プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

09 | 2013/10 | 11
- - 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31 - -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

2013年北海道大学前期入試 理系数学 第5問

2013.10.21 00:00|大学入試問題
どもども。

今回は今年の前期北大入試理系数学第5問です~~



積分方程式の問題です~~
微積分が苦手な人だと,解法パターンがもう全く分からなくて
手も足も出ない感じだったりすることも多いかもしれないですね~~

この手の問題において,重要な役割を果たすのが次の公式です~


o1_20131020103931044.jpg


パッと見の第一印象が,なんだかよく分からないもの,
何を表してるんだかよく分からない宇宙語みたいなもの,
のような公式ではありますが,落ち着いて何を表しているのかを
考察してみると,実はそんなに難しい話ではなく,
積分したものを微分したら元に戻るという内容なのですwink02.gif

微分と積分は逆演算,のようなイメージを持ってる人が多いと思いますが,
そのイメージを1つの式で表しているような式ですね。

今回の問題でもこの公式が活躍します。
ただし,使用する上で注意しなければいけない点も生じますので
油断はしないようにして下さい~eto_u.gif


上の公式について,上限が x ではなくてより一般の a(x) の形になっているときは
左辺の微分が,いわゆる合成関数の微分になるので,
a´(x) を掛けなければいけなくなりますよ~eto_tora.gif
(元の左辺は (d/dx) g(x) の形をしていますが, (d/dx) g(a(x)) になっているということです~)

また上の公式において,左辺の定積分の部分の被積分関数が, 
x を含んでいる場合も注意が要ります。
つまり左辺の被積分関数が f(t) ではなくて 2 変数関数 f(x,t) の形を
している場合です。この場合右辺が f(x,x) になるかといえば
そんなことはありません。
上手に式変形をして x を積分の外に出して被積分関数が x を含まない形に
直してから公式を適用
しなければいけません~~kaeru_en4.gif
積分に関してはあくまで t が変数で x は定数扱いになることに注意です。
具体的にどうやるかは,この後の問題を解く流れで確認してみて下さい。


さーーて,では実際に問題にトライしてみまーーす。
まず与えられた積分方程式を見てみましょう~
なんだか難しそうですね~~
上の公式を使う上で注意したい点が最初に与えられた式から既に見て取れます。
第一に,定積分の上限が x ではなくて 2x になっていること。
第二に,被積分関数が x を含んでしまっていること。

(1)は F(x/2) の式変形をする問題です
F(x) ではなくて F(x/2) に着目させた理由の1つは
きっと定積分の上限を x に変えて扱いやすくしてしまおうということかもしれません。
また,被積分関数 t f(2x-t) を (x-s)f(s) に変えてやりますが
これは x を 積分の外に出すのを容易にすることが目的です。

式変形の意図はそんなとこで,では実際にどのように式変形するかといえば
これは置換積分で一発です~~ladybug.gif


o2_2013102010393274b.jpg


(2)は F´´(x) を f で表すという問題です~
F(x) を微分していかないといけないわけですね。
いよいよ冒頭の公式の出番です。ただし,既に述べた注意点があるので気をつけて下さい
せっかく(1)で F(x/2) について考えたので,
(1)の等式を起点に考えていくことにしましょう。
これで第一の注意点については問題ありません。
ただ,代わりに F(x/2) を微分すると (1/2)F´(x/2) になるのでそれは注意ですよ。

被積分関数が x を含んでいるので,下の①式のように
x を積分の外に出してしまいます。
こうすることで第 1 項と第 2 項でそれぞれ公式が適用できます。
第 1 項の積分は「積の微分」の計算ですよ~m_0003.gif


o3_20131020103933c86.jpg
  o4_20131020103933b26.jpg


この(2)は,部分積分を利用した解法もあります。
(x-s)f(s) について f(s) に掛けられているのが 1 次式
なので, 部分積分で x-s の部分を無くすことが出来ますね

o5_20131020103933412.jpg




さて,最後の(3)です。
F(x) が 3 次式である,f(1)=F(1)=1 である,
この条件のもとで f(x) と F(x) を求める設問ですよ~~

f(x) ではなくて F(x) のほうが 3 次式なので見間違えないようにして下さい~
自分は最初見間違えてしまったので,計算が大変になりました~
「ん~~条件が足りなくて答えが出ないぞ~~」てとこで気づきました

(2)の等式を見ると, F(x) を 2 回微分すると f(x) と同じ次数になる
ことが分かるので, f(x) は 1 次式ですnezumi.gif

F(x)=ax^3+bx^2+cx+d とおいて係数を求めていくか,
あるいは f(x)=px+q とおいて係数を求めるか,
どちらかで攻めるといいと思います。

a,b,c,d を求めるには 4 本の条件式が必要です。
f(1)=F(1)=1 の 2 本の他に得られる条件式は
F(0)=F´(0)=0 です。
0 から 0 までの定積分は 0 ですよね


o6_2013102010393482f.jpg



f(x)=px+q とおいてやる場合はこんな感じで~

o7_201310201039558ad.jpg

f(x) が1次式という簡単な形なので,(2)の結果を使わず
直接 F(x) を計算し直してみてもさほど苦労はしません~ny_hagoita.gif


o8_20131020103955521.jpg









最後に,今回の積分方程式ですが,
右辺の積分は畳み込み積と言われるような形をしています
畳み込みとは,以下で定義されるもので,様々な応用があります。

o9_20131020103956d8c.jpg

上式で, g(x)=x であるバージョンが今回のものですね。
右辺は (f*g)(2x) の形をしています。
 

スポンサーサイト

テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

2013年北海道大学前期入試 理系数学 第4問

2013.10.19 02:06|大学入試問題
どもども。

今回は今年の前期北大入試の理系数学第4問です~~




確率の問題です~~
サイコロを2個投げた時の出目の積を考えるという定番の設定です~onpu07.gif

座標平面上の動点 P の行き先が
出目の積 X を 4 で割った時の余りによって決められるという問題ですよ~

X を 4 で割った時の余りが 0 のときは x 方向に -1,
X を 4 で割った時の余りが 1 のときは y 方向に -1,
X を 4 で割った時の余りが 2 のときは x 方向に +1,
X を 4 で割った時の余りが 3 のときは y 方向に +1


だけ P が移動するようです~
ちなみに P の初期位置は原点です~

「サイコロ2個を投げて出目の積に応じて動点 P を移動させる」というのが
1つの操作だと思って,この操作を何度か繰り返していきます。



(1)はこの操作を1回だけ行います。
このとき動点 P が (-1,0) に移動する確率を求める設問ですkoinoburi10.gif

はじめ P は原点にあるので, x 方向に -1 だけ移動しています。
これはつまり出目の積 X が 4 の倍数であるということですね。

出目の積として現れる 4 の倍数は最小のもので 4,最大のものは 36 です。
しかし, 4 以上 36 以下の全ての 4 の倍数が出現するわけではありません。
例えば 28 は出現しませんね。
また,出現する 4 の倍数についても,出現する割合はバラバラです。
4 は2つの出目の組として (1,4),(2,2),(4,1) の3パターンがありますが
36 は (6,6) の1パターンです。
これはこのくらい出てくる,あれは出てこない,とかいちいち考えながら進めるのは
面倒ですね。そこで,あらかじめ表にして整理してしまいましょう~
さいころを2個投げる問題ではよくやる手ですね。

n1_20131018233816f6c.jpg


(1)については上の表の中で余りが 0 のものの数を数えればいいわけですね!
ズバリ 15 個です


n2_2013101823381759e.jpg



(2)では動点 P の移動操作を 3 回行います。
そして点 P の座標が (2,1) になる確率を求める問題です~

x 軸方向に +1, -1 の移動を →, ← で表すことにし,
y 軸方向に +1, -1 の移動を ↑, ↓ で表すことにしましょう~

今回は 「↑→→」「→↑→」「→→↑」 の3パターンが有りますねtentou02.gif
この3パターンはどれも確率は同じです。
出目の積を 4 で割ったときの余りが 2 になることが 2回,
3 になることが 1回です~

それぞれの確率は(1)と同様に表を使って場合の数を求めて計算できます~


n3_2013101823381712a.jpg



(3) では動点 P の移動が 4 回です~~
そして P の座標が (1,1) になる確率を求める設問ですよ~

「→ 2回」+「← 1回」+「↑ 1回」 の組み合わせか
「→ 1回」+「↑ 2回」+「↓ 1回」 の組み合わせかのどちらかであれば良いです~

この2パターンに限られることは,以下に述べるように
連立方程式 -p+r=1, -q+s=1, p+q+r+s=4
の非負整数解 (p,q,r,s) が (0,1,1,2) と (1,0,2,1)
の 2 個であることから従います~nezumi02.gif


n4_20131018233818cde.jpg

  n5_201310182338184bb.jpg

それぞれの場合の確率を求めて足せば答えが得られます~
以下の式に登場している 4!/2! は ←,→,→,↑ の順列の数です。

n6_2013101823381981f.jpg








やや面倒臭くはなりますが,(2)の結果を利用できる別解を考えてみましょう~

4 回の移動後に (1,1) に到達するということは,
3 回目の移動が終わった時点で (1,0),(0,1),(2,1),(1,2)
のいずれかに居ないといけません。
「3回目で (1,0) かつ 4回目で (1,1)」の確率,
「3回目で (0,1) かつ 4回目で (1,1)」の確率,
「3回目で (2,1) かつ 4回目で (1,1)」の確率,
「3回目で (1,2) かつ 4回目で (1,1)」の確率,

これらの和を求めるという方針ですkujira.gif

3回目で (2,1) に到達する確率については(2)で既に求めています。


n7_20131018233857cd8.jpg



(ア)について考えてみます~
3回目の居場所を4ヶ所に絞ったのと同じように考えてみることにします。
3 回目の移動後に (1,0) に居るためには
2 回目の移動後に (0,0),(1,1),(2,0),(1,-1)
のいずれかに居なければなりません。それぞれの確率を求めてそれを利用してみます

n8_20131018233857a4f.jpg
n9_20131018233858351.jpg


(イ)の場合も同様にやってみます~mushi.gif


n10_20131018233859b04.jpg



(ウ)については(2)で求めた通り確率は 1/27 です~

一応,(ア)(イ)と同様のやり方でもやってみましょう~
(2)の別解として捉えることも出来ますね。

n11_2013101823385950c.jpg


あとは(エ)の確率を求めて,
最後に答えの確率を計算すればおしまいです~~


n12_2013101823390054e.jpg


分母の数字が結構大きくなるので計算が大変ですね。
←↑→↓どの確率も値がバラバラなのも計算が面倒になってる一因です。

効率のよい解法を選ばないと労力が倍以上になったりするぞ!という点が
この問題でも言えるようです~inu.gif














     

テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

2013年北海道大学前期入試 理系数学 第3問その2

2013.10.14 11:42|大学入試問題
どもども。

今回は前回の続きです~



前回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-134.html


複素数の変換に関する領域の問題でした~

オーソドックスな解法については前回やってみました通りで御座います~

今回は久々にちょっと面倒なやり方を敢えてやってみる~
ていう流れで行きましょう~dog_smile.gif





まずは(2)についてです~
設問としては, 0≦s≦1,0≦t≦1 の条件から変換後の 
z=x+yi における (x,y) の存在領域を求めるものでした。

w=s+ti の存在範囲が,複素数平面でいうところの
原点を通る1つの正方形領域 D なのですが,
これが変換後にどのような領域に移るかを求める問題とも言えます

そのまんまで考えるとなかなか大変なので,逆変換を考え,
どのような点なら逆変換後の点が元の正方形に入っているかを
考えたというのが前回のやり方です~

今回は,素直に正方形領域 D がどのような領域に移るかを考えてみます

与えられた変換は z=f(w)=1-2/(w+1) と変形できます。
これを幾つかのもっとシンプルな変換の合成とみなしましょう。
f_1(w)=w+1, f_2(w)=1/w, f_3(w)=-2w
とおいてみますよ~

このとき,与えられた変換 f(w) は,
f=f_1○f_3○f_2○f_1 (○は写像の合成の記号と思ってけれ><)
と表すことが出来ますdolphin.gif

m1_20131014020520364.jpg



これらのシンプルな写像による領域の移り先を次々考えていきたいと思います。
D_1=f_1(D), D_2=f_2(D_1), D_3=f_3(D_2), D_4=f_1(D_3)
とおきましょう~
複素数平面上の領域 D_4 を対応する xy 平面上の領域に置き換えたものが
(2)の答えになりますよ~

D_1 は元の正方形領域 D を横に 1 だけずらしてやるだけで求まりますねeto_ne.gif


m2_20131014020521e56.jpg


次が一番厄介なところです。
D_1 を f_2(w)=1/w で移したらどうなるかを考えていきます。
この変換自体は極形式を使って考えていったほうが見通しがよさそうなので,
その作戦で行きましょう~
ただ, D_1 は正方形なので,極形式ではちょっと扱いづらいです。
w∈D_1 であるような w=r(cosθ+i sinθ) に関しては,
1≦r≦√5 が成り立つことにまず注意です
r=1 となるのは w=1 のときのみで,
r=√5 となるのは w=2+i のときのみです。

m3_20131014020521581.jpg


 
r の値を固定してみたとき, θ の動ける範囲は
(ア) 1≦r≦√2  (イ) √2≦r≦2  (ウ) 2≦r≦√5
の3パターンでそれぞれ様相が異なります。
そこで,この3パターンを別個に扱ってみますよ~eto_ushi.gif



まずは(ア)の場合について考えてみましょう~

m7a.jpg


このときは, θ の動ける範囲は 0≦θ≦Arccos(1/r) です。
角度の上限は,斜辺 r ,θ を挟む斜辺じゃない方の辺が 1 であるような
直角三角形を考えることで得られますeto_uma.gif

θ=Arccos(1/r) であるとき, cosθ=1/r,sinθ=√(1-1/r^2) なので,
f_2(w)=x+yi=(1/r^2)+i{(-1/r)√(1-1/r^2)}
です。 r を消去して, x と y の間の関係式を求めると
(x-1/2)^2+y^2=1/4 が得られます。

このことから, r を固定して,θだけが動いたときの,すなわち
D_1∩{|w|=r} の f_2 による像が円弧になることが分かります

m4_20131014020522f89.jpg


この状態で r が 1 から √2 まで動いたら,
f_2 による像の全体は下図の斜線部のような領域になるはずです~hiyo_cry1.gif


m5_20131014020522e3d.jpg



これと同様の流れで(イ)(ウ)のパターンについても考えてみますね。
次は(イ)ですよー。
今度は θ の動ける範囲が 0≦θ≦Arcsin(1/r) になってしまいます

m6_20131014020523c8d.jpg


θ=Arcsin(1/r) のとき (x,y) は円 x^2+(y+1/2)^2=1/4 上にあり,
D_1∩{|w|=r} の f_2 による像である円弧と
更にそれを r を √2 から 2 まで動かした時の像の全体は以下のようになっています。

m7b.jpg


最後は(ウ)のパターンです~
ここでは Arccos(2/r)≦θ≦Arcsin(1/r) が θ の範囲です~
D_1∩{|w|=r} の f_2 による像である円弧と
更にそれを r を 2 から √5 まで動かした時の像の全体は以下のようになっていますhunayurei.gif



m8_20131014030624972.jpg



(ア)(イ)(ウ)から得られた3つの領域を合併したものが
D_2 になっています~hiyos.gif


m9_201310140205524e9.jpg



これを f_3(w)=-2w で移すと得られる D_3 は
D_2 を原点に関して対称移動して,原点に関して2倍に拡大したものなので,
以下のようになっています。

m10_201310140205525fc.jpg


これを横に 1 だけずらしてやれば, D_4 が得られますね

m11_201310140205535fa.jpg




これは前回得られた結果と一致しています~hiyob_hat.gif
ただ,労力の差は一目瞭然です~~~










次は(3)を考えてみましょう~~
(2)で求めた領域と共有点を持つような直線 y=5x+k を考える
というのが通常の発想で前回やりました。

幾何的なアプローチを抜きに考えてみたらどれくらい大変かを
ここでは検証してみましょう~kaeru_en4.gif

与えられた条件は
x^2+y^2≦1 …①, (x-1/2)^2+y^2≧1/4 …②
y≧0 …③, (x-1)^2+(y-1)^2≧1 …④

です。

これらを同時に満たす (x,y) に対して k=-5x+y の最小値を
求めなければいけません。
とりあえず①を見る限り,少なくとも x は -1≦x≦1 の範囲に
制限されることは分かりますね。
x の値を x=m で固定してみます。
このときの y の取り得る値の範囲を考えていきたいと思います。
つまり, ①~④を満たす (m,y) の全体を考えるってことですね。
その範囲での k の最小値を仮に Y(m) とおくことにすれば,
m が -1 から 1 まで動くときの Y(m) の最小値を考えればよいわけです~m_0054.gif


途中,無理式が出てきて色々ややこしいので,
一旦, x=m のときの①~③を同時に満たす y の範囲から考えてみましょう~

m12_2013101402055464e.jpg

m15_20131014020623bc0.jpg


領域で考えれば,円の内側とか外側とか,
非情に明瞭な形で (x,y) の範囲がわかるのに式だけで処理しようとすると
①~③の共通部分を探るだけでも手間がかかりますね。
特に無理式は,定義域に制限がある上に,大小関係を探るのが面倒という
扱いづらさを持っています

「領域で考えちゃえば楽なのに…
これは領域の問題に限ったことではありません。
今回は領域の問題だったので,領域を使うという発想がスタンダードでしたが
はじめから「無理式を含んだ不等式を解く」という問題が与えられていたときは
ついつい式だけで処理しようという発想が先行してしまいますが,
図形的な処理に置き換えちゃうと実は面倒な計算が不要である可能性が
多大にあるということは覚えておいてもいいかもしれません


さて, x=m のときの①~③を同時に満たす y の範囲が分かりました。
既に3パターンに場合分けされています。

これと更に④との共通部分を求めていきましょう~~

m13_201310140206228e9.jpg

④は 0<m<2 のときは 
y≦1-√(-m^2+2m),1+√(-m^2+2m)≦y
という範囲になります。また厄介な無理式が出てくるわけです。
再び無理式同士の大小関係をチマチマと検証していかなければいけませんm_0052.gif




m14_20131014020622253.jpg

m16_201310140206238db.jpg

m17_2013101402062457c.jpg



幾つかの面倒な計算を経て,ようやく①~④を同時に満たす y の範囲が明らかになりました。

あとは -1≦m≦0 と 0<m≦1/5 の場合に分けて
k=-5m+y の最小値を考えていきましょう~m_0056.gif

特に後者の方ですが,ここからまた面倒な計算があります~

m18_20131014020625119.jpg

ちなみに 1/2-5/√104≒0.0097097 で,
すごく 0 に近い値でした

m19_201310140206331ad.jpg



ようやく最終的な答えに辿り着きました~~
苦労しましたね~

いかに領域を用いたアプローチが優秀かが分かったかと思います。

それでは今回はここまでです~~m_0216.gif









            

テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。