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2013年センター試験数学ⅡB 第5問

2013.11.24 00:00|大学入試問題
どもども。


今回は今年のセンター試験数学ⅡBの第5問をやります~

問題はこの辺などから~ わんちゃんmini
http://school.js88.com/sd_article/dai/dai_center_data/pdf/2013sugaku2B_q.pdf

統計の問題です~

統計の単元は,数列・ベクトルが苦手な人のための駆け込み寺のような存在として知られていますねheri01.gif
覚えなければならない事項が数列やベクトルと比べると少なく,
その気になれば2,3日以内で仕上げてしまうことすら出来ちゃうかもしれない単元です~

試験問題は,基本的には地味な作業です。
データを読み取って平均値や分散や相関係数なんかを計算できるようであれば,十分高得点が狙えます。
しかし,簡単な足し算の作業も,1箇所でも間違うと全てが水の泡になるリスクがあります
平均値を誤ると,それを利用して求める分散以下も全部アウトになるので怖いです。
また,やることは単純でも,地味に面倒くさいんですよねー。
なんだかんだで時間がかかってしまうというのが特徴です ikari01.gif

でもまぁ,今年の問題は比較的取り組みやすい方だったのではないかと思います~ carrot01.gif

10人の生徒が国語,英語,数学の試験を行ったときの点数に関する考察がテーマです~
前半は国語と英語の2科目について考えていきます~
10人の得点は以下の表のようになっています~


u1_201311231542409cb.jpg


A,B,C,D と数字が分からない部分が4箇所ありますね。
まずはこれを埋めていこうってわけですね~

国語と英語の得点や平均点,分散に関して以下のように文字を置いておきます~

u2_201311231542401ce.jpg

国語が x なら英語は y を使えばいいじゃないかと思うところですが,
問題文の後半で,数学の点数の方に y を使っているので
ここでは英語は z を使っておくことにしますよ~

国語に関しては全員の得点が判明しているので,平均値と分散は素直に計算できます。
この2つの数値は大問全体を通してあちこちで使うので,絶対に間違ってはいけません

u3_20131123154241279.jpg

どちらも整数値で小数点以下が全て0だっていう辺りが憎らしいですね。
設問の空欄の空け方からして,
何だか計算ミスしてるんではないかという不安が付きまとって仕方ありません


ところで,分散を求めるときの便利な方法として, (2乗の平均値)-(平均値の2乗)
を計算するというものがありますね。
今回はそれを使ってしまうと逆に計算が大変になってしまいます kaeru0-02.gif
素直に定義に従って計算した方が楽チンですね。
足す項の数字が小さくなるし,いくつか0も登場しますしね。
(2乗の平均値)-(平均値の2乗) に慣れてしまうと常にこっちの形で計算してしまう癖が
付いてしまうかもしれないですね~

u4_201311231542420ff.jpg


あと,さりげなく国語の点数の中央値を聞いてますね。
10人の得点を小さい順に並べてみてちょうど真ん中に来る数値を答えればOKです~
10人いるので5人目と6人目の数値の平均が中央値になります

u15_20131123154349782.jpg



一方,英語の得点の方は生徒6の得点Cと生徒9の得点Dが分かりません。
代わりに平均点8.0点と分散1.00が分かっています。

CとDに関する連立方程式を平均と分散の関係式から作って解けば良さそうですね~ robo.gif


u5_20131123154242e8b.jpg
u6_20131123154243962.jpg

C+D=16 を使って第2式から CD=63 を得ることが出来ます。
このことから,CとDは t の2次方程式 t^2-16t+63=0 の2解として
求めることが出来ますよ~ risu.gif


u7_20131123154323baf.jpg

あるいは, D=16-C を用いて D を消去するという手でもいいですね~ rokuro.gif


u8_201311231543242ba.jpg




さて,これで国語と英語については必要な数値は全てわかりました。
これらを踏まえて,国語と英語に関する相関図を4つの中から選ぶのが次の設問です。

どうやって見付けるかについては,着眼の仕方は色々あるかとは思いますが
とりあえず0番と3番にだけ「国語7英語8」という点が含まれているところに着目してみましょう。
しかし,そんな得点を取った生徒は10人の中にどこにもいません~

というわけで0番と3番は予選落ちです~
1番か2番が正解なので,この2つの相違点を見つけてみましょう~
0番には「国語5英語10」という点があります。
そもそも英語で10点を取った生徒はいないので,0番も嘘ですね~
というわけで消去法で2番が正解です~~

この手の問題は消去法がなんだかんだで早いっすね rice_hungry.gif


次は相関係数を求めましょう~
国語と英語の得点の共分散を求めて,それを国語と英語の標準偏差で
それぞれ割ってやれば
良いです~
共分散は (国語の点数の偏差)×(英語の点数の偏差) の平均です。
つまり (x_k-7)(z_k-8) の平均です~
くれぐれも計算ミスをしないように気をつけましょう~ rabi_shy.gif


u9_201311231543250c9.jpg


共分散に関しては, (積(x_k)(z_k)の平均)-(x_kの平均)(z_kの平均)
という計算式で求めることも可能です。
ただし,今回はこっちで求めると数字がでかくなって厄介です。

u10_20131123154325f30.jpg










ここからは国語と数学の得点に関する考察をしていきます。

u11_2013112315432603e.jpg


数学の得点については個人の得点は特に明らかにはなっていませんが,
とりあえず平均点5.4点と分散1.44が分かっているようですね。
数学の平均点が国語,英語より低いのが残念ですなあーー
分散1.44という数字を見て平方数144の影がチラついてるのは分かると思います。
数学の標準偏差が1.2という根号を外した形で表現できる親切設計ですね。

コレとは別に国語と数学の得点の相関係数が与えられています。
これらの数値を使って,国語と数学の得点の和 w_k=x_k+y_k の分散を求めるのが目標のようです。


平均ならすぐに求められます。国語と数学の平均値の和になります~ onigiri_1.gif


u12_20131123154327fac.jpg




ここで, (国語の得点の偏差)×(数学の得点の偏差) の合計を T とおくようです。
言い換えると国語と数学の得点の共分散の10倍です。

相関係数が-0.125と分かっているので T の値も直ちに求められます korobo.gif


u13_201311231543489e5.jpg


あとは誘導に従って分散を計算します~


u14_201311231543499fc.jpg






これでひと通り解き終えましたね~
決して難解な要求はしていない問題ではありますが,
計算ミスがとても怖いですね heart2_glitter.gif





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2013年センター試験数学ⅡB 第4問

2013.11.23 01:12|大学入試問題
どもども。


今回は今年のセンター試験数学ⅡBの第4問をやっていきましょー


問題はこの辺とかから~kero.gif
http://school.js88.com/sd_article/dai/dai_center_data/pdf/2013sugaku2B_q.pdf

ベクトルの問題です~

センターのベクトルの問題といえば,最近は圧倒的に平面ベクトルより空間ベクトルの方が
出題率は高いのですが,今年は平面ベクトルが出ました

ちなみに2007年から2012年まで6年連続で空間ベクトルでした~
振り返ってみると,
1990年 平面   1991年 平面   1992年 平面   1993年 平面
1994年 平面   1995年 平面   1996年 平面
   1997年 空間
1998年 空間
   1999年 平面   2000年 空間   2001年 空間
2002年 平面   2003年 空間   2004年 空間   2005年 平面
2006年 平面
   2007年 空間   2008年 空間   2009年 空間
2010年 空間   2011年 空間   2012年 空間
   2013年 平面
   
となっていて,最近が空間ベクトルの傾向が強いとはいえ平面ベクトルも
結構出題されてきていることは見て取れますね。

今回は平行四辺形をテーマとした標準的な平面ベクトルの問題になってます~
ベクトルの問題は,ベクトルだけを使って解こうとせずに
必要に応じて三角比や基本的な平面図形の性質なども組み合わせて解いていくと
効率が良くなることなんかもありますよ~ korobo.gif

t1_201311222115402f5.jpg

平行四辺形OABCは OA=5, OC=4 を満たしています。
∠AOC=θ とおきますが,θの取り得る値の範囲は 0<θ<π です。
上の図のようにθは鋭角のときもあれば,直角や鈍角の場合もあり得るので注意しておきましょう~

Dは線分OAを 3:2 の比に内分する点なので OD=3,DA=2 です。
頂点Aを通り直線BDと垂直な直線と直線OCの交点をEとしています。
後々出てきますが,BDとAEの交点はFとおいておきます。
Eは必ずしも線分OC上にあるとは限らないので注意です~

(→OA)=(→a), (→OC)=(→c) とおいて, (→a), (→c) の2つを
使って考察を色々やっていきます~
(1)は, (→OE)=t(→c) とおいたときの係数 t を求めてみよう~
というお話です

誘導の流れとしては (→AE) と (→DB) を (→a), (→c) を用いて表して,
(→AE)・(→DB)=0 の式から t を求めようという感じです~
(→a)・(→c) の値が必要になるのであらかじめ求めておく必要があります。

問題文を見ると, t は cosθ の分数式になるんだろーなーってことが分かりますね。
正しく (→AE)・(→DB)=0 の式を t について解くことが出来るかどうかが試されます kasabake.gif

t2_20131122211540726.jpg



ちなみに,誘導を無視してベクトルを用いずに t を求めることももちろん出来ます~
例えば三角形の相似関係を用いると良いかと思います ladybug.gif

下図において, △AIE と相似な三角形がいくつかあります。
例えば △AIE∽△DJB であることに着目し,線分比の関係から方程式を立てて 
t を求めることが出来ます。
ただし,序盤で述べたように, θ は鋭角とは限らず,生じ得る図のパターンは
下図のようなものだけではありませんので,本来は生じる各パターンについてそれぞれ考察が必要です。


t3_20131122211541fea.jpg
t4_201311222115426c8.jpg


ほかにも,座標を設定して解くという方法もあります。
相似や合同などの関係性などを見付けるのが苦手な人には向いているかもしれない
とにかくすべて計算でゴリ押すという力技の解法です~ insect_kabuto_m.gif
この方法では図を場合分けして解く必要がないのでその点は嬉しいですね。

O,A,B,C,D の座標を決める → 直線BDの傾きを求める 
→ それと直交する直線AEの傾きを求める → 直線AEの方程式を求める
→ AE と OC の交点の座標を求める → 線分OEの長さが分かるので t が分かる


という流れです~
下の解答例では,最初に描いた図のイメージを意識したため,
ついつい平行四辺形OABCを第4象限に作ってしまいましたが,
第1象限に来るように設定したほうが分かりやすかったですね。

t5_20131122211543ce4.jpg

t6_20131122211543c45.jpg




元の設問に戻りましょう~
次は(2)です~

ここから先は E が線分 OC 上にある場合に限定していくようです~
これはすなわち, 0≦t≦1 が成り立つということと同じです。
(1)で求めた t の式を代入して, θ に関する条件に言い換えてみましょう~
というお話のようですよ hiyob_en.gif

r=cosθ とおきます。
t の分母の 4(r+2) が鬱陶しいので, 0≦t≦1 の各辺を 4(r+2) 倍して
分母を払ってしまいましょう
ただし, 4(r+2) が正か負かによっって不等号の向きが変わってしまうことに
注意しなければなりません~
幸いにも今回はいつでも 4(r+2)>0 なので不等号の向きは変わらないようです。
r の取り得る値の範囲が求められたら,それを三角不等式とみなして解くことで
θ の取り得る値の範囲が求められます。

t7_2013112221162646b.jpg


誘導に沿った解き方が上に挙げたものですが, r の範囲の求め方としては
次のようなものもあります。

まずは(1)で求めた t の式を今度は逆に r について解いて,
r を t の関数として表します。グラフを描くと,反比例のグラフを平行移動したものに
なるので,あとは 0≦t≦1 における r の取り得る値の範囲を求めるだけです robo.gif
ここで用いたような式変形の仕方は,微分せずに分数関数のグラフを描くときなどに重宝するので
身に付けておきましょう~

t8_20131122211627fa8.jpg


また,最初の解法のように分母の 4(r+2) を払うという作戦でなくても,
以下のような変形で r の範囲を得ることも可能です。
ポイントは 0<a<b<c ならば 1/c<1/b<1/a が成り立つことです~ rabi_smile.gif


t9_20131122211628465.jpg



それでは(3)に進みましょう~
r=cosθ=-1/8 の場合を考えるようです。
これは(2)で求めた範囲の中に含まれていますので E は線分OC上にあります。
また, cosθ<0 より θ は鈍角なので図を描くときは注意です

r の値が具体的に分かっているため, t の値も具体的に分かります。
ちなみに t=1/2 が出てくるので, E は線分OCの中点になります。

この(3)では最終的に △BEF の面積を求めることが目標です~
そのヒントとなる情報として,誘導に従って直線AE,BDの交点 F が線分AEを
どんな比に内分しているかを求めてみたいと思います~

ここの部分はまた様々な方法が使えるのではないかと思います。

ベクトルを活用したければ, F が線分AE上にある,かつ,線分BD上にある
ということに着目して (→OF) を2通りに表示して連立方程式を解くという
おなじみのやり方が良いでしょう~~
(→OF)=α(→OA)+β(→OE) の形の表示式から AF:FE=β:α が従います~ s2_sum_bbq.gif

t10_20131122211628b74.jpg
t11_201311222116293d0.jpg


ベクトルを使うと連立方程式を解く事になって面倒だというのなら,
相似を使ってみるのもなかなか良いです。
平行四辺形は2組の対辺がそれぞれ平行なので相似な三角形の組を作りやすいです。
AF:FE を適当な2つの三角形の相似比として求められないかを検討してみましょう aicon_bbs16.gif
下の解法例では元の図形から補助線がはみ出して △EFG∽△AFB という関係に着目しています~

t14_20131122211703a71.jpg


面積比に着目してみる方法も有効です~
ここのブログでは対角線分割と勝手に呼んでいる毎度おなじみの方法がここでも大活躍です bear.gif
AF:FE を求めるには △EDB:△ADB を求めればいいですね。そんなに大変ではないです。
ただどちらかというと DF:FB=△DAE:△BAE のほうが若干求めるのが簡単なので
そっちを求めて (→OF) の表示式を求めてそこから AF:FE の値を拾ってみます~

△ABE は △OAB と面積が等しくて平行四辺形OABCの面積の半分です。
△DAE は △OAC の半分(つまり △OAE )の更に 2/5 です~

t12_20131122211630271.jpg


t13_20131122211703970.jpg


あるいは,余弦定理でも正弦定理でも相似でもなんでもいいので,とにかく色々駆使して
線分AF,FEの長さを実際に求めてしまって比を計算するという方法もあるでしょうね。
それほど大した手間でもありません~
下の解法例では,「余弦定理」,「∠DAB=180°-θ」,「三角形の面積公式」
の3つを利用して計算しています butterfly07.gif

t15_201311222117045e6.jpg
t16_20131122211704133.jpg



では,元の設問の方に戻ることにしましょう。
△BEF の面積を求めることが目標でした。 AF:FE はそのためのヒントだったわけです。
誘導によれば次に平行四辺形OABCの面積を求めさせています。
それが分かればその半分の面積を持つ △ABE の面積も分かります。
底辺分割の原理から △BEF の面積は △ABE の面積の2/3倍です bin01.gif



平行四辺形OABCの面積としては素直に 底辺×高さ を計算すればOK~

t17_20131122211705bbe.jpg

あるいは △OAC の面積の2倍として求めてもOKです~
sinθ を使った公式と内積を使った公式も,どちらも有効です。

t18_2013112221170617b.jpg

最後は △BEF の面積を先程述べた方法で求めておしまいです~

t19.jpg


△BEF は直角三角形なので,EFとBFの長さを求めて直接, 底辺×高さ÷2 を計算しても構いません。
少し上の方で,EFやAFの長さを求める解法をやってるので,その結果を使いましょう~



t20.jpg


最後に,(1)の別解として挙げた座標を用いた力技の解法の続きとして(3)をやってみましょう~bye03.gif
cosθ の値が分かっているので直線AE,BDの方程式もスッキリした形で出てきます。
交点Fの座標を求めて,それをヒントに AE:EF を求めます。
また,座標が分かっているときの面積公式を使って後半の面積を出しています。

t21.jpg

t24.jpg


t22.jpg

t23.jpg








こんな感じで今回はここまでとしようかと思います~~b_body_jump_20120809140052.gif













   

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2013年センター試験数学ⅡB 第3問

2013.11.20 17:18|大学入試問題
どもども。


今回は今年のセンター試験数学ⅡBの第3問ですよー


問題はこの辺とかから~箱ドットおにおん2mini
http://school.js88.com/sd_article/dai/dai_center_data/pdf/2013sugaku2B_q.pdf


数列の問題です~
今年の数列の問題はとても話題性がありました。

と言いますのも,これまでセンターには出ないと思われていた
数学的帰納法が出てしまったからです~dog04.gif

確かに出題しにくいテーマではあるのですが,
そして実際出されてみた問題を見てもどうもイマイチ感はあるのですが,
それでも出てしまったんです。

2次試験も数学がある人はそれなりに対策はしていたかとは思いますが,
センターでしか数学を使わない人などは,不意打ちだったかもしれませんね。
センター対策用の教材に終始していたとすれば
ほとんど帰納法対策はしていない状態だった可能性があります

対策済みの人からすれば,誘導も丁寧だったし解きやすかったという見方もあります。
帰納法部分の穴埋めは「b」か「c」のどちらかが入るところの連発で
その気になれば実際に計算してみずにノリで入れても正解してしまう可能性も
無きにしもあらずといった感じですね。
「数学的帰納法」の名称を答えるだけで点数がもらえるというのも嬉しいです。

ただ,4項間漸化式という見慣れない対象が相手であったことと,
n の偶奇で計算を分ける混乱しやすいタイプのものだったこと辺りは
ちょっとややこしかったのかもしれません。



では具体的に見ていきます~dolphin.gif

序盤は,普段から解き慣れたタイプの2項間漸化式が相手です。
p_{n+1}=p_n=α とおいた方程式の解を利用して等比数列を表す漸化式に変形してしまうんでしたね~

s1_20131201011208b29.jpg


等比数列を表す漸化式を作り出すという点においては,
以下に挙げるように特性方程式を使わず,階差数列に着目するという手もありますよ~drink_hottea.gif


s10_20131120145420e5e.jpg


数列 {p_n} の初項から第 n 項までの和は
等比数列の和の公式を利用して求めることが出来ます。
1/(2・3^(n-2)) の部分が初項 3/2, 公比 1/3 の等比数列になっていますね。
少し前にある (3/2)(1/3)^(n-1) の形のほうが分かりやすいです。

指数部分が n-1 以外になっている場合に初項と公比が分かる形に
変形することはできるようになっておきましょう~
(n+2 とか 2n とか 3n-2 とかになってると分からなくなる人が割といます
初項は n=1 を代入して求めてしまってもいいかもしれないですね。

s2_20131120135112d17.jpg


ここからが本番です。
4項間漸化式 a_{n+3}=(a_n+a_{n+1})/a_{n+2}, a_1=a_2=a_3=3
を解くという流れなのですが,こんなよく分からない漸化式の解き方なんか
よく分からないので,一般項を類推してみようというお話です

はじめの何項かを求めてみることで
どうも奇数番目において毎回 3 が現れそうな予感がするので
n の偶奇で分けて, b_n=a_{2n-1},c_n=a_{2n} とおいてみます。

任意の自然数 n に対して, b_n=3 であることを実証したいと思います
そのためには,任意の自然数 n に対して, b_{n+1}=b_n であることを示せば十分です~
b_1=a_1=3 が分かっているので, b_n=b_{n-1}=b_{n-2}=…=b_2=b_1=3
になるからですね~

「任意の自然数 n に対して, b_{n+1}=b_n 」の部分を数学的帰納法を利用してみます。
n=1 のときは, b_1=a_1=3, b_2=a_3=3 より b_2=b_1 が成り立ちますね。
kを自然数として, n=k のときも命題が正しい,すなわち b_{k+1}=b_k
が正しいと仮定してみます。
このとき n=k+1 のときも命題が正しいことを確かめるのが数学的帰納法の流れになりますね。
b_{k+2}=b_{k+1} を言うことが目標ですdog_happy.gif


b_{k+2}=a_{2k+3}=(a_{2k}+a_{2k+1})/a_{2k+2}=(c_k+b_{k+1})/c_{k+1} 

c_{k+1}=a_{2k+2}=(a_{2k-1}+a_{2k})/a_{2k+1}=(b_k+c_{k})/b_{k+1} 

の2本の式から c_{k+1} を消去すること,そして帰納法の仮定 b_{k+1}=b_k
その2つを組み合わせて目標の結果を目指しましょう~

s3_201311201351131c6.jpg


s4_20131120135114591.jpg


b_n=3 (n≧1) が分かってしまうと,{c_n} の方の一般項も分かります。
今まで b_n とか b_{n+1} とかになっていた箇所が全部 3 に置き換えてられしまうので
{c_n} に関する簡単な漸化式になってしまいます~

しかもそれは序盤で解いた {p_n} に関する漸化式と一致してしまいます。
冒頭で解いた漸化式は伏線だったわけですね~
従って, c_n=p_n であることが分かります~senpuki04.gif


s5_20131120135114554.jpg




これでひと通り最後まで解くことが出来ました。
どれだけ誘導に正しく乗ることが出来るかどうかが勝負の分かれ目ですねー。








なお,ここから先は余談です~~

それにしても, a_{n+3}=(a_n+a_{n+1})/a_{n+2} などという複雑な漸化式は
帰納法を使わない一般的解法とかってあるんでしょうかねー。
それがあまり思いつかないので,どうしても何かしら類推に近い考察を挟んでしまいます。

下の考察からは,1つ1つの n に対して
b_{n+2}-b_{n+1}=0 または c_n={(b_{n+1})^2-b_{n+2}b_n}/(b_{n+2}-b_{n+1})
のどちらかが成り立つ事が分かります。
一般的には前者が成り立つ n と後者が成り立つ n とに分かれるのでしょうが
本問のように常に前者が成り立つというシチュエーションというのは
非常に特殊かつ状況を簡単にしているのだなーということが伺えますね。

s8_201311201351361a9.jpg

s9_20131120135136ae6.jpg




類推した一般項が正しいことを数学的帰納法を用いて証明する代わりに,
実際に漸化式に代入して確かに条件を満たすぞということを
確認するという手もあります。

s6_201311201351156b0.jpg

この方法の場合,一応安全策として,
与えられた漸化式を満たす数列は1つしか無いことを帰納法で確認しておくのが良いと思います。
この漸化式を使うと n=1 から順番に a_n の値を一意的に求めていけるので
どう考えても漸化式を満たす {a_n} は一意的に決まっているだろう~
とは思うでしょうが,それは本来は帰納法を用いて証明すべき内容です。
『本当はもっと厳密に論じるべきなんだけど高校数学では直感的な解釈に任せます』
といった感じで軽く流される内容は割と多いんですよね
(例えば, n→∞ は「nを限りなく大きくする」で済ましちゃってます)。
この「漸化式の解の存在と一意性」も高校では詳しく論じませんが,
本当は当たり前なことではなくてしっかり証明すべき内容なんですよねpakukapa.gif

高校数学の範囲内でどれくらい詳しく論じることを要求するかというのは
よく分からないというか,見る相手によるという部分が大きいと思いますが,
「類推した一般項を漸化式に代入して実証」パターンでは一意性の確認は入れておいたほうが良さそうです。

s7_20131120135135078.jpg



本問の誘導の流れも,よく見ると帰納法を用いているのは
「任意の n に対して b_n=3 」 という内容についてではなく
「任意の n に対して b_{n+1}=b_n 」 という内容についてです。
後者の事実が正しいことを利用して,前者の結果を得ているので
類推した一般項が正しいことを直接的に帰納法で確かめるやり方とは
さりげなく微妙に異なっていますね。

「類推した一般項が正しいことを直接的に帰納法で確かめるやり方」も,
漸化式の解の存在が本来は前提になっているはずです。
解の存在を未確認の状態では,帰納法で示した内容は
「この漸化式を満たす解があるかどうかは分からないけれど,もし仮に存在するとしたら
一般項は****ですよ」ということになってしまうので
「a_n=****」 は必要条件になってしまいます。
****が実際に解になっていることは改めて代入するなどして確かめてみなくては
いけなくなるでしょう。つまり十分性の確認が必要になりますかね。

本問の「任意の n に対して b_{n+1}=b_n 」の部分に帰納法を使うというのは
実にさり気なくこの問題を回避しているように見えます





    

テーマ:大学受験
ジャンル:学校・教育

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