プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

11 | 2013/12 | 01
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 - - - -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

2013年センター試験 追試 数学ⅠA 第4問

2013.12.31 01:34|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター追試の数学IA 第4問 です~~


問題はこの辺などから~~ 算数mini
http://www.dnc.ac.jp/modules/file/index.php?page=visit&cid=96&lid=1853


場合の数と確率の問題です~~

前半は割と穏やかですが,
後半の確率部分の設問は得点の与え方のルールが複雑で分かりにくいです~



袋の中に9個の玉が入っているというシチュエーションです。
青玉が4個,黄玉が2個,黒玉が1個,白玉が1個,緑玉が1個です。
4個の青玉にはそれぞれ1~4の数字が書いてあり
2個の黄玉にはそれぞれ1,2の数字が書いてあり
残りの玉にもそれぞれ1の数字が書いてあるらしいです。
袋の中から一度に4個の玉を取り出すという試行に関して様々な設問に答えていくという
大問になっていますよー senpuki04.gif



まずは4個の玉の取り出し方の総数を問われています。
9個の玉は全て区別があるものなので,難しいことを考えずに9個の異なるものから
4個の異なるものを選び出す組み合わせの数を考えればよいですよ~

j1_20131230230028b15.jpg


次は取り出した4個の玉に書かれている数字がすべて異なるような取り出し方の総数です~
玉に書かれている数字は1,2,3,4のいずれかなので,
「4個の玉に書いてある数字がすべて異なる」ことと「1,2,3,4の数字が書かれた玉が1個ずつある」
ことは同値
です~ heart2_glitter.gif
1と2の数字が書かれた玉は複数あるので何色の玉を取るのかの選択を考えなければいけませんが
3,4ははじめから青色で確定ですね~

j2_20131230230029659.jpg




次は,取り出した4個の玉の色がすべて異なるような取り出し方の総数です。
青と黄の玉は複数あるので,もしも4個の中にこれらの色の玉が含まれているとしたら
その玉に書かれている数字が何かによって分類が必要になります。
そこで,「青と黄を両方含む」「青は含むが黄は含まない」「黄は含むが青は含まない」
の3パターンに分けて
それぞれの場合の数を計算してみたいと思います~ insect_kuwa_m.gif

「青と黄をどちらも含まない」パターンも有るんじゃないの?
と思うかもしれませんが,青・黄以外は黒・白・緑の3色しかないので
4個の玉の色がすべて異なるとしたら必ず青・黄のうち少なくともどちらかは含んでしまいます

なお,「青は含むが黄は含まない」「黄は含むが青は含まない」パターンは
それぞれ「青・黒・白・緑」「黄・黒・白・緑」を取り出すパターンで確定します。


j3_20131230230030d6c.jpg
j4_201312302300316eb.jpg


余事象の場合の数を求めてみても良いですよ~
つまり「取り出した4個の玉の中に同じ色のものがある」ような取り出し方です。
「4個すべて青」「3個が青」「2個が青」「青は1個だけど黄が2個」「青は無いけど黄が2個」
の5パターンがあります~ hiyos.gif


j5_20131230230032539.jpg



次の設問です~

「青が1個だけある」ような取り出し方の数を問われています。
青の数字の選び方は4通りで,残り3個は青以外の5個から3個を選ぶ組合せの数を考えればよいです~ hunayurei.gif


j6_201312302300336f8.jpg


以下のように4個の中に含まれる黄玉の数で分類しながら解いても構いませんよ~

j7_20131230230104a23.jpg






ここから先は確率の問題です~~

4個の玉の取り出し方に応じて0点~4点までの得点が与えられます。
その得点の期待値を求めようという流れです~

得点の与え方のルールがなかなかややこしいですね。
時間が少ないセンター試験ですが,焦ってはいけません。
落ち着いて得点の与え方のルールを正しく把握しましょう~ kame.gif

要点としては,まず取り出した青玉の個数が1個の時だけ点数が発生し
それ以外のときは問答無用で0点である
ということです kaeru_en2.gif

青が1個であるときは,その青玉に書かれた数字に着目します。
それと同じ数字の玉が4個中何個あるかによって点数が決まります~


j8_20131230230104a96.jpg



青玉以外の玉は「黄1」「黄2」「黒1」「白1」「緑1」の5個なので,
すべて書かれた数字が1か2かのどちらかになっています

このため,青が1個のときは,4個中1の数字が書かれた玉の個数は
2個か3個か4個かのいずれかになってしまいます。
同様に2の数字が書かれた玉の個数は1個または2個,
3の数字が書かれた玉の個数は0個か1個,
4の数字が書かれた玉の個数も0個か1個です。
青玉の数字が3か4だったときは得点はそれぞれ自動的に3点,4点で確定してしまいます。
また,点数が1点になるパターンはありませんね。



そんな中,まずは得点が2となる確率から問われています。

青玉が1個だけ含まれていて,その青玉の数字が2であり,残りはすべて2以外の数字であるパターン
に限られます。「青2」以外はすべて数字が1になりますね。

j9_201312302301050ea.jpg
j10_20131230230106254.jpg



次は点数が3点の確率です~
「1個だけ含まれる青玉の数字が1で,残り3個の中に1の数字が書かれた玉が2個ある」
「1個だけ含まれる青玉の数字が3」

の2パターンがあります~ m_0034.gif


j11_20131230230106a73.jpg




次は点数が4点の確率です~

これは3パターンあるので面倒ですが,1つ1つは簡単に場合の数が求められます。
「1個だけ含まれる青玉の数字が1で,残り3個もすべて数字が1」
「1個だけ含まれる青玉の数字が2で,残り3個の中に「黄2」が含まれる」
「1個だけ含まれる青玉の数字が4」

の3つですね~ m_0035.gif


j12_20131230230107626.jpg


得点が2,3の場合の確率が分かっている状況なので得点4の確率は
余事象の確率を利用して求める手もあります。

j13_201312302301324a4.jpg



最後は期待値を求めておしまいです。
実質的には点数が2,3,4の確率が分かっていれば計算することができます~ m_0100.gif



j14_201312302301331bb.jpg







そんなわけで今回はここまでです~

それでは良いお年を~ m_0195.gif




   
  
スポンサーサイト

テーマ:大学受験
ジャンル:学校・教育

2013年センター試験 追試 数学ⅠA 第3問

2013.12.30 03:06|大学入試問題
どもども。


今回は今年のセンター追試の数学IA 第3問 をやっていきますよ~

問題はこの辺などから~ ぺんぎんmini
http://www.dnc.ac.jp/modules/file/index.php?page=visit&cid=96&lid=1853

平面図形の問題ですね~~

本試では,序盤の OD=√10 で躓く悪夢を味わった人が多かったようですが
それと比べると追試の問題のほうがやりやすいんじゃないかなーーという気がします


はじめの方は △ABC に関する簡単な考察です~
どうも本試の方と釣り合いがとれてない感じがしますね~

cos∠ACB, sin∠ACB, △ABC の外接円の半径をそれぞれ求めます~
余弦定理正弦定理をちょいっと使うだけですね body_jump.gif


i1_201312292354120be.jpg

i2_2013122923541301b.jpg


さてここからが本番です~~

△ABC の外接円の周上の点B,Cにおける接線を考えて交点をPとするそうです。
直線APとBCの交点がD,Aを通りBCと平行な直線とPX,PYの交点がそれぞれX,Yです~

図を描くときにまず注意したいのは,直線XYは △ABC の外接円の接線ではないということです。
ついうっかり接線と勘違いしないようにして下さい~

PX,PY は接線なので,PB=PC, PX=PY が成り立っています。
接弦定理によって ∠XBA=∠ACB, ∠YCA=∠ABC などが成り立ちます。
また, XY // BC より,錯角が等しくなっている箇所として
∠XAB=∠ABC, ∠YAC=∠ACB なんかがあります。
角度の関係性に着目することで相似な三角形の組がいくつか見付けられそうですね dog_love.gif


i3_20131229235414fe0.jpg


まずは角度に関する設問がありますね。
既に上で述べたように平行線の錯角と接弦定理に着目して
角度の関係性から △ABX∽△BCA を導くと良いです~

i4_201312292354149c5.jpg


同様に △CAY∽△BCA も成り立ちます。
これらの相似性から辺の比に着目して AX と AY の長さを求めることが出来ます~

i5_20131229235415d37.jpg
i6_201312292354169aa.jpg

AX と AY の長さは以下のように,
△ABX と △ACY において正弦定理を利用して求めることも出来ます~

i7_20131229235442f60.jpg

i8_20131229235443d59.jpg


今度はちょっと遠回りしながら AX と AY の長さを求めてみます。

△PBC, △PXY が二等辺三角形であるので,直線XYと △ABC の外接円の
交点のうちAでない方をEとすると,下の図はちょうど左右対称になっています ladybug.gif


    i9_201312292354438df.jpg

このため, EX=AY が成り立ちます。
XY と EA の長さが分かれば,その差をとって2で割れば AY の長さが分かるし
AX=XE+EA=AY+EA によって AX の長さも分かります。
そんな方法でやってみましょう~


まずは EA の長さを求めます。
円に内接する四角形 EBCA に着目してトレミーの定理を使ってみます whale.gif
対称性より △ABC≡△ECB なので,トレミーを使うにあたって長さが分からないのは
ちょうどEAだけになっているはずです。

i10_20131229235444008.jpg


△ABC∽△XAB より ∠BAC=∠AXB なので
sin∠AXB, cos∠AXB, tan∠AXB は ∠BAC に関する三角比の計算から分かってしまいます。
また下図のように垂線の足H,I,Jをそれぞれ取ると
AH=BI=CJ で,その長さは △ABC をBCを底辺とみたときの高さを求める計算で
得ることが出来ます~

△BXI に着目すると,上の計算から XI の長さを求めるための準備が整っているはずです。
YJ の長さは XI と等しく, IJ の長さは BC と等しいです。
これで XY=XI+IJ+YJ によって XY の長さが求まります。

この手順によって無事に XY と EA の長さが分かりますね s2_sum_sunflower.gif


i11_201312292354453ff.jpg
i12_20131229235445853.jpg




さて,次の設問に進みましょう~

DC:BD の比を利用して DC の長さを求めようというものですね~

手前の設問で AX と AY の長さを求めましたが,
これを利用すると良いのですよー
中学校で習った平行線と線分の比の関係式を使います~

BC // XY より PD:PA=DC:AY=BD:XA が成り立ちますね butterfly07.gif


i13_20131229235521d9c.jpg



今の解答では △PBD∽△PXA と △PCD∽△PYA に着目していた
という見方ができますが,
(△PBCと線分PDのセット)∽(△PXYと線分PAのセット) という相似関係に着目して
BD:DC=XA:AY とすることもできますね~ car2_ambulance.gif


i14_20131229235522fb4.jpg





最後は AD の長さを求める設問です~

△ACD に余弦定理を使えば瞬殺できます~

i15_20131229235523dff.jpg


違う方法も挙げておきます~
AY と DC の長さが分かっているので △PDC と △PAY の相似比が分かります。
このことから PD:DA も分かってしまいます~
よって PA の長さを何とかして求めることが出来れば AD の長さも
求めることが出来そうですね~ cutlet.gif

PA の長さを求める方法としては,例えばPからXYに垂線PMを下してみると
対称性からまず XM=YM が分かり,
PM の長さは PM=YM・(tan Y) で求めることが出来て
AM の長さは YM-AY で求められるので
△PAM に三平方の定理を適用すれば良いです~

i16_20131229235523932.jpg
i17_201312292355240e3.jpg



方べきの定理を活用した解法も1つ挙げてみます~

PA と △ABC の外接円の交点のうちAでない方をFとおきましょう~
このとき方べきの定理から PC^2=PF・PA が成り立ちますね。
PC の長さは PY の長さが分かればあとは DC:AY の線分比を利用して求めることが出来ます。
PA は上の解法と同様に求められます。
よって PF の長さを求めることが出来ます。
PA との差を取ることで AF の長さも分かります。

再び方べきの定理から AD・DF=BD・DC が成り立ちます。
BD,DC の長さはもはや既知なので, x(AF-x)=BD・DC 
を解けばいいわけですね。

ただし, AD を x とおいても, DF を x とおいても
同じ方程式が現れるので,この2次方程式の2つの根のうち
一方は AD の長さで もう一方は DF の長さになっています

i18_20131229235525175.jpg


上図な図が描けていれば長い方が AD だとぼんやりと分かるでしょうが
微妙な図だと迷うかもしれませんね。
PD:DA=2:5 になっている方を選ぶというのでもいいですが,
PD:DA=2:5 という関係式を利用するなら始めから PA の 5/7 倍として
求めてしまえばいいわけなので,ここではそれ以外の方法でどちらが AD かを吟味してみます。

∠BFC+∠BAC=180°, cos∠BAC>0 より
cos∠BFC=-cos∠BAC<0 が得られるので ∠BFC は鈍角です。
△BFC を点Dに関して対称移動させて出来る △BF´C を考えると
F´は直線AD上にありますね。
直線AD上に点Qをとると,直線BCからの距離が離れれば離れるほど ∠BQC が小さくなることが分かります
∠BF´C=∠BFC>∠BAC よりF´よりAの方が直線BCより遠い位置にあることが分かるので
F´は線分AD上の点であることが分かります。
したがって AD>F´D=FD であることが分かります。

i20_20131229235546575.jpg





他にも △ADH に三平方の定理なんていう解法もありそうですね。
とりあえず今回はこの辺にしておきましょう~ dolphin.gif





            

テーマ:大学受験
ジャンル:学校・教育

2013年センター試験 追試 数学ⅠA 第2問

2013.12.29 23:26|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター追試数学ⅠAの第2問です~


問題はこの辺りなどから~ 箱ドットおにおん2mini
http://www.dnc.ac.jp/modules/file/index.php?page=visit&cid=96&lid=1853


2次関数の問題です~

文字定数 b を係数に含んだ2次関数 y=x^2-2bx-(4/3)b+5/9
がはじめに与えられています。これを f(x) とおいておきましょう。

y=f(x) のグラフを対称移動したり平行移動したり
f(x) の最小値を求めたり2次方程式の解の配置を考えたり
2次関数の単元の基本定番問題のフルコースといった内容になっています~ hanaji02.gif
何やら忙しそうな問題という印象を持つかもしれないですが
どこかで部分的に躓いてしまっても後の解答にそれほど影響を及ぼさないという点では
むしろやりやすい問題という見方も出来るかもしれません。
また,はじめから考察対象の2次関数の式が与えられているので
本試の問題よりもやりやすいかもしれないです
(本試の問題では考察対象の2次関数の式を自分で求めなければいけませんでした
 http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-77.html)。


まずは頂点の座標が要求されているのでちゃちゃっと求めておきましょう~
というか,仮に要求されていなかったとしても求めておきましょう~ hana13.gif


h1_20131229222154e3d.jpg



さて, y=f(x) のグラフを原点に関して対称移動させたものが
y=ax^2-2x+c のグラフと一致するのはどんなときかを尋ねられていますね。

y=f(x) のグラフを原点に関して対称移動したものは 
関数 y=-f(-x) のグラフになります。


-f(-x)=ax^2-2x+c が恒等式になるように
係数比較をしてやると良いです~ hana14.gif


h2_2013122922215426c.jpg




次の設問は b=1 のときの y=f(x) のグラフが,関数 y=x(x+4) のグラフを
平行移動したものに一致するように設定する問題です~

y=x(x+4)=x^2+4x のグラフを x 軸方向に s , y 軸方向に t だけ
平行移動すると,関数 y=(x-s)^2+4(x-s)+t のグラフになります。
これが y=f(x) と一致するように係数比較をやってあげましょう~ hana-ani01.gif


h4_2013122922215780b.jpg


係数比較で解くほかには,頂点がどれくらい移動するかに着目する方法もありますよ~ Mushroom01.gif


h3_201312292221563ec.jpg




次は 0≦x≦1 における f(x) の最小値 m に関する問題です~
b の値によって m は変わるので, m は b の関数になります。
y=f(x) のグラフの軸が 0≦x≦1 に含まれるかどうかで
m を表す式も変わってきます mushi.gif

2次関数の最大・最小に関する基本問題のまとめは過去の記事などを参照~

h5_20131229222157432.jpg





いま求めた m(b) の式を参考にして m(b)<0 となる
b の範囲を求めるのが次の設問ですよ~

ベタな解法パターンは2つほどあります~
1つ目は, b<0, 0≦b≦1, b>1 の3つの場合に分けて
それぞれにおいて不等式 m(b)<0 を解く
というものです hamu01.gif


h6_20131229222158d04.jpg

h7_20131229222231619.jpg


第2の解法としては, yb 平面に y=m(b) のグラフを描いて
直線 y=0 より下になる部分を読み取る
ものです hachi03.gif
観察してみると関数 m(b) は単調減少になっていることが分かるので
グラフと b 軸との交点の座標が分かってしまえば勝利です~


h8_20131229222231920.jpg


最後は,2次方程式の解の配置問題に相当する設問です~

y=f(x) のグラフが x 軸の 0≦x≦1 の部分と異なる2点で交わる条件を
問われています。
2次方程式の話に書き換えるならば, f(x)=0 という2次方程式が
相異なる2個の 0≦x≦1 を満たす実数解を持つ条件を求める問題ですね。

2次関数の問題はグラフで考える!というのが基本なので,
まずはグラフの形から条件を立てて解いていきましょう~
せっかく2次方程式の話にも書き換えたので,2次方程式の解に着目した
解法も後でやってみます~


グラフを用いて考えるとすると, y=f(x) のグラフの形状に
要求される条件を見つけていかなければいけません。
x 軸の 0≦x≦1 の部分と2点で交わるような下に凸の放物線の絵を描いてみましょう~
グラフがこのような形状になるためにはどのような条件式が必要でしょうか zashiki.gif

2個の交点は軸の左と右にそれぞれ1個ずつあるので,
2個の交点が 0≦x≦1 に含まれるには軸 x=b の位置について
0<b<1 がまず必要ですね。
 
x 軸と2点で交わらなければいけないので 最小値 f(b)<0 も必要ですね。

軸より左側の交点は 0≦x<b の範囲になければならないので
f(0)≧0 が必要です~

同様に軸より右側の交点は b<x≦1 の範囲になければならないので
f(1)≧0 が必要です~

以上の4条件をすべて満たすような b の範囲を求めれば良いですよ~ xmas_wreathe.gif



h9_20131229222232082.jpg
h10_20131229222233125.jpg







次は今の問題を2次方程式の解に着目して解いてみましょう~

f(x)=0 の2つの解 α,β が満たすべき条件を挙げて
それをもとに b の範囲を絞り込むわけです~ hiyos.gif

相異なる2実数解を持つので, f(x)=0 の判別式を D とおいたとき
D>0 が成り立たねばなりません。

y=f(x) のグラフが x 軸の 0≦x≦1 の部分と
2点で交わるというのは 0≦α<β≦1 であることと同義です。

そして 0≦α<β≦1 であることは 「 α<β かつ α+(1-β)≧0 かつ α(1-β)≧0 」
であることと同値です eto_ushi.gif
これは,一般に 「 A≧0 かつ B≧0 」 ⇔ 「 A+B≧0 かつ AB≧0 」 であることを
利用しています。

「 A≧0 かつ B≧0 」という条件より複雑化しているのではないかという
印象を持つかもしれません。今回の場合はその印象通りで正解です
「α≧0 かつ 1-β≧0」を連立不等式だと思ってそのまま解こうと思うと
b の無理式を含んだ無理不等式を解かなければならず厄介です。
「 α+(1-β)≧0 かつ α(1-β)≧0 」を考えることによって解と係数の関係を利用して
b の無理式を含まない連立不等式に持ち込めるのであれば,この方法が有効といえるのですが
今回はこの形に持ち込んでも結局無理不等式を解かなければいけないので
シンプルに「α≧0 かつ 1-β≧0」のまま考察を進めたほうが楽です。
でもせっかくなので比較の意味を込めてやってみます。


α<β という条件は,実際に解の公式から f(x)=0 の2つの解を求めたとき
解の表示式に含まれる ±√D の部分に着目して「-√D」の方を α, 「+√D」の方を β
とおくことに反映させます。

あとは α+(1-β)≧0 と α(1-β)≧0 の2つの不等式を解けばよいです。
しかし, b の無理式を含んだ面倒な不等式なので厄介です。
無理式を無くすために両辺を2乗するなどして対処することが多いと思いますが
その際,元の不等式との同値性が崩れないように注意しなければいけません eto_hitsuji.gif
一般に A<B という不等式は A^2<B^2 とは同値ではありません。
両辺が正である条件下では A^2<B^2 を考えて差し支えが無いです~

h11_201312292222340bf.jpg
h12_201312292223106b1.jpg


最後の,複数の条件の共通部分を取る作業が地味に面倒です。
本番試験ではこのような面倒な解法はとてもオススメできません。


最後に「α≧0 かつ 1-β≧0」のまま考察を進めてみる方法を試してみます dog_happy.gif
無理不等式の扱いに注意するという点は先程と同様です。

h13_20131229222311a83.jpg

h14_20131229222311a03.jpg


h15_20131229222312058.jpg

h16_201312292223137c4.jpg





センター試験は解法の選択が勝敗を分けることも多くあります。
効率のよい方法を瞬時に嗅ぎ分ける能力を養いましょう dolphin.gif






   

テーマ:大学受験
ジャンル:学校・教育

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。