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2014年センター試験 数学ⅠA 第3問 その2

2014.01.31 02:25|大学入試問題
どもども。


今回は前回の続きです~~


問題はこの辺などから~ 81772681-5429-43AA-86F3-CE1D54407314.gif
http://mainichi.jp/life/edu/center/etc/pdf/sugaku1a.pdf

前回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-164.html



平面図形の問題でした~~
序盤部分に関しては前回やった通りです~~

AB=AC=4, BC=2 であるような二等辺三角形 ABC とその外接円に関する問題です~


前回の続きの設問から考えていきましょーーー

∠ABC の2等分線と ∠BAC の2等分線の交点が D です。
これは △ABC の内心ですね。 ∠ACB の2等分線も点 D を通ります~

AC との交点を E とします~
このとき,線分 AE, 線分 BE, 線分 BD の長さを求めるのが次の設問です~
今回もいくつかの方法を試してみましょー w03.gif


まずは定番的なアプローチをしてみますー
直線 BE が ∠ABC の2等分線なので,角の2等分線の性質から
BC:BA=CE:AE が成り立ちます~xmas_wine.gif

この線分比から AE の長さが求まります~
このとき △ABE について,辺 AB, AE の長さと cos∠BAE が分かってるので
余弦定理から BE の長さが計算できます~
そうすると今度は,直線 AD が ∠BAC の2等分線であることに着目して
線分比の関係 AB:AE=BD:ED を使って BD の長さを出すというわけです~


d1_2014013020045012b.jpg

  d4_20140130200452814.jpg
  d5_20140130200453fdc.jpg


線分 BE の部分に関してはメネラウスの定理なんかも使えます


d6_201401302004533c1.jpg

線分 BD の部分に関しては角の2等分線の長さの公式なんかも使えます

d13_20140130200607ec2.jpg



さて,冒頭で D が △ABC の内心であることを述べました。
直線 AD と BC の交点を H とすると,ちょうど線分 DH が内接円の半径になってるんですよねー
△BDH に三平方の定理を使うことで線分 BD の長さが出せるので今度はそのやり方を試してみます~ winkneko.gif


d2_20140130200451038.jpg

このとき, AE=8/3 を先に出していれば, △ABE において角の2等分線の性質から 
BE を求めることが出来ます。

d3_20140130200451547.jpg





次は角の二等分線の線分比に関する性質を使わないでそれぞれの値を求めてみます~~
二等分線の長さ BE を求める方法としてはまだ挙がってないものとしては
面積公式を利用したものがあると思います win_snowman.gif
△ABC の面積は前回求めていて √15 です。
△ABC=△BAE+△BCE であることに着目して BE に関する方程式を立てて解きます~

このとき sin∠ABE (=sin∠CBE) の値が必要になるので
2倍角の公式かなんかで求めておくと良いです。

d11_20140130200526908.jpg

このとき, △ABE に正弦定理を適用して AE を求め,
△BDH において cos∠DBH=BH/BD であることから BD の長さを求めてしまうことが出来ます winkapa.gif


d12_20140130200527ef1.jpg





今度はベクトルを使って一連の値を求めてみましょう~ win_night.gif

(→BA)=(→a), (→BC)=(→c) とおいてみます。
線分 AB の中点を J とおくと, BJ=BC=2 なので △BJC は二等辺三角形です。
BE が ∠ABC の二等分線であることから, BE と CJ の交点を M とおくと
M は CJ の中点になっています。

E は直線 BM 上の点なので, (→BE)=k(→BM) と書けます。
一方, E は線分 AC 上の点なので, (→BE)=s(→a)+(1-s)(→c) の形でも書けますね。
このことから (→BE) を (→a), (→c) を用いて表せるようになるので
それを経由して (→AC) と (→AE) の関係性を調べてみます

d7_2014013020052429a.jpg

なお,角の二等分線の性質を知っていれば, (→AE) の表示はもっとすぐに得られます。

さて,このとき更に, (→a)・(→c) を求めておけば |(→BE)| も計算できます~ waraioni.gif


d8_20140130200525e1d.jpg
d9_20140130200525bba.jpg

また, D が直線 BE 上にあることから (→BE)=ℓ(→BD) の形で書けて,
一方で線分 AH 上にあることから, (→BD)=t(→BA)+(1-t)(→BH) の形で書けることから
(→BE)=ℓ{t(→BA)+(1-t)(→BH)} の形に一意に表示できます~ whale.gif



d10_201401302005262ff.jpg





そろそろ次の設問に進みましょう~~~ win_mountain.gif

△BEC の面積が △AEF の面積の何倍かを求める問題です。

ベタな解法としては, △AEF∽△BEC に着目して面積比を相似比の2乗に帰着させる
というものがあると思います~ kawauso.gif


d14_20140130200607a72.jpg


底辺分割の原理を使って △BEC, △AEF の面積が △ABE の面積の何倍かを考えてみるという手もあります~ insect_kuwa_m.gif


d15_20140130200608f2d.jpg
d16_20140130200609a24.jpg




もっとシンプルに,実際に2つの三角形の面積を計算して比をとるというのでもいいですね。


d17_201401302006101b7.jpg





この設問はまぁこれくらいにして,最後の設問は3つの線分 FA, FC, FD の長さの
大小関係を比べなさい,というものですよーー

「角度に注目する」というヒントをくれているので,方針は立てやすいですね s2_sum_sunflower.gif
円周角が等しい2つの弧の長さは等しいので,
∠ABF=∠CBF より 弧AF=弧CF が成り立つので 弦AF=弦CF も成り立ちます~

d18 1


このことは ∠FAC=∠FCA から △FAC が二等辺三角形になることを理由に述べてもいいですね。 

あとは △FAD に着目して ∠FAD=∠FDA になることを確かめて FA=FD を導けます~ heart08.gif




d18 3

d19_201401302006543ca.jpg


あらかじめ ∠FAD=∠FDA なんじゃないかという予想をしておいてそれを実証してみるという
やり方だと迷わず結論に辿り着けそうです~
なお, △FDC が二等辺三角形になることから結論を導いても構いませんよ~


また,角度に注目するといい,というヒントがあったけれど,
うまく結論まで辿り着けなかったらその方針を諦めて素直に3つの線分の長さを実際に求めて
長さを比較
しても構いません。案外手間はかからないですよ~ carrot02.gif


d26_20140131013729f2c.jpg





また, △ABC が二等辺三角形であることから,図形の左右対称性を利用して
下図の四角形 AFDF´ がひし形になることから FA=FD を述べてみる
なんてことも出来たりします~ futaba.gif


d20_201401302006557d7.jpg


ここで得られた FA=FC=FD という結果ですが,
今回の △ABC においてたまたま成り立った結果というわけではなく,
一般の三角形についても同様のことが言えるということは注目です。
有名な事実として知られているようですよ。







さて,最後は最初の設問から最後の設問までを座標を使って解いて終わりにします~~
座標を使った解法は大体のところ,最初の導入部分が面倒なのですが,
それさえ済んでしまえばあとはひたすら力技で答えを出していけるので図形の性質に疎い人には
なかなか悪くない武器だと言えます。
また,今まで挙げてきたような図形の性質を組み合わせながらだと計算量を少なくしたりもできるので
図形に疎くない人でも十分利用価値があります。

今回は △ABC が二等辺三角形なので, BC の中点を原点にとって AD を y 軸上にとる
という手もあるのですが,そもそも最初の設問を解くまで △ABC が二等辺三角形であることが
分からないため B を原点にとります。
そうすると直線 OA や OF は原点を通る直線になるので少し楽になりそうです。 

C(2,0) とするところまでは良いですが, A の座標がすぐに求まりません。
問題文で与えられているのは cos∠AOC=1/4 なので,そこから tan∠AOC を求めると
それが直線 OA の傾きに
なっています。あとは線分 OA の長さが4であることから A の
座標を求めましょう~ butterfly07.gif

また, cos∠OAC は内積 (→AO)・(→AC) を利用して求めると楽です~

d21_20140130200656074.jpg

d22_20140130200656381.jpg


外接円半径は正弦定理でもいいですが,正弦定理を使わないと意気込むならば
外心の座標を求めてしまって,それと原点との距離を計算すると良いですかねー
弦 OC の垂直二等分線と弦 OA の垂直二等分線の交点として外心が求められます。

d23_20140130200657d15.jpg


次は直線 OF の方程式を求めます。
角の二等分線の性質を使って線分 AC を 2:1 に内分する点 E の座標を求めると
簡単に直線 OF の式が求まりますが,それを使わないとすると
OF が ∠AOC の二等分線であることから,その方向ベクトルが OC 方向の単位ベクトルと
OA 方向の単位ベクトルの和で表せる
ことを利用すると楽かもしれません~ rabi_right.gif
これは少し上の方でやったベクトルを用いた解法で出てきた (→BM) を考えるというのと発想は基本的に同じです~

外心の座標と外接円半径が分かっているので外接円の方程式も求めることが出来ます。
これで直線 OF と 直線 AD, AC, 外接円との交点をそれぞれ求めることが出来ます~

d24_2014013020065827e.jpg

このとき, △OEC と △AEF の面積も簡単に出せるので面積比も計算できます~
また FA=FC=FD であることは実際に長さを比べてみれば確かめることが出来ます~ rice_eating.gif



d25_201401302007124d1.jpg
 











そんなわけで,色々と大問3について考察してきましたが
そろそろ終わりにして次回はラストの大問4で遊んでみたいと思います~ s2_sum_mount.gif









              
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2014年センター試験 数学ⅠA 第3問 その1

2014.01.30 23:10|大学入試問題
どもども。


今回は今年のセンター試験数学ⅠA第3問をやります~


問題はこの辺などから~ 箱ドットおにおん2mini
http://mainichi.jp/life/edu/center/etc/pdf/sugaku1a.pdf


平面図形の問題です~
昨年の問題と比べるとかなり解きやすいです~
昨年は2つ目の空欄でもう撃沈してしまった人が多かったですが
今回はそんな悲惨な事にはならなそうです

図形自体もそんなにごちゃごちゃしたものではなく
後からどんどん新たに円やら直線やら点やらがわらわらと増えていくような感じでは
ないので,頭がこんがらがるということもなさそうです~

さて,来年度の受験生は新課程に移行した最初の学年になるので
センター試験の出題パターンも少し様変わりすることが予想できます。
数学Aの「平面図形」が選択分野になったことにより
三角比関連の必答問題はこれまでのように思い切り平面図形の性質と絡めてくることが
無くなるように思えます。平面図形の問題は別個に選択問題として出てくるのかな?
そういうわけで,図形に限らずあれこれ変わってくるため過去問を解くだけでは
新センターには対応できない可能性があるので来年度の現役生は気をつけたいですね~




というわけで問題を解いていきます~~

序盤は △ABC に関する簡単な考察です~~
辺 CA の長さ, cos∠BAC, sin∠BAC の値, △ABC の外接円半径
をそれぞれ求めるものです~
三角比の相互関係,正弦定理,余弦定理あたりをちょいちょいと使うだけで
全部求められるので手堅く正解しておきましょうね~ senpuki04.gif


c1_201401302003081ee.jpg

この先の設問は次回に回します~
ここからは序盤部分の別解をいくつか挙げていきますよ~ k-up02.gif


外接円半径を求める公式としては正弦定理の他にも △ABC の面積を利用したものもありましたね~ wahakapa.gif


c6_20140130200311c9e.jpg



AB=AC=4 なので △ABC は二等辺三角形であるということには気付いておきたいですね  
こういうさりげないポイントに気付けるかどうかが図形問題を解く上でポイントになってきたりします~


△ABC が二等辺三角形であることを利用すれば
正弦定理や余弦定理に頼らなくても cos∠BAC, sin∠BAC, 外接円半径などを求めることができますよ~ rabi_happy.gif


まずは数学ⅡBの範囲にはなってしまいますが三角関数の二倍角の公式を利用してみます poloneck.gif

直線 AD は ∠BAC の二等分線なので BC との交点を H とすると
AH⊥BC, BH=CH になっていて二つの合同な直角三角形 ABH と ACH が現れます。
△ABH の三辺はすぐ求められるので, ∠BAH の正弦,余弦を求めて
それを使って cos∠BAC, sin∠BAC を求めてみましょう~ s1_spr_chulip.gif


c4_20140130200310b86.jpg



△ABC の面積公式を利用してみる作戦もあります~
AH⊥BC なので BC を底辺としてみれば簡単に △ABC の面積が計算できます。
あとは △ABC=(1/2)AB・AC・sin∠BAC から求めてもいいですし
以下のように AC を底辺とみて高さ BI を求めて直角三角形 ABI から求めてみても良いですね~ spaghetti.gif


c5_20140130200310840.jpg



外接円半径についても考えてみましょう~~

外接円の中心,つまり外心 O は弦 BC の垂直二等分線上にあるので
直線 AH と外接円の交点のうち A でない方を G とおくと,
線分 AG は外接円の直径になっています~

△ABH と △AGC に着目してみましょう~
∠BAH=∠GAC と ∠AHB=∠ACG=90° から △ABH∽△AGC であることが分かります。 
このとき,線分比の関係から直径 AG=2R を求めることが出来ます~ ipon.gif

この「1辺が直径と等しい直角三角形の相似関係から外接円半径を求める」というアプローチは
大学入試ではなく高校入試では常套手段になっています~
中学生はまだ正弦定理を知らないのでこうやって半径を求めるんですねーー car2_dump.gif



c7_20140130200359770.jpg
c8_201401302003114b0.jpg


なお直角三角形の相似関係を使っているので,線分比の計算部分は三角比の計算に置き換えることも出来ます~






今度は外心 O から辺 AB へ垂線 OJ を下してみます~
OJ は弦 AB を2等分するので AJ=BJ が成り立ちます。
このとき △AOJ∽△ABH が成り立つので線分比の関係から半径 AO=R を求めてみます~ pig01.gif




c9_20140130200357fce.jpg


こちらも直角三角形の相似関係を使っているので,線分比の計算部分は
三角比の計算に置き換えることも出来ますね~





とりあえず序盤部分に関してはもうこれくらいにして,
次回はこの先の設問に関して色々なやり方を試してみます~~ sreep_dog.gif






   

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2014年センター試験 数学ⅠA 第2問

2014.01.27 00:00|大学入試問題
どもども。


今回は今年のセンター試験数学ⅠA第2問をやります~


問題はこの辺などから~ くりmini
http://mainichi.jp/life/edu/center/etc/pdf/sugaku1a.pdf

2次関数の問題です~
「最大・最小」「平行移動」「2次不等式」「解の配置」といった2次関数の単元の
定番トピックが集まってきた問題セットになっています。
センターの2次関数の問題ではよくある出題パターンかと思います~


与えられた2次関数を f(x) とおいておきます~
まずは y=f(x) のグラフ G の頂点の座標を求めておきましょう~ suika.gif

b1_20140126013009bb8.jpg

                 b2_20140126013010e90.jpg

G の y 切片を p とおいています。
つまり p=f(0) ですね~

p=-27 になるときの a が2つあるので,それを求めるのが次の設問です。

b3_20140126013010bf0.jpg
b4_2014012601304188a.jpg

a=3 のときのグラフを x 軸方向と y 軸方向にそれぞれどれくらい平行移動したら
a=-1 のときのグラフに一致しますか というのが次の設問です~

2つのグラフの頂点の座標を比べてどれくらい移動しているかを調べるのが早いと思います~ syumai.gif

もしくは x 軸方向に p, y 軸方向に q だけ平行移動したら一致する,と仮定して
p と q に関する方程式を立てて解く
という手もあります。

とりあえず a=3, -1 のときの f(x) と頂点をそれぞれ求めてみましょう~

頂点の座標なら最初の設問で求めてあるのでそれに代入してもよいです。
なお, f(x)=(x+a)^2-a^2+p=(x+a)^2-a^2-27
であることから 頂点を(-a,-a^2-27) としてみると代入計算が早くなります



b5_20140126013041cfe.jpg


頂点の移動具合を調べてみましょうか~
下の図は明らかに横移動の矢印のほうが長いので,図としてはちょっといい加減ですねー


b6_20140126013042fe8.jpg


マーク型の試験なのでこれでよいですが,記述型の試験なら
本当に x 軸方向に 4, y 軸方向に 8 だけ平行移動したら2つのグラフは一致するのかを
検証する必要があると思います。
どちらの関数も x^2 の係数が1なので確かに重なります。
何かしら2つのグラフが一致することの根拠となる記述が欲しいところです。
頂点の移動具合だけ見て解答を終えられるためには,平行移動したら2つのグラフは重なるんですよー
という保証が必要です。


一方で, x 軸方向に p, y 軸方向に q だけ平行移動したら一致する,と仮定して
p と q に関する方程式を立てて解くという解法では次のようになります。
計算量はさっきのやり方よりは若干増えますねー s2_sum_hotaru.gif


b7_20140126013042f78.jpg




次は G が x 軸と共有点を持つような a の範囲を求める問題です。
グラフを使って考えるなら, y の最小値,すなわち頂点の y 座標が0以下であるという点に
着目して不等式を立てて解きますね risu.gif

b8_20140126013043e7a.jpg

2次方程式 f(x)=0 が実数解を持てば良いという点に着目するならば
この2次方程式の判別式 D について D≧0 という条件が成り立ちます~

b9_2014012601304300c.jpg





今得られた -3≦a≦6 という範囲において p の値の取り得る範囲を求めるのが次の設問です~

p は a の2次関数になっていますね。
限られた変域における最大・最小を考えなければいけないので,
グラフを描いて -3≦a≦6 の範囲の中で一番高いところと低いところの y の値を読んでやれば良いです~ rabi_smile.gif



b10_20140126013118489.jpg





もう最後の設問になりますね。
何だかあっという間です。

G が x 軸と共有点を持って,かつ,その共有点の x 座標が全て -1 より大きくなる
ための a の条件を求める設問です~
いわゆる解の配置問題というやつですね~

この類の問題を解き慣れている人なら,判別式と軸の位置と f(-1) の値
3つくらいに着目すればいーんでしょー みたいにすぐ対応できるかもしれないですが,
慣れるまではなかなか苦戦する人が多い問題です。

2次関数の問題は「方針で迷ったらグラフを使って考える」が基本なので
まずはそれでいってみましょ~~
G がどんな位置にあれば条件を満たすのでしょうか~

まず第一に x 軸と交わらなければいけないので 「最小値≦0」 か 「f(x)=0の判別式 D≧0 」
が必要です。これについては既に計算済みですね。

G が x 軸と相異なる2点で交わるとすれば,左側の交点が直線 x=-1 より
右側に来なければいけません。
軸は2つの交点を結ぶ線分の垂直二等分線なので,軸も直線 x=-1 より右側に
来なければいけませんね。
また, f(-1)≦0 が成り立ってしまえば,絶対に x≦-1 の範囲で G は
x 軸と共有点を持ってしまいます。左側の交点が x=-1 の右側に来るためには f(-1)>0 が必要です。  

逆に 「最小値<0」 「軸が x=-1 の右側」 「f(-1)>0」 が全て成り立てば必ず
G と x 軸の2つの交点は共に x=-1 の右側に来ますね。

G が x 軸に接する場合でもやはり軸は直線 x=-1 より右側で f(-1)>0 でなければいけません。
というわけで,接する場合も入れて
「最小値≦0」 「軸が x=-1 の右側」 「f(-1)>0」
の3条件で答えが出せます dog_shy.gif


b11_20140126013118db1.jpg
b12_20140126013119fa6.jpg



グラフを使って考えるのが苦手だ,という人は解と係数の関係を利用した解法なんかを
試してみてもいいかもしれないです

f(x)=0 の2解を α,β とおいてみます~
α=β のときが重解です。
まず第一に α,β は実数でなければいけません。
というわけで (判別式D)≧0 が必要になってきますね。

あとは 「α>-1 かつ β>-1」 になるようにすればよいわけです。 
「α+1>0 かつ β+1>0」 と変形してみましょう~

一般に,2つの実数 A と B に対して,
「A>0 かつ B>0 ⇔ A+B>0 かつ AB>0」

が成り立ちます。これを活用してみますねー

つまり, (α+1)+(β+1)>0 かつ (α+1)(β+1)>0
が成り立てばよいのです~ spaghetti.gif

(α+β)+2>0 かつ αβ+(α+β)+1>0 と変形してみると
α+β と αβ の姿が見えるので,ここに解と係数の関係から決まる値を代入して
a に関する不等式を立てます~


b13_201401260131196c6.jpg

b14_201401260131208bb.jpg




以上の2つがスタンダードな解法としてよく挙げられるものです~
しかし,こうした解法についてよく知らない人は,
ついつい次のような方針で解いてみようとしてしまいます。

「f(x)=0 の解は x=-a±√(-2a^2+6a+36) なので,
-a±√(-2a^2+6a+36)>-1 が成り立てば良い


もちろんこの方針でもちゃんと答えに辿り着けます~
ただし, a の無理式を含んだ不等式を解かなければならないため
慎重な操作が要求されます shm01.gif
不等式を解く際に,根号を無くすため2乗したりとかすることになりますが,
同値性を崩さないようにしてそれを行わなければいけないので注意が必要なのです。
このため,無理方程式や無理不等式にある程度慣れてる人じゃないとこの解法はオススメできません win_snowman.gif

さて, -a-√(-2a^2+6a+36)≦-a+√(-2a^2+6a+36)
が成り立つので, -a-√(-2a^2+6a+36)>-1 を解くだけで十分です。

まず根号の中が非負になることから -2a^2+6a+36≧0 でなければいけません。
これは 「最小値≦0」 や 「判別式 D≧0」 と同等の式ですね。
-a+1>√(-2a^2+6a+36) と変形して,これの両辺を2乗して
a の2次不等式に帰着させるわけなのですが,2乗する前の左辺が
正になるように -a+1>0 も条件式に加えておかなければいけません。

これが忘れやすい部分ですね~
なお, √(-2a^2+6a+36) よりも -a+1 の方が真に大きいので
-a+1>0 になってます。もし元の不等式が -a+1≧√(-2a^2+6a+36) だったなら
そのときは -a+1≧0 という条件式にならなければいけません。 

b15_20140126013121762.jpg
b16_201401260131376e9.jpg


b17_2014012601313701e.jpg









それでは第2問はここまでです~~
次回は第3問ですよ~~ sushi.gif





   

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