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2013年京都大学前期入試 理系数学 第3問 

2013.04.23 02:45|大学入試問題
どもども。

今回は今年の前期京大入試の理系数学第3問をやります~




整式の除法と整数に関する問題です~~

x^n を整式 x^2-2x-1 で割ったときの余りが ax+b だそうです。
このとき, a と b が互いに素な整数であることを示す問題です~

a と b はnによって変わるので,
代わりに a_n,b_n とおいた方が後々やりやすいと思います~
ついでに x^n を x^2-2x-1 で割ったときの商の方も
Q_n(x) とおいておきましょう~

このとき,これらの式たちの間に成り立つ関係式は

x^n=(x^2-2x-1)Q_n(x)+(a_n)x+(b_n)

ですねsuika.gif


この関係式を拠点にして,  a_n,b_n を具体的に求めていくアプローチもありますし
a_n,b_n の間に成り立つ漸化式から出題された命題を証明していく方法もあります。

何はともあれ,まずは試しに a_1 と b_1 を求めてみましょうか

n=1 ということは1次式 x を x^2-2x-1 で割るということなので
商 Q_1(x) は 0 に等しく, x がそのまま余りになります。

x=(x^2-2x-1)・0+x

ということなので, a_1=1, b_1=0 になりますね~
a_1,b_1 は共に整数で,素数の共通因数は無いですね~


n=2 ではどうでしょう。
x^2 を x^2-2x-1 で割るということなので
商 Q_1(x) は 1 に等しく, 2x+1 が余りになります。

x^2=(x^2-2x-1)・1+2x+1

ということなので, a_2=2, b_2=1 になりますね~
a_2,b_2 は共に整数で,素数の共通因数は無いですね~

この調子で n=3,4,5,… とやっていけばいいんでしょうが
それではいつまでたっても終わりませんstar05.gif



ここで,一般のnについての等式
x^n=(x^2-2x-1)Q_n(x)+(a_n)x+(b_n)
に戻りましょう。
このとき, x^(n+1) を x^2-2x-1 で割ったときの
商と余りを知りたければどうします
真っ先に思いつくのは筆算して求めるということでしょう。
でも,nが具体的に与えられていないと筆算もどこで終わればいいのか
よく分かりません。しかも計算は煩雑です。

実は筆算を使わずとも,
x^n=(x^2-2x-1)Q_n(x)+(a_n)x+(b_n)
の関係式を利用して x^(n+1)÷(x^2-2x-1) 
の割り算結果を知ることが出来ます。

x^n=(x^2-2x-1)Q_n(x)+(a_n)x+(b_n)
の両辺に x を掛けてみます。

x^(n+1)=(x^2-2x-1){Q_n(x)・x}+(a_n)x^2+(b_n)x

なんだか x^(n+1)÷(x^2-2x-1) 
の結果みたいな式が出て来ましたよ。
でも,これでおしまいではありません。
2次式で割っているので余りは1次以下の多項式にならなければいけませんaicon_bbs19.gif

(a_n)x^2+(b_n)x は一般に2次多項式です。
これはまだ x^2-2x-1 で割れますね。

(a_n)x^2+(b_n)x を x^2-2x-1 で割る操作も
わざわざ筆算なんか使わずとも

(a_n)x^2+(b_n)x=(a_n)(x^2-2x-1)+(a_n)(2x+1)+(b_n)x
=(a_n)(x^2-2x-1)+(2a_n+b_n)x+a_n

と計算ができますよ~Strawberry01.gif

……ということは,結局,
x^(n+1)=(x^2-2x-1){Q_n(x)・x+a_n}+(2a_n+b_n)x+a_n
と書けるので
Q_{n+1}(x)=Q_n(x)・x+a_n, a_{n+1}=2a_n+b_n, b_{n+1}=a_n
を得ることができます~
商と余りは一意に定まるという性質があるので,
x^(n+1)=(x^2-2x-1)((n-1)次多項式)+(1次式以下の多項式)
の形の関係式が1個でも得られたら,そこから商と余りが読み取れてしまうのですねaicon_bbs17.gif



e1_20130423014419.jpg


  e2_20130423014420.jpg



数列{a_n},{b_n} に関する漸化式が得られました~
どうもこれはヒントになりそうです。
数学的帰納法を使うと良さげですね~

任意のnに対して,a_n,b_n が互いに素な整数になることを
数学的帰納法で証明してみますaomushi01.gif


もし a_{k+1},b_{k+1} が素数の共通因数を持っているとしたら
さっき得られた漸化式から a_k,b_k が素数の共通因数を持ってしまうという
帰納法の仮定に反する結果が得られてしまい,矛盾する~~s2_sum_sunflower.gif

という論調でやってみます~

e3_20130423014420.jpg
  e4_20130423014420.jpg



ということで終了です~~aicon_bbs20.gif



ところで,今の解法では数列{a_n},{b_n} に関する漸化式は
得られたものの,実際にそれを解いて一般項を求めるという作業は行いませんでした。
連立方程式を解けばもちろん一般項は出てきます。
ただ,今回はもっと手っ取り早く一般項を求めることも可能ですrisu.gif

x^2-2x-1=0 の解は x=1±√2 なので
x^2-2x-1=(x-1-√2)(x-1+√2) と因数分解できますね。

x^n=(x-1-√2)(x-1+√2)Q_n(x)+(a_n)x+(b_n)

に x=1±√2 を代入することで

(1±√2)^n=(a_n)(1±√2)+(b_n)

という関係式が得られます。「+」の方と「-」の方を適当に駆使して
一般項が得られてしまいますrabi_smile.gif


e5_20130423014420.jpg


ここで得られた一般項は√2がイヤ~な感じに混じっているので
なかなかこれがすぐに整数ですとは言いづらい気もしますね。
二項定理で展開するとうまい具合に項が相殺していって
最終的に整数になるんだろうなというのは大体予想はつきますredleaves.gif

しかし二項係数を含む何だか実態のよくわからない形式で表示されるので
√2は消えて,とりあえず整数だな~~てことくらいは何とか分かるものの,
ただ,a_n,b_n が互いに素であることを示すのは
ちょっとその形からだと大変そうな予感ですねー。


あの√2を含んだ一般項で与えられた a_n,b_n が整数であることは
次のようにして帰納法から確かめることも可能ですhiyos.gif

 

   e8_20130423014449.jpg
e9_20130423014449.jpg


ところで,を辺々掛けると

(-1)^n=-(a_n)^2+2(a_n)(b_n)+(b_n)^2

という√2を含まない式を得ることができますkawauso.gif
a_n,b_n が素数の共通因数pを持っていたら,
右辺はpの倍数になっています。
各項がpの倍数を2回掛けているので,p^2の倍数といってもいいですね。
ところが左辺は±1なのでpの倍数にはなりえませんねdog_shy.gif
そのことから出題された命題を証明することも可能です。


e10_20130423014450.jpg



(1+√2)^n=A_n+(√2)B_n とおいてみる作戦もあります。
このとき,(1-√2)^n=A_n-(√2)B_n になることを確かめて,
a_n=B_n,b_n=B_{n-1} となることを導く方針で命題を証明することも可能です。

e11_20130430235207.jpg
e12_20130430235208.jpg
 



ちなみに,今回の問題に出てきた a_n で与えられる数はペル数と呼ばれていますよ~



次回は第4問をやっていきます~christmas.gif





   
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2013年京都大学前期入試 理系数学 第2問

2013.04.19 00:27|大学入試問題
どもども。

今回は今年の前期京大入試の理系数学第2問です~




数列の問題ですね~

数列{a_n}の定義が何やら漸化式で与えられています~
a_n の偶奇によって a_{n+1} の与え方が違うみたいですね。

問題文を読み違えないように注意してくださいね~~
nの偶奇ではなくて a_n の偶奇によって与え方が変わるんですよ~~
自分は最初読み間違えますたッ

a_n が偶数の時は,これを2で割ったものが a_{n+1} になります。
偶数を2で割っているので,これは確かに整数ですね。
a_n が奇数の時は,1を引いてから2で割ったものが a_{n+1} になります。
a_n-1 は偶数なので,これを2で割った a_{n+1} はやはり整数ですね。

a_{n+1} の値は a_n の約半分なので,数列{a_n}はnが大きくなるにつれて
どんどん小さくなっていきますface_heart.gif
では,やがてこの数列はどういう挙動を取るようになるのでしょうか。

数列{a_n}の一般項を考えてみたいと思います~
まずは N=2 の場合を考えてみますよ~
このときは a_1=1,a_2=a_3=a_4=……=0
というシンプルな構造になっていますよ~eto_uma.gif
証明すべき不等式についても考察が容易そうです。

d1_20130418232006.jpg



N≧3 の場合について考えていきましょう~~

a_1=2^N-3, a_2=2^(N-1)-2 の後は
a_3=2^(N-2)-1, a_3=2^(N-3)-1, a_3=2^(N-4)-1, ……
となっていて,どうやら a_n=2^(N-n+1)-1 が成り立つようです。

しかしながら,いつまでもこのまま続くかというと,そうではありませんよーeto_ushi.gif

第 N+1 項を考えてみます~
a_{N+1}=2^0-1=0 になりますね。
問題はこの次です。 
3≦n≦N では a_n=2^(N-n+1)-1 は奇数でしたが,
第 N+1 項の0は奇数ではなく偶数です。
N=2 のときと同様で,第N+1項以降は常に a_n=0 になってしまいます~gp01.gif


d2_20130418232007.jpg
d3_20130418232007.jpg


これで数列 {a_n} の一般項が得られました~
N=2 のときは 3≦n≦N という不等式が意味を成さなくなるので
それが理由で N=2 の場合は最初に済ませておきました~

さて, S_M=Σ[n=1;M] a_n=a_1+a_2+a_3+a_4+……+a_M
とおきますよー。
S_M≦2^(N+1)-N-3 が証明すべき不等式ですね。

a_n は常に0以上の整数になっているので,
それらを順に足していくのだから S_M が単調増加することは分かると思います。
また, n≧N+1 のときは a_n=0 なんだから,
S_M は M≧N のときは常に変わらない値になりますねhamster_2.gif
つまり 第N項の S_N が S_M の最大値になっているわけです。
この最大値を求めれば,証明すべき不等式を得ることにかなり近付けそうですね。
というか実は S_N の値こそが 2^(N+1)-N-3 になってるんですけどね~

方針が立ったので,あとはまとめる作業です~~hunayurei.gif


d4_20130418232008.jpg

 d5_20130418232008.jpg

d6_20130418232008.jpg




このように,数列 {S_M} の単調増加性に着目すると証明が簡単ですが,
それに着目しないとすれば,もうちょっと地道に考察しなければいけなくなりますね。
M=1,2の場合と 3≦M≦N-1, M≧N の場合に分けて
それぞれについて証明すべき不等式を考察してみます~

下準備として
「補題: n≧2 のとき, 2^n≧n+2 が成り立つ。」
を証明しておきますinsect_kabuto_m.gif


d7_20130418232029.jpg

この補題を利用して S_M≦2^(N+1)-N-3 を証明していきましょう~kaeru_en1.gif


d8_20130418232029.jpg

d9_20130418232030.jpg

d10_20130418232030.jpg




次回は第3問をやります~m_0001.gif





  

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2013年京都大学前期入試 理系数学 第1問

2013.04.18 00:00|大学入試問題
どもども。


今回は今年の前期京大入試の理系数学第1問です~



平行四辺形に関する平面図形の問題です~w05.gif


c1_20130417185758.jpg


早い話がこの図において線分比 AP:PQ を求めよ~
という問題ですよ~

ベクトルを使う解法が真っ先に挙がってきそうですが
普通の初等幾何の問題としても解けるので
大学入試どころか高校入試の問題としても成立し得る問題ですね~

中学生でも京大の問題を完答できるというのは
何だか夢があっていいですよね~w03.gif



 解法1:相似の性質を使って解く

まずは中学生にもわかるシンプルな解法をやってみます。
とはいっても相似の応用問題なので,
補助線の引き方に慣れてないと難しく感じるかもしれません。

四角形ABCDは平行四辺形なので2組の対辺はそれぞれ平行です。
そのおかげで相似な三角形は割と作りやすいはずです~
補助線の引き方は複数ありますが,一例を示してみますよー

今回は下の図のように
FG,CEを延長してADの延長との交点をH,Iとしてみます。



c2_20130417185759.jpg



IH // BC に着目すると,例えば
△AEI∽△BEC, △IPH△CPF, △APH∽△QPF, △DGH∽△CGF
のような相似関係が見て取れますね~heart14.gif
特に,△AEIと△BECに関しては相似比が AE:BE=1:1 なので
実はこの2つの三角形は合同だったりします~

これらの関係から, AP:PQ は IP:PC に等しく,
更にこれは IH:FC に等しいことが導けます。
このことに基づいて答えを出してみます~

c3_20130417185759.jpg



 解法2:相似の性質とメネラウスの定理を使って解く

途中までは上の解法と同じですが,
最後の部分をメネラウスの定理を使ってみたいと思います~
今回は△ICDと直線PHに定理を適用させてみます~

c4_20130417185759.jpg


 解法3:ベクトルを使って解く

問題集にこの問題を載せるとしたら恐らくベクトルを使った解法が
模範解答として真っ先に挙がると思いますhana08.gif
Aを基点とする位置ベクトルを考えることとし,
(→AB)=(→b),(→AD)=(→d)とおきます。
平面上の任意の点は(→b)と(→d)の1次結合で書けますね。

PはEC上の点であると同時にFG上の点です。
このことに着眼して(→AP)を2通りに表して連立方程式を解きます。
これによって,(→AP)の表示式を得ることが出来ますfuurin03.gif

一方,Qは直線AP上の点なので, (→AQ)=k(→AP) と書けますね。
また,(→AQ)=(→AB)+(→BQ)=(→b)+ℓ (→d)とも書けるので
今度は k と ℓ の連立方程式を解けばいいですね。

ここまでくると, AP:PQ の比が求められます~c-11.gif


c5_20130417185759.jpg
  c6_20130417185800.jpg


 解法4:面積比を使って解く

おなじみ対角線分割の原理などを使って解いてみます~aicon_130.gif

まずは GP:PF または EP:PC どちらかの比を出してみます~
対角線分割が使いやすいのは GP:PF の方なので,
そっちを出してみますね~

GP:PF=△GEC:△FEC なのでこの面積比を求めてみますStrawberry02.gif


c12_20130417202144.jpg

平行四辺形ABCDの面積をSとして,
△GECと△FECの面積がSの何倍か調べます。

AB // DC なので,△GEC=△GAC ですね。
また, △GAC=(3/4)△ACD=(3/4){(1/2)S}=(3/8)S
です。これで △GEC=(3/8)S であることが分かりますね8184765.gif
△FECの方も同じようにやってみてください~


GP:PF が分かると今度は△PFCの面積がSの何倍かを求めることが出来ます。
これと△AFCの面積を比べることで
AQ:PQ=△AFC:△PFC が求められます。
これも対角線分割に類した原理です。
この比がわかれば答えが出せますね8190547.gif


c7_20130417185828.jpg
c8_20130417185828.jpg
c9_20130417185829.jpg


 解法5:斜交座標を使って解く

(→b)と(→d)は1次独立なベクトルなので,これら2つを基底とする
斜交座標を考えることが出来ます。
基底とか言われるとちょっと難しい話になってしまいますが,
平面上の任意の点Xが (→AX)=α(→b)+β(→d) と一意に書けることに
着目して,この点のことを(α,β)と表すことにしようという考え方だと思ってください

その発想によると
A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),
E(1/2,0),F(1,2/3),G(1/4,1)のように書けますね。

このとき,Pの座標は直線EC,GFの交点として,いつものように
2直線の方程式を連立させたものを解くことで得ることができます~

c10_20130417185829.jpg
c11_20130417185829.jpg





決して難しい問題ではないので
なんとか落とさずに切り抜けたいところですね~

次回は第2問です~16053835.gif






    

タグ:京大 大学入試 数学 2013 相似 ベクトル 平行四辺形

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