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2013年北海道大学前期入試 理系数学 第1問

2013.09.30 14:24|大学入試問題
どもども。

今回は今年の北大入試の理系数学第1問ですよ~




三角関数のグラフと面積計算に関する問題です~

y=a cos x のグラフと y=b sin x のグラフが
0≦x≦π/2 の範囲で与えられていますよ~heart06(1).gif


i1_201309301346098d3.jpg

2つのグラフは1点で交わっていて,その交点をPとおいています。
このPの座標はよく分かんない値なので,
とりあえずx座標を t とおいておきましょー
という流れになっています。

t を具体的に a や b を使って表示しようと思ったら
高校範囲を超えて逆三角関数なんかを用いなければいけません。
そこで t の具体的な値ではなく,
代わりに cos t と sin t の値を使っていきましょう~
ということで(1)ではそれらを求めます。

求め方は色々あります。
例えば, cos t=(b/a)sin t を cos^2 t+sin^2 t=1 に代入という作戦がありますねbutterfly07.gif
分母に文字を含んだ式が入ることがありますが,今回は分母が0になる心配はありません。

i2_201309301346100de.jpg

tan t=a/b を基点にして cos t と sin t を求める作戦もありますね

i3_20130930134610e60.jpg

はじめから a cos t=b sin t の両辺を2乗してしまう作戦もあります。

i4_20130930134611fc9.jpg
i5_2013093013461289f.jpg


三角関数の合成から攻める手もありますkirin.gif


i14_20130930134710bfc_201402101408047d2.jpg




さて,(2)は下図の青斜線部分の面積 S を求める設問です。
これは簡単な積分計算で速攻で処理できるはずですwaraioni.gif


i6_201309301346122f4.jpg


同様に下図の赤斜線部分の面積 T も容易に計算が可能です。
このとき, T=2S となるための条件は?tankoro.gif
と問われているのが最後の(3)です。
S,T が簡単に計算できる以上,条件式を立てるのは困難ではなさそうです。

i7_20130930134647059.jpg
i8_20130930134648dd7.jpg

これで条件式が得られたので,解答も終了~~
と言いたいところですが,この条件式はもうちょっとスッキリした形に整理することが可能です。
簡単にできるものは簡単にする,というのが自然な取り扱いになるでしょうs2_sum_sunflower.gif

ただし,今出てきたような無理式を含んだ条件式をいじくる時には
十分注意深くならなくてはいけません。
特に両辺を2乗したりするときなんかは特にです。
2b-a=√(a^2+b^2) の右辺は正の値ですので,
左辺の 2b-a も正でなければいけません。
従って,以下の計算では常に「2b-a>0」という条件が付随してきます
式を整理した結果,もしも条件「2b-a>0」に反するものが出現した場合,
不適という処理をされてしまいます。
幸いにも今回はそのような事態には陥りません。

i9_20130930134648f35.jpg


S と T を直接計算して立式しましたが,
他にも手段があります。

例えば,下図の黒斜線部の面積 U を利用する作戦がありますkorobo.gif


i10_20130930134649e18.jpg
  i11_2013093013464921c.jpg
i12_201309301346503aa.jpg
i13_20130930134709a64.jpg



また, a cos x-b sin x を x=0 から x=π/2 まで
積分したものがちょうど S-T に等しい
ことに着目することも出来ますniwatori.gif


i15_20130930134710aa2.jpg





決して手詰まりになるようなタイプの問題ではなかったので,
なんとか最初の大問は無傷で倒したいところですねkiraneko.gif










       
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

2次関数の決定の問題

2013.09.25 01:56|数学
どもども。


今回は高校数学の定番問題まとめシリーズとして
2次関数の決定の問題をテーマにしてみます~27b503c4e00011e2ad9722000a9e297e7_7.gif


これは要するに,与えられた条件を満たす2次関数を求める問題のことです

様々な条件の与えられ方があって,
それに応じて答えの2次関数を適当な一般形で表示して,
方程式を解くなどして正解のものを決定するというのが定番の流れになります。

「適当な一般形」といっても,いくつかの形があり,
どの形を選択して解いていくかによって手間数が変わってきたりします。
そういうわけで使える作戦の数は多いに越したことはありません。

そこで,定番パターンについてまとめていきましょう~
というのが今回のテーマですw04.gif


それぞれ例題を解きながら考えていきましょう~




 パターン1:頂点通る1点が与えられている

平方完成した形を基点に考えていくとうまくいく典型例です~suika.gif
未知数が1個で済みます。

h1_20130925013442bdc.jpg


 パターン2:通る2点が与えられている

パターン1と同様に,平方完成された形でおいてやると良いです~
未知数は2個になります。

h2_20130925013448512.jpg

h3_201309250134496f1.jpg



 パターン3:最大値または最小値通る2点が与えられている

これも平方完成した形でおいてやると良いです~
以下の例のように,因数分解を利用すると計算が早く済むことが多々ありますstar06.gif


h4_201309250134491aa.jpg

h5_201309250134503ac.jpg



 パターン4:通る2点が与えられていて,x軸に接する

最大値または最小値が0だという状況なので,
これはパターン3の特別な場合ということが出来ます~
よって,パターン3の手法が使えますsakura.gif


h6_20130925013450d43.jpg
h7_20130925013521d6d.jpg




 パターン5:通る3点が与えられている


複数の対処法があります~curry.gif
定番手法としては, y=ax^2+bx+c とおいて3元連立方程式を解くというものがあります。
やや面倒くさいというのが欠点ですね。

その他にいわゆるラグランジュ補間という作戦なんかが実はあります~

h8_20130925013522888.jpg
h9_20130925013522ab8.jpg

h10_20130925013523949.jpg


y=A(x-α)(x-β)+B(x-β)(x-γ)+C(x-γ)(x-α)
とおく手法は,最初の解法と同様で未知数が A,B,C の3個ありますが,
通る3点のx座標α,β,γを代入すると簡単に未知数の値が求まるお得な方法ですgp11.gif
ただし,未知数が分かった後で式を整理するのがやや面倒だったりはします。

h11_20130925013523786.jpg



今の手法で方程式を解く作業を省いていきなり求める2次関数を与えられるように
改良したのがいわゆるラグランジュ補間の方法です

h12_20130925013524426.jpg



また,与えられた座標が特殊な場合は,更に別の簡単な方法で
答えが求められることがあります~
今の例題では交点のy座標が-6になる点が2つ与えられています。
ここに着目するといくつかの方法が使えます。

例えばグラフの対称性を利用すると未知数2個の方程式を解くだけで求められたりしますinsect_kabuto_m.gif


h13_20130925013557651.jpg

h14_201309250135580ff.jpg


 
更には,次にやるパターン6の発展形として未知数1個の方程式に帰着させることも可能です~kaeru_yodare1.gif


h15_20130925013558d7f.jpg



 パターン6:グラフがx軸と交わる点通る1点が与えられている

x軸との交点2個と通る1点が与えられると,
これはグラフが通る点3個が与えられた状況でもあるのでパターン5の手法が使えます。

しかし,それとは別に未知数1個の方程式を解くだけで答えが出せるようなおき方があります

h16_20130925013559a90.jpg




 パターン7:元の2次関数とそれをどれくらい平行移動したかが与えられている

平行移動の条件を絡めてくる場合もしばしばありますね~
2次関数に限らず y=f(x) のグラフを平行移動したグラフの方程式は
出せるようにしておきましょう~

h17_20130925013600d29.jpg

h18_2013092501360005c.jpg




 パターン8:元の2次関数とそれを平行移動したという条件通る2点が与えられている

y-q=f(x-p) の形を利用して未知数2個の方程式に帰着させます~

h19_20130925013627704.jpg



 パターン9:元の2次関数をx軸やy軸や原点などに関して対称移動させる

平行移動だけでなく対称移動に関してもしっかり理解しておきましょう~kame.gif


h20_2013092501363049e.jpg



 パターン10:頂点x軸から切り取る線分の長さが与えられている

x軸から切り取る線分の長さが与えられたら,
パターン6のような形でおいてやるのが良いです~
頂点が分かってる場合はグラフの対称性に着目すればなお良しです

h21_2013092501363116e.jpg




 パターン11:通る2点x軸から切り取る線分の長さが与えられている

パターン10と同様ですが,頂点が分かっていないと若干面倒です~m_0052.gif


h22_20130925013631d65.jpg
h23_20130925013632bdd.jpg



 パターン12:定数を含んだ形で与えられた2次関数特定の変域における最大値や最小値が与えられている


これは実質,場合分けをしながら最大・最小を論じるタイプの問題です。

h24_20130925013633918.jpg
h25_20130925013643ebe.jpg









とりあえず代表的な出題パターンについてまとめてみましたが,
これら以外の亜種なんかもありますので
くれぐれも油断せずに,状況に応じて上手なアプローチ法を見いだせるように頑張りましょう~~m_0231.gif








   

2013年名古屋大学前期入試 理系数学 第4問

2013.09.23 13:24|大学入試問題
どもども。

お久しぶりです。
引っ越しとかあって色々忙しかったのでしばらく停滞しておりました~

今回は今年の名大入試理系数学第4問です~





円盤をx軸に沿って転がすシチュエーションの問題です~

よくある問題ではありますが,今回特殊なのは
円盤が2個付いていて,考察したいのは外側の円盤上の点の軌跡だということです~

内側の円盤の点の軌跡だったら
おなじみのサイクロイドってことで済みますが,
外側の円の軌跡はちょっとだけ形が違っていて
トロコイドと呼ばれる曲線になります。

今回は初期位置が(0,-1)である点Aの軌跡ということですが,
大体こんな図になっていますeto_ushi.gif


g16_201309231109326b4.jpg

t の範囲が 0≦t≦2π に制限されていますが,
その制限を取り払うとこんな形になっていますeto_uma.gif


g17_20130923110933bc2.jpg

自己交差が見られますね~
これが通常のサイクロイドと違っているところです~

一見すると外側の円盤も,直線 y=-1 に沿って転がっているように見えるので
点Aの軌跡もサイクロイドになりそうなものですが,そうではないんですね

同心円が転がるシチューションから,全ての円の円周の長さは等しいというパラドックスを
よく引き出して話題にされたりします。興味があったら調べてみるといいと思いますよ~

もし,外側の円盤が内側の円盤と同じように転がっているのなら,
一周するまでに長さ4πだけ転がらなければいけませんが,実際は2πだけ
転がった時点で一周しています。問題文には「すべることなく転がる」という
キーフレーズが必ず入っていますが,外側の円盤はすべるようにして転がっています。






では具体的に問題を見ていきましょう~face_heart.gif

(1)は点Aの媒介変数表示を与える設問ですね!
内側の円盤の初期位置が原点である点をBとして,まずBの軌跡を考えてみましょう。
これはサイクロイドになるので,その媒介変数表示を得る方法は
見たことがあるのではないでしょうか。

H(t,0) とおくと,転がった距離 OH(=t) は内側の円の弧BHの長さと
一致しています。すべることなく転がるとはそういう意味です。
この点に着目して点Bの媒介変数表示を得ることが出来ますheartss_pink.gif



g1_201309231229578fb.jpg

g2_20130923122958a6a.jpg


(→PA)=2(→PB) であることに着目すると
点Aの媒介変数表示もすぐに出てきます~


g3_20130923110657c6c.jpg



続いては, x(t),y(t) の極値を調べていくステップです。
t に関する微分でそれぞれの増減を調べます。
まずは x(t) に関してやってみましょうhiyo_eye.gif


g4_20130923110658c46.jpg

t=0 からスタートして,はじめは x(t) は減少します。
これは曲線が左側に向かっていくということです。
その後 t=π/3 を境に増加し始め, t=5π/3 から再び減少します。
つまり t=π/3 を境に右向きに向かって伸びていった曲線が
t=5π/3 から再び左向きに戻るということです。

次は y(t) の方も同様に考察してみましょう。

g5_20130923110658620.jpg
g6_201309231106590ca.jpg

曲線のy座標の方は t=π までは増加,そこから先は減少となるようです。


dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) なので, dy/dx の符号なんかもこれで分かったりしますよ~
まぁ,ともかく,これまで得られた情報を総合してグラフを描くと
以下のようになります~kitune.gif


g7_20130923110726267.jpg


冒頭で見た図と同じような感じになりましたね!
あとは答えにあたる座標を挙げれば(2)はおしまいです~


g8_20130923110727375.jpg


最後は積分計算です~
t を使った置換積分に帰着させます。
(cos t)^2 は2倍角の公式で処理するのがセオリーですねkawauso.gif


   g9_20130923110727bf0.jpg

g10_20130923110728ea7.jpg





まぁ,こんな感じでしょうか。
サイクロイド関連は媒介変数表示を利用して考えるのが定番ですが,
逆三角関数を知ってると, t を消去して考えることも可能だったりします

arccos が出てきますが,これは一般に多価関数なので,
一価関数になるように状況に応じて値域を制限してやらねばいけません。

今回では 0≦t≦π と π≦t≦2π に分けて考えます。
θ=arccos{(1-y)/2} とおくと,前者では sinθ≧0,
後者では sinθ≦0 になることがまず1つ注意です。
また,それが理由で微分したときの符号も前者と後者で変わります。

まずは前者の方の曲線を考えてみます。
ちょうど曲線の左半分に相当します。
x=f(y) の形で表示することで x は y の関数になっていますm_0027.gif


g11_20130923110728485.jpg
g12_20130923110729ab5.jpg



右半分の方も同様にやればOKです~


g13_20130923110930af8.jpg
g14_20130923110931b6f.jpg


これらの情報から答えの座標を拾っていけば完了です~m_0140.gif


g15_201309231109329c9.jpg

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