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2013年東京工業大学前期入試 数学 第1問 その2

2013.06.26 05:41|大学入試問題
どもども。


今回は今年の東工大入試の数学第1問の続きです~



今回は後半の確率の問題をサクッと済ませてしまいます~suika.gif


さいころを投げたときの出目に関する問題なので,
まぁ定番と言えますね。
しっかり得点ゲットしておきましょうねーー


面倒なのはサイコロの個数が6個と,ちょっと多めな感じになってることですね。
6個のさいころを投げてちょうど4種類の目が出る確率は?
ということが問われていますよ~girl_jewel_b.gif




(1個目の出目,2個目の出目,……,6個目の出目)という6個の数字の組を
考えると,それは全部で 6^6 通りありますね。
これが今回の全体の場合の数です。

これは1から6までの数字を重複を許して6個1列に並べる重複順列に
対応させることができますhunayurei.gif


ちょうど4種類の目が出るという状況には以下の2つの事象があります。

(ア)6個のうち3個が同じ目,残りはすべて異なる目
(イ)同じ目が出る2個のサイコロが2組あり,残りはすべて異なる目



よってこの2つの事象が起こる確率をそれぞれ求めて足せば答えが出てきますhiyos.gif



(ア)の方は,出てくる4種類の目を決めてしまうと,そのときの場合の数は
「A,A,A,B,C,D」の6個の文字を1列に並べる順列の総数に対応させて考えることができますkaeru_en4.gif


q1_20130626051317.jpg
q2_20130626051318.jpg
q3_20130626051318.jpg


一方,(イ)の方は,出てくる4種類の目を決めてしまうと,そのときの場合の数は
「A,A,B,B,C,D」の6個の文字を1列に並べる順列の総数に対応させて考えることができますladybug.gif


AとBに当てはめる数字の選び方には注意が必要です。
例えば A=1,B=2,C=3,D=4 の場合と A=2,B=1,C=3,D=4 の場合を
別々にカウントしてしまうと重複カウントが起きます。
例えば(1,1,2,2,3,4)が(AABBCD)と(BBAACD)で2回カウントされます


q4_20130626051319.jpg


q5_20130626051319.jpg






大して別解などがたくさん出てくる問題ではないので,
とりあえず今回は1つだけ,先に出てくる4種類の目を決めてしまうやり方を
別にやってみたいと思います~

出てくる4種類の目をA,B,C,Dとします。
このとき(A,B,C,D)の組は15通りあります。

あとはさっきと同じように(ア)(イ)に分けて考えていきます

(ア)については,A,B,C,Dのうち
とりあえず3回出るのがAであるものの場合の数を求めて
それを4倍(3回出るのがB,C,Dの場合も同様だから)すれば良いと思います。

(イ)についても,とりあえず1回しか出ないものがAとBであるものの数を数えて
それを6倍すればOKです~

q6_20130626051320.jpg

  q7_20130626193915.jpg





大問1はまぁ準備運動のようなものなので,簡単に済ませておいて
次回は大問2をガッツリやっていきましょう~lunch.gif










     
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2013年東京工業大学前期入試 数学 第1問その1

2013.06.20 22:00|大学入試問題
どもども。


今回は今年の東工大入試の数学第1問をやりますよ~

2つの問題からなる小問集合のような大問ですよー
今回は(1)の2次方程式の解と整数の応用問題をさくっとやっつけます~yotuba12.gif



2次方程式 x^2-3x+5=0 の2解をα,βとおいてみると
α^n+β^n-3^n は必ず5の倍数になっていることを確かめろっていう
問題ですねー

この2次方程式の判別式を D とおくと
D=(-3)^2-4・1・5=-11<0 が成り立つので
そもそもα,βは実数ではなく虚数です

特に共役な複素数なので α^n+β^n を計算すると
うまい具合に虚部が相殺して実数に,特に整数になるみたいですね。

α^n+β^n を計算するにあたっては
直接α,βの値を利用していくよりも
解と係数の関係を使って攻めていくほうがやりやすいことは想像がつきますbye05.gif


p1_20130620204724.jpg


x_n=α^n+β^n-3^n とおいてみます。
これが5の倍数になっていることを示します。
この手の問題では数学的帰納法が有効に機能します~futaba.gif

数列 {x_n} について,
漸化式 x_{n+2}=3x_{n+1}-5x_n-5・3^n
が成り立つことが計算で確認できます。
これを帰納法を使った証明の中で活用したいので,
次の形で帰納法を使うのが良いです~


(I) n=1,2で命題が成り立つ。
(II) kを自然数として,n=k,k+1で命題が成り立つと仮定すると
    n=k+2のときも命題が成り立つ。


このタイプもしばしば入試問題で出番がありますねaicon_bbs20.gif



p2_20130620204724.jpg
p3_20130620204723.jpg


x_{k+1} は 5y_{k+1} に置き換えていますが
x_k は特に 5y_k に変換していません。
しかし, 「3y_{k+1}-x_k-3^k が整数である」ことを裏付ける根拠として
x_k は整数であるという形で帰納法の仮定を利用していますinsect_kabuto_m.gif






1つ別解を挙げておきます~
大体の場合,式変形の順番は多少変わったとしても
多くの人は上の解法に近いものが仕上がると思いますが,

今度は x_n=α^n+β^n-3^n の変形に関して
α^n+β^n をいじるのではなくて
3^nをいじってみるという発想をしてみたいと思います~benibara.gif

解と係数の関係より α+β=3 なので
x_n=α^n+β^n-(α+β)^n
が成り立ちます。
2項定理を使って展開すると, x_n は α^n と β^n が相殺して
(α^p)(β^q) (p,q≠0) 型の項の集まりになるはずです。
αβ=5 が全ての項の共通因数が出てくるので x_n は5の倍数です~ 
という方針で証明することが出来そうです。

ただし,共通因数5をくくり出して, x_n=5(a_n) と書いた時に
a_n の部分がしっかり整数になっていることを確認しなければいけませんよーbakeneko_20120809140145.gif

パスカルの三角形なんかを思い浮かべてもらえると良いですが
(α+β)^n の展開式に現れる係数はαの昇ベキ順に並べると
ちょうど左右対称になりますね。
α^n+β^n が任意の自然数 n に関して整数になるということを
数学的帰納法で証明しておけば,あとはこの係数の対称性に着目して
a_n に相当する部分がしっかり整数になっていることを述べることができます~s2_sum_bbq.gif



p4_20130620204723.jpg
p5_20130620204722.jpg



帰納法を使う部分は概ね最初の解法と同様にやればOKなので割愛します~

次回は(2)の方をやってみます~s2_sum_beach.gif








    

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2013年東北大学前期入試 理系数学 第6問

2013.06.09 21:53|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東北大前期入試の理系数学第6問を扱います~~




積分を使って立体の体積を求める問題です~~

円柱をある平面でスパっと切断して2つの立体に分けまして,
そのうちのちっちゃい方の立体の体積を求めるというものです。
断面積を計算してそれを積分して体積を出すという定番の流れですので,
方針に迷うことはないはずですsuika.gif


もし迷うとすれば,どの平面で切った断面積を考えるかということでしょうが,
その辺は問題文の方で指示してくれていますので,それに従えばいいですねーramen(1).gif




o1_20130609200453.jpg 
o3_20130609200454.jpg
o2_20130609200453.jpg
o4_20130609200454.jpg


考える立体は上図のようなやつですMushroom02.gif
底面は半円,上面も弓型の図形です。
直径ABに垂直な平面を正面とする方向から見ると台形,
直径CDに垂直な平面を正面とする方向から見ると等脚台形を
ちょっと膨らましたような形になっています。

o11_20130609200521.jpg



さて,問題の誘導に従うと,
直径ABに直交し,Oからの距離が t であるような平面(これを W(t) とおきます~)
で立体 V を切断した時の断面積を考えます。

この時の切断面は台形になるか三角形になるかのどちらかです。
W(t) が上面の弓型と交わるかどうかでこれが分かれますusagi(2).gif


交わるときは,下図のように切断面が台形です。

o5_20130609200454.jpg
o6_20130609200455.jpg
o7_20130609200519.jpg

真上から見たときの情報,側面側から見たときの情報を合わせて
切断面の台形の必要な辺の長さを求めることが出来ます。
これで断面積が計算できるようになりますよーaicon_bbs18.gif


o12_20130609200521.jpg
o13_20130609200548.jpg




一方,切断面が三角形になるのは W(t) が上面の弓型と交わらないときですaicon_bbs20.gif


o8_20130609200519.jpg
o9_20130609200520.jpg
o10_20130609200520.jpg

こちらも同じように断面積を計算していくことができます~aomushi02.gif


o14_20130609200549.jpg


あとは積分して体積を出すのみです~
対称性を利用して少し楽もしておきましょう~zashiki.gif



o15_20130609200549.jpg








さて,今回はこの立体Vを W(t) とは別の平面で切断したときの
断面積を積分して体積を求める検証をしてみます~xmas_tonakai.gif


今回の問題では座標は特に設定されていませんでしたが,
分かりやすい言い方をすれば,
いわゆるx軸方向に積分する,y軸方向に積分する,z軸方向に積分する,
の3パターンが分かりやすいアプローチの仕方だと思いますspaghetti.gif


上述の解法がx軸方向の積分だったとすると,y軸方向,z軸方向の積分で
体積計算してみるアイデアが残っていると思います。
この2つにトライしてみます。




まずはz軸方向の積分をやってみましょう~~
つまり底面や上面と平行な平面で V を切ったときの断面を考えます~star.gif



o16_20130609200550.jpg
o17_20130609200550.jpg

o18_20130609200551.jpg


この時の断面は,底面や上面と同様で常に弓型の図形です。
そこで上述のように ∠P'O''N=θ とおき,断面積をθの関数で
表してみたいと思いますs2_sum_sunflower.gif


ただし,積分はあくまで z に関して行うものであって,
断面積をθで積分するのではありません。
θの積分に直すには置換積分を考えなければいけません。
すなわち,dzを (dz/dθ)dθ に置き換えなければいけません~
これがよく見落とされがちなところだと思います。


o19_20130609200614.jpg
o20_20130609200615.jpg








残りはy軸方向の積分に相当するアプローチを試してみましょう~
直径ABに平行な弦GHを底面に引いて,
GHを含むような底面に垂直な平面で V を切るのですrisu.gif


切断面は長方形ですー。
ただし,Oからの距離が 1/√2 より大きくなると
長方形の高さは一定になりますrabi_smile.gif




Oからの距離が 1/√2 より小さいときは
下図のようになっています。

o21_20130609200615.jpg

o22_20130609200616.jpg
o23_20130609200616.jpg
o24_20130609200616.jpg


Oからの距離が 1/√2 より大きいときは
下図のようになっていますkawauso.gif


o25_20130609200633.jpg




断面の形が分かればあとは他のアプローチと同じように
断面積を求めて積分すれば答えが出せますねーinsect_kabuto_m.gif


o26_20130609200633.jpg
o27_20130609200634.jpg







3通りの仕方で答えを出してみましたが,
どのやり方でも計算が煩雑になるようなことはないようです。
難易度的にも大差は無さそうですねhamster_2.gif


誘導形式の設問であればそれに従えば問題ないですが,
誘導がない場合は,どの方向の積分で攻めるかを
自分で考えて選ぶ必要があります。

その選択が運命を左右することになるので
手段を見極められる目を養ってみてくださいませ~eto_ushi.gif






   

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