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2014年京都大学前期入試 理系数学 第4問

2014.04.23 13:55|大学入試問題
どもども。


今回は今年の京大前期入試の理系数学第4問を考えてみますよ~

問題はこちら~

14k4.jpg



領域図示の問題ですね~

文字定数 a, b を含んだなんだかよく分からない分数関数 f(x) が与えられていて,
不等式  がすべての実数 x について成り立つための条件を求めるという,
見た目はなかなかハードそうな問題ですよ~ body_stretch.gif


 に   を代入した



を分母を払って整理して~・・・
なんていう方針をと選ぶのは賢明ではないです~
明らかに面倒くさい計算が待っています

f(x)=y とおいてみましょう。
 という不等式になるわけですが
これは変形して (y+1)(y-1)(y-2)≧0 になることに気付けるでしょうか~ car2_tank.gif

 
y-2<y-1<y+1 に注意すると,
(y+1)(y-1)(y-2)≧0 が成り立つためには
「 y-2, y-1 が0以下かつ y+1 は0以上」 または
「 y-2, y-1, y+1 がすべて0以上」 

のどちらかでなければならないですね~

このことは,「 y-1≦0 かつ y+1≧0 」 または 「 y-2≧0 」
すなわち 「 -1≦y≦1 」 または 「 y≧2 」
と同値であることをまず見抜くことが重要です~

つまり,すべての実数 x について 「 -1≦f(x)≦1 または f(x)≧2 」
が成り立つような (a,b) を調べれば良い
ということになり,
これでだいぶ見通しが良くなった気がします~ dog_shy.gif


「 -1≦y≦1 または y≧2 」 を得る部分については,
3次関数 g(y)=y^3-2y^2-y+2=(y+1)(y-1)(y-2) のグラフを考えて
g(y)≧0 となっている部分をピックアップする
という発想で導くことも出来ます~ hiyo_en1.gif


k1_2014042302182749c.jpg


k2_20140423021827471.jpg



さて,ここで y=f(x) がすべての実数 x に対して定義された連続関数であることに着目します。
分数関数なので,分母が0になる点で連続性が途切れそうな気が一見するのですが
よく見ると分母の x^2+x+1 は常に正の値を取る関数で,決して0になることがないんですね

分子が1次式( a=0 の場合は別ですが),分母が2次式なので,
x→±∞ のときは分母のほうが強くて f(x)→0 になってしまいます。
1<f(x)<2 を満たす x があってはいけないので,
もしも何かしらの実数 p に対して f(p)>2 を満たしていたとしたら
x>p の範囲で必ず 1<f(x)<2 を満たす x が出てきてしまいます。
そうでないと 0 に収束できませんね~
そーいうわけで,そんな p があっては困るんです。
 
結局,任意の実数 x に対して -1≦f(x)≦1 でなければいけません kaeru_en2.gif


k3_20140423021828c8e.jpg






ここから先は方針が少し分かれるかもしれません~

 方針1:2次不等式 x^2+(a+1)x+b+1≧0, x^2-(a-1)x-b+1≧0 が絶対不等式になるようにする

  のままでは考え辛いので,分母を払って整理しましょう~

x^2+x+1>0 なので分母を払う際に不等号の向きは変化しません。
通常は分母の符号によって不等号の向きが変わるので注意が必要な操作です。

その結果,すべての x に対して x^2+(a+1)x+b+1≧0, x^2-(a-1)x-b+1≧0 の
両方が成り立つように a, b を設定してやれば良いことが分かります。

左辺を2次関数とみて 最小値≧0 としてやるか,あるいは 左辺=0 とおいた方程式の判別式≦0
としてやればよいですね~ kame.gifkame.gif



k4_20140423021829bc6.jpg
k5_201404230218290bc.jpg



あとは図示しておしまいですね~~ kasabake.gif



k6_201404230218304da.jpg





 方針2:関数 y=f(x) の増減を考えて「最大値が-1以上 かつ 最小値が1以下」としてみる

y=f(x) の値域が -1≦y≦1 の中にすっぽり入ってしまっていればよいわけですよね。
ということは, 最大値≧-1 かつ 最小値≦1 であればいいですね~ kuma_fly.gif

y=f(x) のグラフがどんな形か考えてみることにしましょう~
a が正か負か0かで微妙に話が変わってくるので,それぞれ分けて考えてみることにします。

なお a=b=0 のときは f(x) が恒等的に0になってしまい,ちょっと扱いづらいです。
確かに -1≦y≦1 を満たしているので (a,b)=(0,0) は求める領域に含まれます。
あとは (a,b)≠(0,0) の場合について考えれば十分です。

a=0 の場合から考えてみます~
ab 平面でいうところの b 軸上の点に相当しますね。

k9_20140423021858fc6.jpg

k7_2014042302185738b.jpg
k8_20140423021858277.jpg


原点を加えて -3/4≦b≦3/4 の範囲を b 軸上で動くようです。
覚えておきましょう~~

次は a>0 の場合を考えます。

a,b の値によらず極大値と極小値を持つことに注意してください~ korobo.gif

このときの極大値,極小値がそのままそれぞれ最大値,最小値になっています~



k10_20140423021859f61.jpg
k11_20140423021859750.jpg


ここからは無理不等式を解かなければいけないので面倒ですね。

同値性に注意しながら処理をしてくださいね~ kojika.gif



k12_20140423021900578.jpg

k15_201404231329411b1.jpg



k13_20140423021928407.jpg
k14_201404230219281b3.jpg


k16_20140423132941b21.jpg





そんでもって,これらの情報を総合すると,



k17_20140423132942c59.jpg


な感じになります~~ kitune.gif


最後は a<0 の場合ですね~~

正のときと同じようにやればいいわけなんですが,ここでちょっと 


であることに着目してみましょう~
-a>0 なので,上で得た結果を利用して (-a,-b)∈E となる条件を
考えるだけで解決しちゃうんですよね~ kawauso.gif


ちょうど 領域 E を原点に関して対称移動したような領域が得られるはずです~

k18_20140423021930904.jpg




以上の情報をすべて総合することで,方針1の時と同じ領域が答えとして得られますね~~

方針1と比べてかなり労力が必要になってしまいました~~ nakioni.gif




 方針3:関数 y=f(x) の最大値,最小値を判別式の議論で求めてから方針2と同様に考える


微分とかしてグラフを描いて~~となると労力がかかるので,
方針1と似たような要領で,判別式の議論に帰着させて y=f(x) の値域を調べてみようと思います~ m_0251.gif




と変形します~
y=0 のときを除いて x の2次方程式になるので実数 x が得られるには
判別式≧0 であることが必要十分になります

厄介な y=0 の場合を先に考えてしまいます。
つまり y=0 が f(x) の値域に含まれるかどうかという点についてです。
結果としては, a=0 のときは値域に含まれず, a≠0 のときは含まれます。

y≠0 のときは判別式を使って考えます~


k9_20140423021858fc6.jpg

k19_2014042302194894c.jpg
k20_20140423021948fb6.jpg

k21.jpg


  k22.jpg



方針2のときとは違う形で最小値と最大値が出てきたように見えますが,
計算してみるとしっかり同じものを表しています m_0250.gif


あとは方針2と同様に無理不等式を解いていけば良いという流れになります~
そこは省略しますね~



そんなわけで今回はこの辺にしておきます~~ rokuro.gif





  
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2014年京都大学前期入試 理系数学 第3問

2014.04.16 14:06|大学入試問題
どもども。


今回は今年の京大前期入試の第3問を考えてみます~

問題はこちら~

14k3.jpg


三角形の面積の最大値に関する問題です~
前半は三角比,後半は微分といった感じでしょうか~

シンプルな問題文ですね。
△ABC は ∠B=2∠A を満たしているようですが,
このとき △ABC の面積 S の最大値を与える cos∠B の値を求めよう~
というのがテーマです~ udon(2).gif

まずは S を求めてみたいと思います~
与えられているのが角に関する条件なので
∠A=θ, ∠B=2θ とおいて S を θ の関数で表してみましょう~

 方針1: 正弦定理を使う

j1_20140416121755718.jpg

最終的に知りたいのは cos2θ の値です~
そこで, AB の長さを求めて  の公式に当てはめると
S が 2θ の式で表すことが出来て何かと都合がいいです~ suika.gif

∠C=π-3θ であることに着目して正弦定理を使って
AB の長さを求めると簡単です~

ちなみに, ∠C=π-3θ>0 が成り立たなければならないことから
 でなければいけません。後でこの範囲において S の最大値を考えることになるので
覚えておきましょう~~ insect_kuwa_m.gif




j2_201404161217556e6.jpg


j3_20140416121756b11.jpg



 方針2: ABを底辺とみて,底辺と高さの長さを求める

三角形の面積の基本は 底辺×高さ÷2 なので,
これを使って S を求めてみましょう~

C から直線 AB へ垂線 CH を下して高さ CH の長さを求めます~
直角三角形 CBH に着目すると簡単に CH と BH の長さは求められます。
直角三角形 ACH に着目して AH の長さもわかります~

ただ,この方針では注意が必要です。
∠B は鋭角・直角・鈍角すべての場合が起こり得るので
すべての場合に思いを巡らせなければいけません~ kaeru_en4.gif


j4_201404161217573ee.jpg
j5_20140416121757e7a.jpg


  j6_20140416121758cbf.jpg
j7_20140416121830989.jpg



 方針3: 座標を導入する

B を原点, C(1,0) となるように座標を導入してみましょう~
A(p.q) を q>0 になるように取ると,
S は BC=1 を底辺とみれば S=q/2 と書けます~
これは ∠B が鋭角だろうが直角だろうが鈍角だろうが正しいです~

ただ, ∠B が直角の場合と ∠C が直角の場合は
直線 AB や AC の方程式が y=ax+b の形にならない
ので注意です。

j8_20140416121831545.jpg
j9_201404161218322f1.jpg

j10_20140416121832607.jpg








では,ぼちぼち S がいつ最大になるか調べるステップへ進みましょうか~~ m_0025.gif


 方針1:素直に θ の関数とみなす

S を θ の関数とみたとき,
三角関数の単元の問題として処理できればそれで済むのですが
今回はちょっと大変そうなので微分を持ちだして考察することにします~ m_0001.gif


j11_20140416121833685.jpg





  のとき 
が成り立つので, この範囲に入ってるものを選び出さなければいけません。




j12_20140416121833297.jpg

j13_20140416121905b48.jpg
j14_201404161219061a7.jpg



具体的な最大値の値も求めることは可能ですが,要求はされていませんね。



 のまま S を求めて  

の形で議論する場合は,更にもう1回 S を積和の公式で変形して
 とおくと導関数が容易に 2θ の式で表せて 

上の解法と同様に  が得られます~ m_0249.gif



積和を使わないとしたら,最初1回,最大値を与える cosθ の値を先に求めて
2倍角の公式で cos2θ を求める流れなどになるかもしれませんね。
その手のパターンはこのあと方針3でひとつやっています~




 方針2: x=cos2θ とおいて x の関数にしてみる

知りたいのは cos2θ の値なので,もう丸ごと x=cos2θ とおいてしまって
S を x の関数にしてしまおうという作戦です~ m_0244.gif


 なので, S は x の無理関数になってしまうのですが,
x を含む部分を全部根号の中に押し込んで,根号の中身だけを T(x) とおけば
多項式の考察だけで済んでしまいますよ~~


j15_2014041612190764f.jpg

大小比較は方針1でやったのと同じようにやってください~

j16_201404161219079e1.jpg






無理関数のまま処理した場合はこんな感じになりますよ~
思ったより大変でもなかったです~ m_0250.gif




j17_2014041612190888b.jpg



 方針3: 座標を用いたバージョンの続き

S を座標を用いて計算していた際,  

のように tan を残したまま処理をしていると S も tan を含んだ形で出てきますが,
敢えて S の逆数を考えてみると 

という形が出てきます~
これは  では常に定義できる式で,一旦除外していた π/4 と π/6 も
加える事が出来ます~

S よりも 1/S の方が扱いやすいので 1/S の最小値を考えましょう~ m_0251.gif
S が最大になるのは 1/S が最小のときであることに注意です~


j18_20140416121909b05.jpg



j19_20140416121932e1a.jpg



j20_2014041612193379e.jpg




この方針では一旦最小値を与える cosθ の値を先に求めます~ patikapa.gif



j21_201404161219346c0.jpg
j22_20140416121934847.jpg








元の関数より逆数を考えるほうが簡単そうな場合ってのは割とよくあるので
そのような場合は臆せず逆数を考えましょう~~ panda_1.gif











         

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2014年京都大学前期入試 理系数学 第2問

2014.04.11 00:57|大学入試問題
どもども。





今回は今年の前期京大入試の理系数学第2問を考えてみます~~

問題はこちら~

14k2.jpg



確率の問題です~~

等確率で隣の点に移動する動点がテーマの,非常によくあるタイプの問題だと思います~
ただ,動点が2個あるというところが多少珍しいという感じかもしれません~ bakezouri.gif

正三角形ABCがあり,頂点 A に2つの粒子(P,Q と呼ぶことにしましょう~)があるそうで,
1秒ごとに隣の頂点に等確率で移動するということらしいです。
つまり1秒後には粒子 P は確率  で頂点 B へ,確率  で頂点 C へ移動します。
粒子 Q も同様です~
このような運動が毎秒起こるということですね。
スタートから n 秒後に P と Q が同じ頂点に入る確率 p(n) を求めるというのがお題です~

i1_201404102048561f6.jpg


n 秒後という,なんだかよく分からない時刻の現象の確率について考えなければいけないので,
そういうときは確率漸化式を立てて考えるのが定番の手法です~ body_jump.gif


今回は3通りの方針を試してみたいと思います~~


 方針1:素直に p(n) に関する漸化式を立てる

まずは一番オーソドックスな解法を試してみることにします~~
p(n) を求めたい問題なのだから, p(n) に関する漸化式を立てて解くというのが
一番はじめに思いつく発想のはずです~ buta.gif

p(n+1) を p(n) の式で表すことを検討してみたいと思います~
p(n+1) は出発から n+1 秒後に P, Q が同じ頂点に居る確率ですね。
「出発から n+1 秒後に P, Q が同じ頂点に居る」ためには,
出発から n 秒後の時点でどのような状態になっている必要があるでしょうか。
それを考えてみると次の2パターンのどちらかでないといけないことに気付くはずです~

(ア) n 秒後の時点で P, Q は同じ頂点に居て,次の1秒も同じ頂点に移動する
(イ) n 秒後の時点で P, Q は異なる頂点に居て,次の1秒は n 秒後の時点で
   P, Q が居なかった残りの頂点に両粒子が移動する


(ア)について考えてみると, n 秒後の時点で P, Q が同じ頂点に居る確率は p(n) で,
毎秒において P と Q が同じ方向に移動する確率は  なので,
(ア) の確率は  になります~

(イ)も同様に考えます~
n 秒後の時点で P, Q が異なる頂点に居る確率は 1-p(n) で,
次の1秒は P と Q が移動する方向はもう決まっているので確率は 
になるので,(イ)の確率は  になります~ car2_dump.gif



i2_201404102048562eb.jpg
i3_20140410204857e85.jpg


あとは漸化式を解けばいいですね~
n≧0 で成り立つ漸化式なので初項を p(0)=1 としても構いません。
日頃から慣れているように n≧1 で漸化式を考えると初項は p(1)=1/2 になります~

i4_20140410204857fd4.jpg




 方針2: n 秒後に P が各頂点に居る確率をそれぞれ求めてみる

「出発から n 秒後に P, Q が同じ頂点に居る」という状態は
次のどれかが起きているという状態です:

(1) 出発から n 秒後に P と Q が共に A に居る
(2) 出発から n 秒後に P と Q が共に B に居る
(3) 出発から n 秒後に P と Q が共に C に居る


よって(1),(2),(3)の確率の和を求めればよいわけですね~ eto_tatsu.gif
(1)は更に「出発から n 秒後に P が A に居る」かつ「出発から n 秒後に Q が A に居る」
と言い換えることが出来ます。

ここで,「出発から n 秒後に P が A に居る」確率を  とおきます~
同様に B, C に居る確率も  とおいておきましょう~

粒子 P,Q は対等な存在なので,対称性から Q が出発から n 秒後に A, B, C に居る確率も
それぞれ  になっています~
このような対称性に気が付かないと無駄に文字をおいて設定する確率の数が増えてしまって
考察が非常に面倒になります~ kaeru_ang2.gif
いまのは粒子の対等性から由来する対称性ですが,
もう1つ,図形の対称性から由来する B と C の対等性があります。
つまり,  です。

実質的に  さえ分かってしまえば良さそうですね。
この2つが分かれば,求める確率 p(n)(=(1),(2),(3)の確率の和) は
 によって求められます~ kuma_fly.gif





さて,文字でおいた複数の確率が出てくるときは、全確率=1の関係性から
1つの確率を消去することが出来ます。
今回は  から  が得られるので,
 を消去して  に関する漸化式を立てて解いてみましょう~ kitune.gif



i5_2014041020485825c.jpg
i6_2014041020485880b.jpg
i7_20140410204926bae.jpg

i8_20140410204926797.jpg




最後の計算が若干面倒くさいですね~~~ kawauso.gif

どうせ  は最後に2乗するんだから,
はじめから2乗したものを求めたらいいんじゃないか,という考え方もあると思います。
(n 秒後に P, Q が共に A に居る確率),(n 秒後に P, Q が共に B に居る確率),
(n 秒後に P, Q が共に C に居る確率)をそれぞれ文字でおこう
という発想です。

次はそういう発想でいってみます。



 方針3: n 秒後に P, Q がどの頂点に居るかについてそれぞれの確率を考えてみる


n 秒後の時点で起こる P, Q の位置のあり方 (P の位置, Q の位置) の組は
3×3=9 通りあります。
それぞれの確率を考察してみることにしましょう。

n 秒後に P が頂点 V_1 に, Q が頂点 V_2 に居る確率を  と
おくことにします~
V_1 , V_2 はそれぞれ A, B, C のいずれかです~

 を求めるのが目標です~

9個の確率に関する連立漸化式を解くのは通常は容易ではないです。
しかし,今の場合は対称性により

, 


が成り立っています~ pakukapa.gif


そんなわけで,  が分かれば9個全て分かるのですね。

9個から4個に減ったとはいえ,4個の数列の連立漸化式でも結構大変です。
ここから先はしばらく面倒な計算になりそうです~ s2_sum_hotaru.gif



を  を使って表してみましょう~


i9_20140410204927825.jpg


i10_201404102049275dd.jpg

i11_20140410204928494.jpg


なかなか複雑ですね。
どれかを消去しようと思ってもそれがなかなか面倒くさそうです。

そこで1回,  を求める作業を挟んでみようと思います。
b_n に関する漸化式は4式から割と容易に手に入れることができます~ risu.gif


i12_20140410204928d59.jpg


これまで得られた関係式と,あと1つ,全確率=1の関係式を使って
 に関する漸化式を立てたいと思います~ rokuro.gif



i13_201404102049480dd.jpg
i14_20140410204948596.jpg

i15_20140410204949ed1.jpg


さらっと漸化式  
を解いていますが,何気に慣れてないと苦労する形ではないかと思います hamu01.gif

 とおいて,  が成り立つように

定数 α と β の値を求めることで,数列  が
等比数列になることに着目して解いています~ nezumi02.gif




さて, あとは結論に向かって一直線です~~ jyugon.gif




i16_201404102049509cf.jpg






















                

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