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2013年東北大学前期入試 理系数学 第4問

2013.05.29 12:18|大学入試問題
どもども。


今回は今年の東北大前期入試の理系数学第4問です~



積分と極限の問題ですね~

e^(n・sinθ) というθの関数の定積分で a_n が与えられています。
この a_n に関して { log (n・a_n) }/n の極限を考える問題です~


そのまんま a_n の値を計算しようとしても
なかなかうまくいかない感じなので挟み撃ちの原理に頼る
という流れのパターンのやつです~yotuba13.gif

e^(n・sinθ) に cosθ をくっつけて
{e^(n・sinθ)}cosθ の積分を考えたものが b_n です。
b_n の方は比較的簡単に積分が計算できてしまいます。
このとき,(2)の問題文によれば 
b_n≦a_n≦(2/√3)b_n が成り立つらしいのですが
これをヒントにして挟み撃ちに持っていくって感じですねsosu.gif






まずは(1)です~
b_n を計算する問題です。
直ちに {e^(n・sinθ)}cosθ の不定積分を考えることができます~suika.gif
でもちょっと気付くのは慣れが要るかもしれないですねー
e^(n・sinθ) を微分したらどうなるかってトコに着目出来れば
問題なくいけるはずです~

m1_20130529111158.jpg



それに気付けなかったとしても,置換積分でもうまくいきます~syumai.gif
f(sinθ)cosθ 型の関数の積分は t=sinθ とおくと
上手くいくという教訓があります~


m2_20130529111158.jpg





(2)は評価式 b_n≦a_n≦(2/√3)b_n を求める問題ですね。
b_n≦a_n と a_n≦(2/√3)b_n に分けてそれぞれを確かめると良いと思います~

積分区間が -π/6≦θ≦π/6 なので,
この範囲で考えると √3/2≦cosθ≦1 です。
これに e^(n・sinθ) (>0) を各辺に掛けると
(√3/2)e^(n・sinθ)≦{e^(n・sinθ)}cosθ≦e^(n・sinθ)
を得ることが出来ますね。
これの積分を考えると b_n≦a_n を考えることができます~katudon.gif

一方で, √3/2≦cosθ≦1 の各辺を √3/2 で割ると
1≦(2/√3)cosθ≦2/√3 が得られるので,更に各辺に
e^(n・sinθ) を掛けると,
e^(n・sinθ)≦(2/√3){e^(n・sinθ)}cosθ≦(2/√3)e^(n・sinθ)
を得ることが出来ますね。
これの積分から a_n≦(2/√3)b_n が出てきます~

m3_20130529111159.jpg
m4_20130529111159.jpg



さて,あとは挟み撃ちの原理に持っていくのですが,
知りたいのは { log (n・a_n) }/n の極限だったので,
(2)の不等式をもうちょっと変形します~futaba03.gif


m5_20130529111200.jpg

式に挟み撃ちを使います~
なので,まずは { log (n・b_n) }/n の極限を計算してみましょう~nezumi02.gif


m6 1


同様に, { log ((√3/2)n・b_n) }/n の極限も計算出来ます~
あとは答を出すだけですねーtentou02.gif


m6 2








さて,今回の問題では b_n が既に与えられている誘導付きの問題です。
(1)が無かったとしたら(2)と同等の不等式まで到達するのは
やや難しくなりますね。
b_n の被積分関数として, cosθ をくっつけた
{e^(n・sinθ)}cosθ を選べばいいということに気付くのが難しいです

どちらかといえば以下のやり方のように分母に √(n^2-x^2)
が出てくる形に持っていくとその先の展開を見い出せやすい気がします。
分母の最小値,最大値に着目して評価したい気持ちに駆られます~kujira.gif


m7_20130529111216.jpg
m8_20130529111216.jpg

これで(2)と同じ不等式が得られたのであとは(3)と同様にやれば
答えが出てきますねーjyugon.gif











次回は第5問です~hamu03.gif




     
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2013年東北大学前期入試 理系数学 第3問 

2013.05.24 12:07|大学入試問題
どもども。


今回は今年の東北大前期入試の理系数学第3問をやります~




確率の問題です~

AとBの2人がさいころを投げ合うという,
非常によくあるシチュエーションですよ~tree02(1).gif

A → B → A → B → A → B → ……
と交互にさいころを投げていきます。
自分の投げたさいころの出目の総和が先に6以上になった方の勝ち
というルールです~

各ターンでAとBがさいころを同時に投げる,のではないので
先攻のAの方が確実に有利ですね。
1発目でAが6の目を出しちゃったら,そこでもうゲーム終了です。

今回はそんなシチュエーションのもとで様々な確率を考えていきます。


(1)はAがさいころをちょうど2回投げた所でAが勝利する確率を出す問題ですkoinoburi08.gif

A,Bどちらにも言えることとして,
さいころを2回投げたとき,(1回目の出目,2回目の出目)の組は
全部で 6×6=36 通りあります。
このさいころ2回投げパターンの問題は恐らく今まで何度も見てきたのではないでしょうか。
全36パターンは以下のように表の形式でまとめるか
あるいは樹形図の形式でまとめるかして書き出しておくとミスが減るかもしれません
全てのパターンがビジュアル的に確認できるようにしておいて,
あとは問題を解く上で条件を満たす候補を数え上げていけばよいのです。

l1_20130524023412.jpg


Aが2回目のさいころ投げで勝利するということは,
A → B → A の順に投げることになるので,Bは1回しかさいころを投げません。
Aの1投目の出目は6以外でなければなりません。
そして1投目と2投目の出目の和が6以上にならなければいけませんkaeru0-02.gif

このような条件を満たす目の出方は全部で20通りあるんですが
計算で20という数字を導き出すよりも
該当するものを書き出してしまう方が分かりやすい気がします。
さいころ2回投げるパターンの問題ではそういう事が多いですね。

一方,Bに関しては1投目の出目は6以外であればOKです~。
つまり1~5の5通りですね。

AとBのさいころ投げの試行は互いに独立なので
A側の確率とB側の確率の積を計算すればOKです~s2_sum_sunflower.gif


l2_20130524023413.jpg

 l3_20130524023413.jpg


A側の目の出方は20通りだったんですが,
全体が36通りですから,余事象にあたる目の出方は16通りあります。
そっちの方を数えた方が実は早かったようですねs2_sum_katori.gif

また,(Aの1回目の出目,Aの2回目の出目,Bの1回目の出目)の組を考えて
積の法則から 20×5=100 通りとして 100/216=25/54
とするのも良いですね





(2)は2回ずつ投げたところでBが勝つ確率を求める問題です~
A → B → A → B の順に投げるということですね。

A側は,2回投げた時点でまだ総和が6未満であれば良いですね。
2回投げた時点で出目の和は最小でも2なので(2回とも1だったときですね),
出目の和は2,3,4,5の可能性があります。
この条件を満たすものを数え上げていくと全部で10通りありますtankoro.gif

一方で,B側は2回投げた時点で出目の和が6以上になるので
これは(1)のAの目の出方と同じように考えればいいので20通りになりますねwaraioni.gif


l4_20130524023414.jpg

今度は試しに余事象の確率を計算してみましょうか
「2回投げた時点でBが勝利する」の余事象は
「 ・1回投げた時点でAかBが勝つ
  ・2回投げた時点でAが勝つ
  ・2回ずつ投げた時点でまあ勝敗が決まらない
 のどれかになる」

です~s1_spr_chulip.gif
この3パターンの確率を足し合わせたものが余事象の確率です。
3パターンのうち「2回投げた時点でAが勝つ」は(1)で求めたものです。

l5_20130524023414.jpg

(1)で求めた結果も使えるし楽に計算できるかとも思いましたが
いざやってみると正攻法で攻めたほうが早そうですねs2_sum_hotaru.gif







最後は(3)です~~
今度は3回ずつ投げても勝敗が決まらない確率を求める問題ですよー

これは上の余事象の確率を計算する別解の中の
「2回ずつ投げた時点でまあ勝敗が決まらない」のやり方と同様にやればOKです。
(1回目の出目,2回目の出目,3回目の出目)の組を考えたとき
この3数の和が6未満になるようにすればよいわけですが,
和の最小値は3なので,考えられる可能性は,出目の和が3,4,5の場合です。

さいころ3回投げともなると,数え上げで考えるのが大変になることも多いですが
今回の条件であれば十分数え上げでいけます~rokuro.gif


l6_20130524023415.jpg


数え上げの仕方として,
2回目までの出目の和が何かで分類して数えるというのでもいいですねーrobo.gif
2回目までの出目の和が4以下であればいいですよー

l7_20130524023427.jpg






それでは次回は第4問やっていきます~~risu.gif







    

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2013年東北大学前期入試 理系数学 第2問

2013.05.21 20:11|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東北大学前期入試理系数学第2問をやります~



空間図形の問題です~
空間ベクトルを駆使して解くのがベタなやり方ですね

与えられた四面体OABCの体積を求めたいッ
というのが趣旨の問題で
△OABを底面とみなし,高さCHの長さを求めて
(底面積)×(高さ)×(1/3)
の公式で体積を出す,という流れの問題ですよ~~kashiwamochi02.gif



(→OA)=(→a),(→OB)=(→b),(→OC)=(→c) とおいて
この3つのベクトルを使って色々計算していきますー。

OA=OB=OC=1,∠AOB=60°,∠BOC=∠COA=45°
条件が与えられています。
これで内積 (→a)・(→b), (→b)・(→c), (→c)・(→a)
が計算出来ますね



k1_20130521115630.jpg

△OABは1辺の長さが1であるような正三角形です。
また, △OBC≡△OAC ですね。
ABの中点をMとすると,四面体OABCは平面OCMに関して対称に
なっていることに気付けると多少計算は簡単になりますよ~heart08.gif


(1)(2)までで高さCHの長さを求めます。
(1)は下準備で(→OH)を (→a),(→b) を用いて表示する問題です。

 解法1:(→OH)=x(→a)+y(→b) とおいて OA⊥CH,OB⊥CHに着目する

Hは平面OAB上の点なので,
この平面上の1次独立な2つのベクトル (→a),(→b) の
1次結合で表現することが出来ますね。
そこで,(→OH)=x(→a)+y(→b) とおきましょう~futaba05.gif

x,y を求めたいので連立方程式を作るための
2本の式が欲しいです。
ちなみに,先程述べた立体の対称性に注意すれば
x=y であることが分かるので,それを利用するならば
式は1本あれば十分ですね。

ここで CH⊥(平面OAB) に着目します。
ここから分かることは, CH は平面OAB上の任意の線分と垂直であるということですbye03.gif

空間図形が苦手な人だと,この類の把握も苦手なことが多いようです。
たとえば CH⊥OA であるはずなのですが,
図を見ると斜めな感じに交わってるように見えて
とてもこの2つの線分が直交しているなどと気付けなかったりします。
ですが, CH⊥(平面OAB) であるので直交します。
平面OABを水平面と思いましょう。
その平面に対して鉛直方向に(→HC)が伸びている。
そういう見方が出来れば CH⊥OA のみならず
CH⊥OB, CH⊥AB, CH⊥OH, CH⊥AH, CH⊥BH なども
納得できるのではないでしょうかbeen.gif


k15.jpg

というわけで,平面OAB上のベクトルを2つ適当に選んで
(→CH)との内積が0になることで2本の関係式が得られます。

当然ながら,なるべく計算が簡単になるような
2つのベクトルを選ぶのが賢明なわけです。
そこで (→OA)=(→a),(→OB)=(→b) を選択するのが良いと思いますbuta(2).gif


k2_20130521115630.jpg
k3_20130521115630.jpg


 解法2:(→OH)=k・{(→a)+(→b)}/2 とおけることに着目する

今度は対称性から x=y となることと同等の考え方をしてみます。
Cから平面OABに下した垂線の足がHでした。
このHは一意的に定まります。
ABの中点をMとすると,Hは△OAM側にあるか△OBM側にあるかということになりますが
対称性と一意性から,Hは△OAMと△OBMの共通部分である
OM上にあることが分かりますrabi_happy.gif

(→OM)={(→a)+(→b)}/2 なので(→OH)はその定数倍です。

k5_20130521115631.jpg
k6_20130521115631.jpg


ちなみに (→CH)・(→a)=0 ではないもの,
例えば (→CH)・(→OH)=0 などで立式すると以下のようになり,
やはり計算が多少面倒になっていますladybug.gif


k7_20130521115657.jpg


 解法3:(→CH)=x(→CA)+y(→CB)+z(→CO) (x+y+z=1) とおけることに着目する

Hは平面OAB上の点だったので,
(→CH)=x(→CA)+y(→CB)+z(→CO) (x+y+z=1) 
という形で書くことができましたhiyob_uru.gif


k4_20130521115631.jpg

得られたものは解法1で出てきた(→CH)の形と同じものですねkasabake.gif
あとは解法1と同様にやればOKです~。





次は(2)を考えてみましょう~。
CHの長さを求める問題です~
(1)で求めた(→OH)の表示式をヒントに考えます。

 解法1:△OCHに三平方の定理を使う

△OCHは∠OHC=90°の直角三角形です。
OC=1 は分かっているので,あとは OH=|(→OH)| を求めれば,
三平方の定理が使えますbuta.gif


k10_20130521115657.jpg

 解法2:|(→CH)|を計算する

(→CH)=(→OH)-(→OC) なので
|(→OH)-(→OC)|^2 の値をガリガリ計算してもOKですね~benibara.gif


k11_20130521115658.jpg


 解法3:OH=s,CH=t とおいてs,tの連立方程式を立てる


今度は(1)と(2)を並行して解いてみる考え方をしてみます。
OH=s,CH=t とおいて, s と t を求めようという発想ですaicon_bbs19.gif
ベクトルに固執しないで空間幾何の問題と思って解いていきます。

OB上に OB⊥CD となる点Dを取ります。
四面体OCDHに着目して,s,t に関する連立方程式を立てます。
3つの三角形OCH,CDH,OCDが直角三角形であること,
対称性から ∠BOH=30° であることなどがポイントです

k8_20130521115657.jpg
k9_20130521115657.jpg



 解法4:△OCMの3辺の長さからOH,HMの長さを求めてみる

k16.jpg

またまた(1)(2)を並行して解いていきます~aicon331.gif
△OBCにおいて,余弦定理を使えばBCの長さが出せます。
△BCMは∠CMB=90°の直角三角形で,BM=1/2なので
CMの長さが三平方の定理より導けます。
また,OC=1,OM=√3/2 です。

これで△OCMの3辺の長さが分かることになります。
この3辺が分かると,OHとHMの長さを求めることが可能になります。
それが分かれば OH:HM の比に着目して(→OH)を計算出来ますし
△OCHに三平方の定理を適用させてCHの長さも出すことができます~cake.gif


k12_20130521115658.jpg
k13_20130521115711.jpg







このように,CHの長さを求めるまでには
様々な考え方ができるようですね~~


最後(3)は四面体OABCの体積を求めておしまいです~aicon338.gif


△OABを底面とみなすので
底面積は△OABの面積を計算すればOKです~
それに高さCHの長さを掛けて,1/3をかけて終わりですね~


k14.jpg







それでは次回は第3問をやっていきましょう~~aicon432.gif








    

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