったりします)
これらの三角形との線分比の関係を活かしてEFを求めてみます。
EJ,JBの長さは平行線と線分比の関係性から導き出せるし,
三平方の定理からEBの長さも出せるので,
△EBJに関しては3辺の長さが割と容易に出せます。

あとは△EKFの3辺のうちEKかKFかどちらかが分かれば
相似の関係性からEFの長さを出せますね~
あるいは AB=3cm が分かってるので△ABFとの相似性に着目して
BFを求めることが出来るのでBEから引くとEFの長さが出てきますcarrot02.gif


i13.jpg
i14.jpg
i15.jpg
i16.jpg
i21.jpg





 △ABFと△AEFに着目してBF,EFに関する連立方程式を立てる

1つ前の設問で,△ADEと△DCE,それぞれの三角形に三平方の定理を使って
AEとECの長さを求めて比を出す解法を挙げましたが
それと同じパターンの解法をやってみますcar01.gif
△ABFと△AEFに着目してBF,EFに関する連立方程式を立ててみます。

i18.jpg


 BEとADを延長して△BECと相似な三角形を作ってみる


補助線を引くという作業は苦手な人が多いと思います。
特に,元々ある図形から線がはみ出してくるようなものは
なかなか思いつかないかと思います~
台形ABCDから補助線がはみ出るような解法を1つやってみます~

BEとADを延長して交わる点をLとおきます~
AL // BC となるので △AEL∽△CEB になります~
相似比は AE:CE=2:3 になっていますよー

このことから AL=(2/3)BC=6cm がわかり,
△ABLに三平方の定理を使うとBLの長さを出せます。
LE:BE=2:3 なのでLEの長さも出せます。
△ABL∽△FAL に着目すれば線分比の関係性からFLの長さも出せます。
FLの長さからLEの長さを引けば答えのEFの長さが出てきます~bye03.gif


i19.jpg







というわけで,ざっとここまで第五問を見てきました~
これで前期試験の問題は全て終了です~

後期試験はもう少し難易度的には上だとは思いますが
この前期試験の問題からなかなか出題を予想するのは難しそうですねー
前期で円の性質が出てない分,後期は普通に出てくるでしょうし
前期で球の問題出してきたから後期は出てこないんじゃないかとか
ぼんやりと予想できるものはありますが,実際どうなるかは分かりません。

まぁ落ち着いて確実に得点できるところは取っていけるように頑張りましょう~dog_love.gif











   
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タグ:宮城県 公立高校入試 入試問題

平成25年度 【前期】 宮城県公立高校入試 数学 第四問

2013.02.25 00:17|高校入試問題
どもども。


今回はこの間の宮城県公立高校入試の前期試験,数学の第四問をやります~

問題はこちら~kaerum mini

m9_20130224151534.jpg
  m10_20130224151535.jpg


1次関数,2次関数を含めた関数の総合問題ですねー
序盤はサービス問題ですが
最後の問題はちょっと難しめです~




y=ax^2 のグラフと原点を通る直線 ℓ が与えられています。
最初の設問は ℓ の方程式を求めるものですね。

直線なので y=Ax+B とおいて,
この直線が通る2点(0,0),(-2,1)の座標を代入して
A,Bに関する連立方程式を立ててそれを解く,
というのが常套手段ですね。

今回は原点を通る直線ということなので,いわゆる比例の式ですosake02.gif
y=Ax という形で書けることが最初から分かります。
まぁ, y=Ax+B という形から出発したとしても
(0,0)の座標を代入すれば,直ちに B=0 が出てきますけどね

h1_20130224151157.jpg
h2_20130224151157.jpg


方程式を立てずに直線の傾きを求めることもできますよー。
一般に,xが a 増加した時にyが b だけ増加したとすると,
その直線の傾きはb/a
になりますonegai03t.gif


h3_20130224151157.jpg


今の問題では直線 ℓ は(0,0),(-2,1)を通る直線ですが,
原点を基点として考えると,xが2減少するとyは1増加することが分かります。
これは言い換えると,xが-2増加するとyは1増加するとみなすことが出来るので
傾きは 1/(-2)=-1/2 になることが分かります~mikan01.gif


h4_20130224151157.jpg



次の設問は放物線y=ax^2のaを求めろというものです~
これは単純で,(-2,1)の座標を入れて計算すればおしまいです~

h5_20130224151157.jpg


さて,ここから少しずつ難しくなっていきます~
放物線と直線の上にそれぞれBとCを取ります。
この2点は,x座標が正になる範囲にあり,どちらもx座標が等しいそうです。
つまりBCはx軸と垂直,y軸と平行になっています。
BCとx軸の交点をDとするとき, BD=2DC となるのはどんな時か
という問題ですkoinoburi08.gif

B,C,Dはどれもx座標が等しいので,これをx=kとおきますね~
そうすると,B(k,(1/4)k^2),C(k,(-1/2)k),D(k,0)
と書けます。このとき,
BD=(1/4)k^2, DC=(1/2)k
になります。
Cのy座標は負なので,DCの長さは (-1/2)k ではなくて (1/2)k なので
注意してください。

座標が正か負かによって,長さを出すときに符号を「+」にしたり「-」に
したりするのが煩わしいかもしれませんが,
一般に,x座標の等しい2点P(x,p),Q(x,q)があって,p>qであるとき
PQの長さは p-q 
になりますkinoko05.gif

これに当てはめると BD=(1/4)k^2-0=(1/4)k^2,
DC=0-(-1/2)k=(1/2)k となって機械的に長さを出すことができますね~

h6_20130224151158.jpg


あとは BD=2DC とおいてkを求めればOKです~~

h7_20130224151230.jpg


B,Cの座標を設定して,その時の長さの関係について方程式を立てたのが
今の解法でしたが,Bの座標を設定したときにCの座標が満たすべき条件で
方程式を立てる考え方もあります~

B(k,(1/4)k^2)とおくと,D(k,0)なので BD=(1/4)k^2 で,
BD=2DC より DC=(1/8)k^2 にならねばならないので
C(k,(-1/8)k^2) と書けるわけですね。
これが直線 ℓ 上にあるという条件で方程式を立てます~

h8_20130224151231.jpg



いよいよ面倒な最後の設問です。
B(4,4)のとき,C(4,-2),D(4,0)です。
また,E(0,4)として直線DE上に点Pを取るそうです。
このとき △ABC=△ABP となるのはPがどこにあるときですか
というのが問題です。

図を描いてみると何となく分かると思うんですが
Pが線分ABとDEの交点と一致しているときは
△ABPはつぶれてしまっているので面積は0で,
そこをスタート地点として,だんだん線分ABから離れていくと
より遠くにあればあるほど△ABPの面積は大きくなっていきますね~

だんだん大きくなっていく中で,どこかでちょうど△ABCの面積と
等しくなってしまう場所が,直線ABより上側と下側に1箇所ずつあります。
そういうわけで,条件を満たすPは2つあるんですね~jitensya02.gif

下側にある方をP_1,上側にある方をP_2とおきます。
この2点を求めましょうというわけですねー

h9_20130224151231.jpg



厄介な問題ですが,色々な解法があります。
今回はいくつかやってみようと思います。
なお,高校で習うやり方も含めると更に色々な解法が考えられますよー。








 直線ABと平行な直線を利用する

まずは,いわゆる等積変形の考え方を活用したやり方です~
これは図形を面積を保ったまま別の形に変形するような作業のことを言いますよーgirl09.gif



三角形の場合,面積公式は底辺×高さ÷2でしたから
底辺ABを共有する2つの三角形ABCとABPがあったとすると,
両者の面積の比は高さの比と一致してしまいますね。
Cを通るABに平行な直線mを引くと,m上のどこにPがあっても
△ABCと△ABPは高さの値が一緒になってしまうので
△ABCと△ABPは面積も一緒になってしまいます


h11_20130224151231.jpg


この考え方を利用してP_1を見つけてみましょう~
△ABCと△ABP_1は底辺ABを共有しています。
そこで,Cを通り直線ABと平行な直線m_1を引いてみましょう~~

h10_20130224151231.jpg


m_1上のどこにPを取っても △ABC=△ABP になりますが
今は,Pは直線DE上に取らなければならないという制約がありました。
ちょうどm_1と直線DEは1点で交わります。
この点こそが我々が探していたP_1になるというわけですね~curry01.gif

あとは具体的にこのP_1の座標を求めていけばいいわけです。
m_1の方程式を求めるためには直線ABの傾きを求めなければなりません。
A(-2,1),B(4,4)を通る直線の方程式を求めて
そこから傾きの値を拾ってもいいですし,
序盤に挙げたような,方程式を立てずに直線の傾きを求めるやり方を使ってもいいです。

傾きはちなみに計算すると1/2になります。
m_1は,C(4,-2)を通る傾き1/2の直線ということになりますね。
これは y=(1/2)x+k とおいてCの座標を代入してkを求めてもいいですし,
点(p,q)を通る傾きaの直線が y=a(x-p)+q と書けるという
小技を使って求めても構いません。

最後に,求めたm_1と直線DEの交点を計算すればOKです~


h12_20130224151231.jpg
h13_20130224151259.jpg



それではP_2の方はどうやって求めましょうか?
底辺ABを共有している2つの三角形の面積の比は
高さの比と一致するという話がありました。
P_2はCとはABを挟んで反対側にありますが,
高さが一緒になるように取ってやることは出来るはずです。

下の図のように,ABとm_1の間の幅と同じ幅の平行線m_2を
反対側に引いてやれば,m_2上のどこにPを取っても
△ABC=△ABP になるというわけですbye03.gif


h14.jpg


では今の問題の場合,どのようにしてm_2を求めればいいのでしょうか。
2通りのやり方を紹介してみます。


まず第一に,直線m_1,ABとy軸との交点をそれぞれX,Yとおきます。
このとき XY=6 になっているんですが,
Yを挟んでXと反対側に YZ=6 となるように点Zをy軸上に取ります。
Zを通り直線ABと平行な直線m_2を引きましょう。
この直線上にXから垂線XIを引いて,ABとの交点をHとします。

h15.jpg

△XIZに注目すると,HY // IZ かつ XY=YZ より
中点連結定理から XH=HI が成り立ちます。

XH=HI というのはつまり,直線AB,m_1間の幅と,直線AB,m_2間の幅が
等しいということです。
こうやって目的の直線m_2が得られるんですねbeen.gif
このm_2と直線DEの交点がP_2ということになります~

h16.jpg


h17.jpg
h18.jpg
h19.jpg



もう1つのm_2の求め方を紹介します。

A(-2,1)を通るBCと平行な直線上に AC’=CB となるような点C’を,
直線ABより上側に取ります。
BCがy軸に平行なので, BC=6 であること,C’(-2,7)であることは
容易に分かります。
このように取ると,四角形ACBC’は平行四辺形になりますよ~aicon_64.gif

このとき,C’を通りABに平行な直線を引くと,
これが目的のm_2になっています~

なぜかというと, △ABC≡△BAC’より
△ABC=△ABC’ になっているからです~
このm_2のどこにPを取っても △ABP=△ABC’=△ABC になりますが,
これは,直線AB,m_1間の幅と,直線AB,m_2間の幅が
等しいということですaicon_130.gif
もっと単純に,△ABC≡△BAC’なんだから,C,C’からそれぞれABに下した垂線の長さも
当然等しいから,といってもいいですね。

h20.jpg



他にも,例えば直線ABに関する点Cの対称点を通りABに平行な直線として
m_2を求めるなどの方法もありますよ~8190575.gif




 △ABPの面積を具体的に計算して△ABCの面積と等しくさせる

上の解法は,実際に△ABCや△ABPの面積の値を計算せずに答えを出すやり方でした。
今度は実際に面積を計算して方程式を立ててみます。

△ABCについては全ての頂点の座標も判明しているし,
BCがy軸に平行なので,BCを底辺とみて面積を出すことが容易です。

h21.jpg

このように,少なくとも1つの辺がx軸かy軸に平行になっているような
三角形の面積は計算するのが簡単なんです8257377.gif

一方で△ABP_1,△ABP_2はそのような三角形かはまだ分かりません。
まずは△ABP_1について考えますが,P_1の位置については
直線BCより左側にあるか右側にあるか,あるいは直線BC上にあるのか
3通りの可能性が考えられます。
P_1は直線DE上の点だったので,もし直線BC上にあるとしたら,
それはDと一致しなければなりませんねー
Dは線分BC上の点なので △ABD<△ABC になっています。

P_1の位置が直線ABから遠ければ遠いほど△ABP_1の面積は大きくなるので
△ABC=△ABP_1 となるためには,P_1はDよりもっと右側に来なければいけませんねー8269809.gif


h24.jpg
h26.jpg




△ABP_1の面積を計算するためのアイデアはいくつか考えられます8261165.gif


 アイデア1:P_1を通りy軸に平行な直線と直線ABの交点Qを活用する


h22.jpg

P_1を通りy軸に平行な直線と直線ABの交点をQとします。
△ABP_1は△AP_1Qの面積と△BP_1Qの面積の差として求めることが出来ますねー
△AP_1Qと△BP_1Qはどちらもy軸に平行なP_1Qを1つの辺として持っているので
面積計算が比較的簡単です。

計算のしやすい三角形の和や差に分解して計算しやすいというのが
座標を使った考察の強みです~~~8190547.gif

P_1は直線DE:y=-x+4 上の点なので(s,-s+4)とおけます。
Qは直線AB:y=(1/2)x+2上の点なので(s(1/2)s+2)になります。
これで△AP_1Qと△BP_1Qの頂点は出揃ったので,
必要な長さを求めて面積計算が出来ますね。

h25.jpg
h23.jpg
h27.jpg

△AP_1Q-△BP_1Q の計算は上のやり方のように
因数分解を途中で取り入れると少し計算が楽ですよー
さりげない工夫ですが,X=(1/2){(3/2)s-2}とおくと良い,
みたいなヒントでも無いと中学生には少し難しいかも?



この方法にならってP_2も求めてみます。
Aを通りy軸に平行な直線と直線DEとの交点をFとします。

h28.jpg

P_2はFより左にあるのか右にあるのか,あるいはFと一致するのか。
その考察からスタートです15927445.gif


Fの座標は(-2,6)になるので△ABFの面積は計算すると15になります。
これは△ABCの面積18よりも小さいです。
したがって,P_2はFよりもっと遠くになければ △ABP_2=18 にはなりません。
P_2はFより左側にあるんですね~

h29.jpg


P_2を通りy軸に平行な直線とABの交点をRとしましょう。
P_2(t,-t+4)とおくとR(t,(1/2)t+2)です。
△ABP_2=△BP_2R-△AP_2R になるので,あとはこれを計算して
方程式を立てて解けばOKですー


h32.jpg


h30.jpg

h33.jpg




 アイデア2:Bを通りy軸に平行な直線と直線AP_1の交点Gを活用する

再び△ABP_1の面積について考えます。
さっきとは別の分割の仕方を考えてみましょう。
Bを通りy軸に平行な直線(これは直線BCです)と直線AP_1の交点をGとします。

P_1は直線BCより右側にあるということでしたので
△ABP_1は2つの三角形ABG,P_1BGに分割されます。
P_1(s,-s+4)とおくと,直線AP_1の式はsの分数式を含む
ちょっとゴチャゴチャしたものになります15927440.gif



h34.jpg


Gの座標やBGの長さなどもsの分数式になってしまいますが,
やる作業としては1つ前にやった解法と基本的には同じです~

h35.jpg

分数式が入る分,1つ前の解法より若干複雑で面倒ですね~
このように,同じような作戦をとる場合においても
分割の仕方次第で手間のかかり具合に差が出てしまうことが分かります。
作戦選びは重要ですねー15927446.gif



この方法にならってP_2も出してみます。
P_2は1つ前の解法に出てきた直線AFより左側にあるんでしたね。
直線AFと直線BP_2との交点をG’として△ABP_2を
△ABG’と△AP_2G’に分割して考えるとよいです~

h36.jpg

 アイデア3:△ABP_1を長方形で取り囲む

他に,よく使う発想としては△ABP_1を長方形で取り囲んで
余分な三角形を切り取るというものがあります。
下図のようにタテの長さs,ヨコの長さs+2の長方形の面積から
3つの直角三角形の面積を引いたものが△ABP_1の面積ですね~


h40.jpg


△ABP_2の方も同様に出来ます~

h41.jpg





 対角線分割を活用する

次はまた別の作戦を考えてみます。
面積比を使った便利な小技として以前に紹介した対角線分割の原理がここでも使えます~11.gif
対角線分割の原理の詳しい解説はこちら~
http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-59.html


今回は先にP_2を求めてしまいます。
ABとCP_2の交点をMとしましょー。
△ABC=△ABP_2 となるP_2を求めたいのだから,
対角線分割の原理より CM=P_2M となるP_2を求めればよいわけですnezumi02.gif


Mが,C(4,-2)とP_2(t,-t+4)の中点((4+t)/2,{-2+(-t+4)}/2)に
なっていれば良いですね。
Mは直線AB上の点でもあるのでABの直線の式に代入すれば t の値が出てきます~

h37.jpg



もう1回対角線分割の原理を使ってP_1を出すことができます~
P_1,P_2は直線DE上に取る約束だったので,直線P_1P_2は直線DEと一致します。
直線DEとABの交点をNとします。
△ABP_1=△ABP_2(=△ABC) となれば良いのですから,
今度は P_2N=P_1N となるようにP_1を取ってやればいいというわけですcar-usa.gif


h38.jpg
h39.jpg

なかなかあっさりした解法でしたね。
対角線分割の原理は非常に使い勝手のいい技なのでオススメです~

ちなみに自分は最初,今回の問題を,
P_1は等積変形で,P_2は対角線分割を使って求めましたよーpanda_1.gif




 △AGC=△BGP_1 に着目する

最後は △AGC=△BGP_1 に着目してP_1を求めてみます。
AP_1とBCの交点をGとします。Gはさっきも出てきましたね。
△ABP_1を,△AGBと△P_1BGの2つの三角形に分割して考える解法のところでした。

△ABC=△ABG+△AGC, △ABP_1=△AGB+△P_1BG

なので,△ABGが共通しています。したがって,
△ABC=△ABP_1 であるとき, △AGC=△BGP_1 にならなければいけませんpatikapa.gif

というわけで,△AGCと△BGP_1の面積をそれぞれ求めて方程式を立てて解けば良いというわけです~

h42.jpg

分数式が出てきたり,中学生にはやや難しめの2次方程式が出てきたり,
ちょっと面倒な解法になってしまいましたね~

P_2の方も同様に出来ます~
等積変形を使った解法の解説で,直線m_2を求めるために使った
C’(-2,7)という点があります。四角形ACBC’が平行四辺形になるような点でした。
AC’とBP_2の交点をG’とします。
△ABC=△ABC’=△ABP_2となればよいので,この条件から
△BC’G’=△AP_2G’となれば良い事が分かります。
あとは計算するだけです~nakioni.gif


h43.jpg












だいぶ長くなってきたので今回はこの辺で終了したいと思います~kaeru_yodare1.gif
いろいろな解法のある問題でしたが,
どれも中途半端な理解では答えにたどり着けないようなものでした。
日頃の学習の理解度がモノを言う感じでしたねー

次回はラストの第五問ですーcar2_tank.gif


















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平成25年度 【前期】 宮城県公立高校入試 数学 第三問

2013.02.24 00:36|高校入試問題
どもども。

今回はこの間行われた宮城県公立高校入試の前期試験の数学第三問をやります~

問題はこちら~kaerum.gif
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1次関数の応用問題ですねー
問題文が長くて,そして色々な条件があって,
まず状況を理解するのに時間がかかるというよくあるパターンです。
まるで理科の実験の問題みたいですよねー


第1展望台と第2展望台があるタワーに関する問題です。
スカイツリー開業のタイミングもあってか,
もしかしたら今年の入試問題にはタワー関連の問題が随所に見られるかもしれませんね

1は連立方程式の応用問題です。
14人の集団がタワーに遊びにやって来ました
14人のうち何人が大人で何人が子供かは分かりません。
第1展望台と第2展望台それぞれに大人料金と子供料金が設定されています。
第1展望台に行ったのが14人のうち大人1人と子供2人。
残りの11人はみんな第2展望台に行きました。
14人が払った入場料の総額を手掛かりに子供の人数を探ってくれという問題です~ipon.gif


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大人を x人,子供を y人 とおきますね。
連立方程式を立ててxとyの値を求めます。

1本目の式は分かりやすくて,人数が全部で14人なので
x+y=14 ……
で与えられますinsect_kuwa_m.gif


もう1本は入場料の関係式で与えますよー。
第1展望台に行った3人の分の入場料は
大人1人分1800円と子供2人分1600円の和で3400円です。

残りの11人は全員第2展望台に行ったわけですが
この11人のうち,大人は(x-1)人,子供は(y-2)人です。
したがって,この11人の分の入場料は
2600(円)×(x-1)(人)+1200(円)×(y-2)(人)
で計算ができます。

これで2本目の式
3400+2600(x-1)+1200(y-2)=23600 
が与えられます。これはもう少し整理してやると
13x+6y=126 ……
になります~insect_kabuto_s.gif


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 加減法で連立方程式を解いてみる

 と  の2式からxとyを求めます。
連立方程式の解き方としては加減法と代入法がありましたが
まずは加減法で解いたらどうなるか見てみます。
xかyを消去できるように  の両辺を何倍かします。
xを消去できるようにするには13倍,yを消去できるようにするには6倍
しなければなりませんから,簡単な方のyを消去する作戦がいいでしょうkawauso.gif



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 代入法で連立方程式を解いてみる

次は代入法で答えを出してみます。
x=14-y を  に代入するか,あるいは
y=14-x を  に代入するかすれば良いでしょう~
前者だと13×14を計算しなきゃいけないので後者のほうが少し楽かも~kitune.gif


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 鶴亀算で解いてみる

連立方程式を使わなくても,算数の考え方で
いわゆる"鶴亀算"の問題として捉えることもできます。
第1展望台に行った3人の分の入場料が3400円だったので,
総額の23600円からこれを引いた20200円が残り11人の入場料の総額ですkorobo.gif

さて,この11人が全員子供だったと仮定してみます。
すると11人分の入場料は, 1200(円)×11(人)=13200(円)
となります。実際の金額20200円より7000円少ないです。
つまり,全員が子供だったとしたら辻褄が合いません。
ということは,何人か大人がいたということになりますね。

大人1人と子供1人の入場料の差は1400円です。
つまり,大人は子供より1400円だけ余分にお金を取られるということです。
7000÷1400=5 ですから,
1400円だけ余分に取られた人間が5人いることになります。
これは,11人のうち大人が5人いた事を意味しますkojika.gif

したがって,第1展望台に行った大人が1人,第2展望台に行った大人が5人
ということになるので,14人のうち大人は6人いたということになり,
子供の人数は残りの8人だったという結論になります。

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次はタワーに付いている2台のエレベーターに関する問題です~
どちらのエレベーターも速度は同じで秒速5mです。
ただし,動き方が違っていて,
エレベーターAは地上と第1展望台との間を2往復,
エレベーターBは地上と第2展望台との間を,第1展望台を経由しながら2往復です。

どちらのエレベーターも地上または各展望台に着くごとに30秒停止します。
注意すべきは,エレベーターBは行きでも帰りでも第1展望台では30秒停止することです。
この動き方の認識を誤ると大惨事です。
停止する箇所が足りなくならないようにしましょう~

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はじめの設問は,エレベーターAが地上を出発して第1展望台まで行って
戻ってくるまでの時間を求める問題です。
第1展望台では30秒停止するので,
上昇時間+30秒+下降時間 で答えが出せますねー
地上から第1展望台までの高さは300mなので,
上昇時間は 300(m)÷5(m/秒)=60(秒)ですladybug.gif
エレベーターはいつでも秒速5mなので,
上昇時間と下降時間はどちらも同じです。

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問題冊子には親切なことにグラフが描ける方眼紙状のスペースが用意されています。
次の問題を解くための準備にもなるので,グラフを描いて考えるのも有効ですkuma_fly.gif

2台のエレベーターのグラフは以下のようになります。
このグラフから正解の150秒後を求めても良いです~

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上の図を見ると,90秒後以降,青のグラフと赤のグラフは2回交わっていますね~
交わっている所では2つのグラフのy座標が等しいので,
2つのエレベーターは同じ高さにいます。一方が上昇,もう一方は下降しているので
ちょうど2台のエレベーターはすれ違っています。

次の設問は2回目にすれ違う時の両エレベーターのいる高さと,
その時刻が1回目にすれ違ってから何秒後かを求める問題です。


 方程式を立てて求めてみる

まずはグラフを参考にしながら方程式を立てて
普通に計算で求めてみます。

1回目にすれ違う時刻を求めてみましょう。
グラフを見ると,その時刻が 210≦x≦240 の範囲内にあることが分かります。
x=210 ではエレベーターBは y=300 という分かりやすい位置にいますが
エレベーターAはちょっとよく分からない位置にいますね。

そこで,両エレベーターが分かりやすい位置にいる x=180 を基準にして
考えてみます。最初に交わるのが180秒後の時点からt秒後であるとします。
つまり, x=180+t でグラフが交わっているとしますm_0054.gif

エレベーターAは x=180 以降の t 秒間はずっと上昇しているので
x=180+t の時点では高さ y=5t (m) の位置にいます。
一方,エレベーターBは x=210 までは停止しているので,
下降しているのは (t-30)秒間です。
よって,x=180+t の時点では高さ y=300-5(t-30) (m) の位置にいます。
この2つが等しいはずなので,
5t=300-5(t-30) と立式できます~

これを解くと t=45 になるので,最初にすれ違う時刻が
x=180+t=225 であることが分かります

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2回目にすれ違う時刻も同様に考えます~
2つのグラフは 300≦x≦330 の範囲で交わっていますが
x=300 ではエレベーターAが中途半端な位置にいるので
両エレベーターが分かりやすい位置にいる x=270 を基準に考えます。
x=270+s で2つのグラフが交わっているとします

すれ違うときに上昇しているのはエレベーターBで,
上昇時間は (s-30) 秒です。
一方,エレベーターAはs秒間下降しています。

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1回目と2回目のすれ違う時刻が出てきたので
差をとることで答えが出てきますね~
また時刻 x=315 のときの両エレベーターの高さも出せますね


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 1次関数の式を利用して求めてみる

どちらのグラフも線分をつなげた折れ線になっているので
1次関数の式を利用して答えを出してみるのも良いと思います~m_0137.gif

1回目にすれ違う時刻を出してみましょう。
エレベーターAのグラフは 180≦x≦240 の範囲では
(180,0)を通る傾き5の直線になっています。
この直線の式を求めます。 
y=5x+b とおいて(180,0)の座標を代入してbを求める
というやり方でもいいですし,
点(p,q)を通る傾きaの直線は y=a(x-p)+q とおけるという,
中学校では普通やらないけど便利な性質があるので
それを利用しても良いです。
いずれにせよ,この直線の式は y=5x-900 になりますよ~xmas_tonakai.gif


エレベーターBの方の式は 210≦x≦270 の範囲において
点(270,0)を通る傾き-5の直線になっています。
これは計算すると y=-5x+1350 になりますよー。

2直線の交点のx座標が1回目にすれ違う時刻です~butterfly07.gif


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2回目にすれ違うところも同様にやります~
エレベーターAのグラフの式は 270≦x≦330 では
点(330,0)を通る傾き-5の直線 y=-5x+1650,
エレベーターBのグラフの式は 300≦x≦360 では
点(300,0)を通る傾き5の直線 y=5x-1500 です。

この2直線の交点のx座標が2回目にすれ違う時刻,
y座標がその時の両エレベーターのいる高さですneko(1).gif


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 グラフの対称性を利用して求めてみる

最後は,計算せずにグラフを見るだけで1回目と2回目のすれ違う時刻を
求めるやり方を考えます~

グラフをよく見てみましょう。

g10.jpg

180≦x≦270 の範囲に注目です。
ここだけ抜粋してみると,赤と青のグラフを合体したものは
なんだか左右対称っぽくないですか?
2台のエレベーターは,どちらも速度は秒速5mでした。
よって,本当に左右対称になっているんですmushi.gif

対称軸は x=180,270 のちょうど真ん中の位置なので
直線 x=225 です

というわけで2つのグラフの交点のx座標は x=225 になります。
計算せずに求めてしまうことが出来ました~~

同様に, 270≦x≦360 における対称性に着目すると
2回目にすれ違う時刻は x=270,360 のちょうど真ん中の
x=315 であることが計算せずに分かります~

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工夫次第ではあっさり答えも出せる問題でしたね

次回は第四問をやります~08(1).gif








   

テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

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