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2013年東京工業大学前期入試数学 第5問 その1

2013.07.24 03:08|大学入試問題
どもども。


今回は今年の東工大入試の第5問がテーマです~



楕円と円が主題の問題です~
円が楕円に内接しているというシチュエーションを考えますよ~


円C_1:(x-a)^2+y^2=a^2
楕円C_2:x^2+y^2/b^2=1

が与えられています。
円C_1はx軸上に中心を持つ原点を通る円になっていますね。
楕円C_2は原点が対称の中心になっている楕円です。
円C_1が楕円C_2に内接するための条件を求めるのが(1)の問題です~girl_jewel_r.gif


そのような状況というのは次の2パターンがあります~hamster_2.gif

(ア)(1,0)が内接点である
       u2_20130724012019.jpg


(イ)(1,0)は内接点ではない
       u5_20130724012021.jpg


円C_1と楕円C_2の方程式からyを消去してxのみの方程式を作ると
(b^2-1)x^2+2ax-b^2=0 …
になります。b≠1のときはxの2次方程式ですが,
b=1のときは1次方程式になりますね。
b=1のときは楕円C_2はちょうど単位円 x^2+y^2=1 になっています。

一方,円の方程式より, y^2=a^2-(x-a)^2 …
が得られます。  と  を連立させたものの解によって
2曲線の交点の座標が与えられるのでしたkaeru_en2.gif








では,(ア)のパターンから見ていくことにしましょうか。
接点 (1.0) は円の右端でもあるので (2a,0) と一致するため
a=1/2 であることが直ちに分かりますね

b=1のときは円C_1が(楕)円C_2に内接していることは容易に確認できます。
b≠1の場合について考えてみましょう。

円C_1が楕円C_2に内接しているための条件を考えるということなので,
 が重解を持てばいいんじゃないかと思うかもしれません。
実はそれは大きな落とし穴なんです

 ⇔ (x-1){(b^2-1)x+b^2}=0
なので,x=1 のほかに x=b^2/(1-b^2) という解を持ちます。
 が重解を持つのは b^2/(1-b^2)=1 となる
b=1/√2 のときだけです。下図の時がちょうどそれです。

     u2_20130724012019.jpg

bが 1/√2 より大きい時も円C_1が楕円C_2に内接しています
下図は b=4/5 のときのものです。

     u3_20130724012020.jpg

あれ? x=b^2/(1-b^2) のときの交点はどこ行ったんだ?
2曲線は(1,0)でしか交わっていないぞ?
な~~んて思ったかもしれませんkame.gif
上のほうで2曲線の交点は  と  を連立させたものの解によって
与えられると述べました。
x=b^2/(1-b^2) を  に代入してy座標を求めようとすると
実は b>1/√2 のときは y が実数にはならないんです
(ちなみに b^2/(1-b^2) 自体が1より大きくて楕円からはみ出てます)
よって連立方程式の解が (x,y)=(1,0) だけになっちゃうんですね。
よって  が重解を持たなくても2曲線が接しているという状態が起こり得るわけです。
特に今の場合はしっかり円のほうが内接しています。

一方で, 0<b<1/√2 の時は何が起こるでしょう。
このときは x=b^2/(1-b^2) のときの交点もしっかり存在します
下図は b=1/4 の場合です。交点が全部で3個ありますね。

      u1_20130724012019.jpg

この交点が,bが 1/√2 に近づくにつれてどんどん (1,0) に
近づいてきます。そして b=1/√2 になったとき
に3個の交点が1つに重なってしまうという仕組みです。

見れば分かりますが, 0<b<1/√2 のときは
円C_1は楕円C_2に,内接ではなくて外接しているので不適です~ladybug.gif



u8_20130724012106.jpg
u9_20130724012106.jpg
u10_20130724012107.jpg
u11_20130724012107.jpg
u12_20130724012108.jpg
         u7_20130724012105.jpg
         u13_20130724012136.jpg




次は(イ)について検証していきましょう~
b=1 の場合は楕円C_2が円になるため(ア)の方で考えた a=1/2 のときしか
条件を満たしませんので, b≠1 の場合について考えます。

こちらの場合においては  が重解を持つ条件と大きく関わってきますm_0232.gif
 が相異なる2個の実数解を持つときは下図のように
2曲線は4個の交点を持ちます。

      u4_20130724012020.jpg

右側の方の交点が (1,0) まで寄ってしまったのが(ア)の場合ですね。
今の場合上の方の2個の交点がビタッと重なってしまったときが
重解になる時と一致していて,それが円が楕円に内接するときでもあるわけですm_0231.gif


というわけで  の判別式が0になるという条件が立てられますね。
ところが,ここで再び落とし穴がありますm_0006.gif
判別式=0 だけでは条件が足りないのです。
一体どういうことでしょう

 と  を同時に満たす (x,y) が2曲線の交点ですが
b>1/√2 のときは接点の y 座標がなんと実数になりません。
x 座標もまた楕円からはみ出てます。
従って, 0<b≦1/√2 という付加条件がついてくるんです。
相当注意深くないと見落としてしまいそうですね

なお,端点 b=1/√2 では (1,0) が接点になってしまうので
この点は外しておかないと(イ)の条件に反してしまいます。


以上のことをまとめることで,答えが出てきます~

           u6_20130724012021.jpg

u23.jpg

u15_20130724012137.jpg






落とし穴の多い怖い問題でしたね。
このような落とし穴にハマりにくい別解法を1つ挙げておきたいと思います。
2次関数の話に帰着するパターンですm_0233.gif


円C_1の中心を M(a,0) とおきましょう。
また楕円C_2の上半分の任意の点 P(t,b√(1-t^2)) を取ります。
上半分に限定するのはこの楕円が上下対称だからですね。
さて,「Pが楕円の上半分を自由に動くとき,線分 MP の長さの最小値が
円の半径 a と一致する」
ということが円C_1が楕円C_2に内接するための条件として
言い換えることが出来ますpakukapa.gif

そしてそのことは更に「関数 f(t)=(1-b^2)t^2-2at+b^2 (-1≦t≦1) の
最小値が0である」
という条件に言い換えることができるので,
そこから先はやり慣れた2次関数の問題になってしまうのであります。

x^2の係数が0のとき(つまりb=1のとき)は1次関数になってしまいますが,
0でないときは係数が正なら下に凸,負なら上に凸の放物線です。
あとは軸の位置などに着目して場合分けをするといういつものパターンですonigiri_1.gif


下に凸となるのは 0<b<1 のときです。
軸の方程式は t=a/(1-b^2)>0 なので,
軸の位置が x=1 より左か右かによって,
頂点のところで最小となるかf(1)で最小かが決まりますoni.gif


u16_20130724012137.jpg
u17_20130724012138.jpg
u18_20130724012138.jpg
u19_20130724012200.jpg
u20.jpg
u21.jpg




一方で,上に凸の放物線になるのは 1<b のときです。
この時は f(t) の最小値は,軸の位置などによらず
いつも f(-1) か f(1) のどちらかなのですが,
a>0 の条件から f(-1)>f(1) が得られてしまうため
最小値は f(1) ですrabi_love.gif



u22.jpg







ということで,それほど落ちやすい落とし穴はなかったかと思います。

次回は(2)からやっていきますtyoutcin.gif


















          
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2013年東京工業大学前期入試数学 第4問

2013.07.10 17:30|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東工大前期入試の数学第4問をやります~





極限の問題ですね~

0≦x≦π/2 において, sin4nx≧sinx を満たす区間の長さの総和 S_n を
計算して,その n→∞ における極限を求める問題ですねーyotto.gif



純粋に計算だけで処理しようとするよりも,
何かしらの図と併せ見て考えると割とスムーズに思考が進みそうです~


とりあえず単位円を使って考えてみましょうか。
単位円上の点 (cos4nx,sin4nx),(cosx,sinx) の位置に着目しましょう。
sin4nx と sinx はこの2点のy座標に現れますね。
sin4nx≧sinx が成り立つのは,
(cos4nx,sin4nx) が (cosx,sinx) より高い位置にあるときです~w05.gif



t1_20130710163401.jpg


0≦x≦π/2 という条件のもとで考えるので,
4nx の取り得る値の範囲は 0≦4nx≦2nπ になりますね
このうち特に、 0≦4nx<2π の範囲内では,
sin4nx≧sinx が成り立つのは, x≦4nx≦π-x のときです。
同様に, k=1,2,3,…,n-1 に対して
2kπ≦4nx≦2(k+1)π の範囲内で sin4nx≧sinx が成り立つのは, 
x+2kπ≦4nx≦(π-x)+2kπ のときですtakenoko03.gif

これを変形して
2kπ/(4n-1)≦x≦(2k+1)π/ (4n+1) を得ます。
どのような k のときにこの不等式が成り立つかを考えます。
つまり閉区間 [2kπ/(4n-1),(2k+1)π/ (4n+1)] が [0,π/2] に含まれる
ような k を探します。

t2_20130710151012.jpg
t3_20130710151012.jpg
t4_20130710151013.jpg


このことから, k=0,1,2,3,…,n-1 に対して
閉区間 L_n=[(2kπ)/(4n-1),{(2k+1)π}/(4n+1)] を考え,
L_0 から L_{n-1} までの長さの和を計算すれば S_n が求められるというわけですなーtawa02.gif



t5_20130710151013.jpg
t6_20130710151014.jpg



n と k が混在する計算ですが,落ち着いて処理できるようにしましょう~
k に関する和だからn は定数扱いですよ~



さて,今回も別の手段を使って解き直してみます。
単位円を使って 4nx と x を比べる以外だと,
例えば,割とすぐ思いつきそうなのは sin4nx-sinx を和積公式で積の形に直す
という作戦ですかね。
図などを用いずに,ひたすら計算のみで押し切ったりも出来る方法ですningyou.gif


t7_20130710151044.jpg
t8_20130710151044.jpg


(ア)(イ)の2パターンに限定されます。
ここから先も計算だけで処理しても良いのですが,
ちょっと図を使って考えてみますよー

(ア)からいきます~
cos(4n+1)x/2 と sin(4n-1)x/2 の符号の条件が与えられています。
単位円上の2点 (cos(4n+1)x/2,sin(4n+1)x/2),(cos(4n-1)x/2,sin(4n-1)x/2)
の位置に着目しますnasu.gif

cos(4n+1)x/2≧0,sin(4n-1)x/2≧0 となるためには,
(cos(4n+1)x/2,sin(4n+1)x/2) は単位円の右半分,
(cos(4n-1)x/2,sin(4n-1)x/2) は単位円の上半分の位置になければいけません。

一方で,前者は後者と比べて角度的には x だけズレています。
0≦x≦π/2 なので,このズレは高々直角くらいなんですね。

これらの情報からの総合判断で
2点とも第1象限エリアにいないとマズいってことが分かりますkinoko01.gif



t9.jpg
t18.jpg




(イ)の方も同様に考えると,
単位円上の2点 (cos(4n+1)x/2,sin(4n+1)x/2),(cos(4n-1)x/2,sin(4n-1)x/2) 
は共に第3象限エリアにいなければいけないことが分かりますki.gif


t10_20130710151045.jpg




(ア)(イ)で得られた不等式が表す区間は, k ごとに変化していきますが
これらは全く共通部分を持ちません
(ア)から得られたのは最初の解法で出てきた L_k の偶数番目たち,
(イ)から得られたのは L_k の奇数番目たちなんです。

t11_20130710151046.jpg
t12_20130710151046.jpg
t13.jpg


というわけで,それが分かれば,ここ以降の展開は最初の解法と同じです。
それはまぁ,割愛しましょー








この部分に辿り着くまでの過程としてもう1つのアプローチの仕方を考えてみます。
y=sin4nx と y=sinx のグラフ(ただし 0≦x≦π/2 の部分のみ)
を使ってみますheri01.gif



t14.jpg


y=sinx の方は,0から1までひたすら単調増加していくわけですが,
y=sin4nx の方は,ウネウネしているわけですよ。

そういうわけで, 2つのグラフの交点の x 座標を小さい順に x_1,x_2,x_3,…
と定めていくと, sin4nx≧sinx となるのは 
y=sin4nx の方が上にきてる場所なので,そのような区間は
[x_1,x_2],[x_3,x_4],[x_5,x_6],…… になっていますcarrot02.gif
これらが順に L_k に対応していくわけですね。

sin4nx=sinx の解は上の解法と同様で和積公式使って求めればOKです~

t15.jpg
t16.jpg
t17.jpg



これで L_n と同様のものが得られるので,
あとは他の解法と同様に進めていけばOKです~~
というわけで割愛っとbeen.gif









次回は大問5をやります~





   

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2013年東京工業大学前期入試数学 第3問

2013.07.04 02:59|大学入試問題
どもども。


今回は今年の東工大入試の数学第3問です~





微分法の応用問題です~cutlet.gif

kを定数として, e^x-x^e=k という方程式の解の個数を数える問題です~
方程式の解の個数を調べる問題は定番ですねー

y=e^x-x^e のグラフと直線 y=k の交点の個数を数える話に
置き換える
のが常套手段です~dog_smile.gif

y=e^x-x^e のグラフの概形を調べるのは若干面倒かもしれませんが,
とりあえずやっていきましょう~


f(x)=e^x-x^e (x>0) とおきます。
f’(x)=0 の解を調べて極値を与えるxを求めますよ~
f’(x)=e^x-ex^(e-1)=0 を解けばよいのですが
2次方程式みたいな扱いやすい形の方程式ではないので,少々悩ましいですね。
とりあえず分かりやすい値を幾つか入れてみることで, 
x=1,e が解になっていることくらいは見付けられます。
ただ,他にどれくらい解があるのかがよく分かりません

e^x-ex^(e-1)=0 を変形して e^(1-x)x^(e-1)=1 に出来ます。
面倒ではありますが, g(x)=e^(1-x)x^(e-1) (x>0) とおいてみて,
y=g(x) のグラフと直線 y=1 の交点の個数を調べてみたいと思います
幸いにも g(x) の方は導関数の形が割と分かりやすそうですよ~

s1_20130703193004.jpg
s2_20130703193004.jpg
s3_20130703193006.jpg

上記の考察において少し補足します~

x→∞ のとき x^k/e^x→0 であることは覚えておくのがいいと思います~
無断でこの事実を使っても割と許されます。
無断で使うのが嫌な人は証明して使うといいですね~
x>0 のとき任意の自然数 n に対して
e^x>1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!
が成り立つことが帰納法を使って示せるので
x>0 だと,特に e^x>x^(k+1)/(k+1)!>0 が成り立ちます。
0<x^k/e^x<(k+1)!/x と変形して x→∞ とすれば
はさみうちの原理から求めたい関係式が得られます~dokuro.gif


また, g(x)の極値の考察については, g(e-1) の値が何やら複雑ですよね。
g(e-1) が1より大きいのか小さいのかによって
y=g(x) のグラフと直線 y=1 の交点の数が変わってきます。
この交点の数を調べるために g(x) を考察したのですから,
g(e-1)について調べようと思うのは自然なことだと思いますが,
上手く計算しないと意外と手こずるかもしれませんeto_ushi.gif

しかし,発想をちょっと変えてみるとあっさりこの問題が片付くんです。
f’(1)=f’(e)=0 であることは分かっていました。
f’(x)=0 であることと g(x)=1 であることは同時なので
g(1)=g(e)=1 であることが分かります。
加えて, x=e-1 が唯一の極値(しかも極大値かつ最大値)であることも
分かっているので,グラフを見れば分かるように 1<g(e-1) 
であることが分かるのです~
g(e-1) の値の詳しい考察をせずに 1<g(e-1) が分かってしまうことが面白いですねeto_uma.gif
そしてこの y=g(x) のグラフの概形から, g(x)=1 の解が
2個だけであることが分かるのです~


f’(x)=e^x(1-g(x)) なので, g(x) の増減が分かった今なら
f(x) の増減も知ることができます。
あとは y=f(x) のグラフを描いて,直線 y=k との交点数を調べれば
この問題は終了ですねーーisona.gif





s4_20130703193007.jpg





よく見る問題として, e^π と π^e はどちらが大きいでしょう
てのがありますが, y=f(x) のグラフをみると f(π)>0
が成り立つことが分かるので e^π>π^e であることが見い出せますねkaeru_en1.gif










さて,元の方程式は e^x-x^e=k という厄介な形をしています。
今度は変数変換を試してみます。
e^x=t すなわち x=log t とおいてみたいと思います

方程式は t-(log t)^e=k に変化します。
x と t は1対1に対応するので, t-(log t)^e=k の 
t>1 を満たす解の個数を数える話に置き換えることができます~

f(t)=t-(log t)^e (t>1) とおいて, y=f(t) のグラフと
直線 y=k の交点の数を調べてみます~kuma_fly.gif

実際やってみると,最初の解法とそれほど大差がないことが窺えます。
やることは概ね最初の解法と一緒です。

s5_20130703193008.jpg
s6_20130703193008.jpg
s7_20130703193043.jpg






上2つの解法は極値を与える x の考察をするために,
一旦別の関数の増減を調べるという過程を入れています。
そうではなくてひたすら f(x)=e^x-x^e の高階導関数に着目してみる
という作戦で攻めてみることも可能ですkudan.gif

2<e<3 であることに注意すると,
x>0 のとき,4階導関数は常に正であることが分かります。
したがって,3階導関数は単調増加関数です
x→+0 のとき f’’’(x)→-∞,
x→∞ のとき f’’’(x)→+∞
であることから,下のグラフからも分かるように, 
f’’’(x)=0 の解は1個のみであることが分かります
それを x=a とおいておきます~

s8_20130703193045.jpg


y=f’’’(x) のグラフから2階導関数 y=f’’(x) が
0<x<a のとき単調減少,x=a で極小かつ最小になり,
x>a のとき単調増加になることが分かりますね。
x→+0 のとき f’’(x)→1(>0),
x→∞ のとき f’’(x)→+∞
であるので,最小値 f’’(a) が正か負かによって,
1階導関数 f’(x)が極値を持つかどうかが決まります。
ところが, a の値がよく分からないため, f’’(a) の符号がよく分かりませんkojika.gif

そこで,これまでの解法と同様に,直接 f’’(a) の値を考察せずに
外堀を埋めることで f’’(a) の符号を判定します

試しに x=1 を代入してみると, f’’(1)<0 になることを見い出せます。
このことから f’’(x)<0 となる x が存在することが確かめられました。
最小値 f’’(a) は f’’(1) 以下の値なので確実に負です


s9_20130703193046.jpg


y=f’’(x) のグラフの概形から, f’’(x)=0 の解は2個存在することが
分かります。それらを x=b,c (ただし b<c ) とおきます~
そして, f’(x) は x=b で極大, x=c で極小かつ最小になりますね。

x→+0 のとき f’(x)→1(>0),
x→∞ のとき f’’(x)→+∞
であることが分かるので, f’(x) が極値を持つかどうかは
f’(c) の符号に委ねられます。

例によって f’(c) の符号はすぐにはよく分からないので
ここでも外堀埋め作戦を使ってみますkitune.gif

f’(1)= f’(e)=0 なので,最小値 f’(c) は0以下になります。
ただし,最小値を与える x は1個のみなので, f’(c)≠0 ですね。
つまり f’(c)<0 であることがいえます。

これで y=f’(x) のグラフが描けるようになるので,
f(x)の増減も知り得ることが出来るようになりますm_0060.gif
あとは他の解法と同様ですね~

s10_20130703193047.jpg
s11_20130703193048.jpg
s12_20130703193049.jpg










極値などの符号を調べるのに,外堀を埋めることで判定するという
面白い作戦が有効になる楽しい問題でした~m_0207.gif













    

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