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2014年東北大学前期入試 理系数学 第2問

2014.05.24 15:24|大学入試問題
どもども。


今回は今年の東北大学前期入試の理系数学第2問を考えてみますよ~ 

問題はこちら~

14to2.jpg




空間座標を用いた平行六面体の考察に関する問題ですね~~
平行六面体をある平面で切断したときの切り口について考えていきます~


c1_201405241314299f5.jpg


上図のような平行六面体を考えます~
1つの頂点は原点で, A は x 軸上, C は y 軸上にありますね。
底面 OABC は長方形になっているようです~

このとき,面 DEFG, ABFE, OCGD も長方形になっています~

M は辺 AB の中点, N は辺 DG 上の点で,
MN=4 かつ DN<GN が成り立っているそうです~


(1)は N の座標を求めるものです~
色々なやり方もあるのかもしれませんが,ここでは2通り挙げておきます~

 方針1:  と書けることに着目する

N が辺 DG 上にあるということから, 0≦k≦1 であるような実数 k を使って
 の形で表示できますね~ mushi.gif

 なので,  になります~

このことに着目して,あとは  で立式といったところですかね~ hachi03.gif


c2_20140524131429d93.jpg

c3_20140524131430e12.jpg



 方針2: DG の中点からどれくらい離れてるか調べる

四角形 ABGD も長方形になっていることに着目します~

DG の中点を Q とすると, MQ=AD=BG=√15 になっています~
直角三角形 MNQ に三平方の定理を適用して NQ の長さを求めてみると良いです~ hiyoko(1).gif


c4_2014052413143004e.jpg



さて,(2)に進みます~

3点 E, M, N を通る平面でこの平行六面体を切ったときの断面を考えるのですが,
これは平行四辺形になっています~

頂点 C が y 軸上にあるので,平行四辺形の残りの頂点が求めたい P になっています~ zashiki.gif

ところで,なんとなく「切り口の四角形は平行四辺形になるんだろーなー」とは分かる人は多いと思いますが
ちゃんと理由も説明できますか?

例えば辺 MP, EN はそれぞれ面 OABC と面 DEFG 上にありますが
この2面は平行なので交点を持ちません。
よって平面 EMN 上の2直線 MP, EN も交点を持たないので平行です。
同様に, EM と NP も平行になっているので,2組の対辺がそれぞれ平行になっていることから
説明がつきますね。

c5_20140524131431516.jpg


P の座標の求め方は色々ありますが,とりあえず簡単に3通り挙げておきます~ aomushi02.gif


 方針1:  に着目する

EP が平行四辺形の対角線になっていることからベクトルの和に対応します~

c6_20140524131431227.jpg


 方針2:  に着目する

 であることから攻めてもいいですよね~

c7_201405241314541c7.jpg



 方針3: 長方形 OABC 上で考える

底面 OABC 上での様子に着目します~
DN=1/2 なので, P は辺 OC の中点から C 寄りに 1/2 だけズレた点です~ s2_sum_uchiwa.gif


c8_2014052413145497b.jpg



最後の(3)は切り口の平行四辺形の面積を出す問題です~

 方針1: 内積を利用した三角形の面積公式を使う

平行四辺形は対角線を1本引くと合同な2つの三角形に分割できるので,
一方の面積を求めて2倍すれば答えが出せます~

空間ベクトルの問題でこのような面積計算が出てくると,
ベクトルの内積を利用した面積公式を利用するとやりやすいことが多いですよ~ xmas_hiiragi.gif


c9_20140524131455f44.jpg

 方針2:  底辺×高さ で求める

小学校で習う平行四辺形の面積の公式の基本は, 底辺×高さ だと思います~
MP を底辺とみることにして,高さを求めてみます~

直線MP上に H を取るとき,  が最小のときに  
になることに着目して求めます~ eto_ushi.gif


c10_2014052413145598e.jpg


 方針3: ベクトルの外積を使う

ベクトルの外積  の大きさ  が求める面積であることに着目します~
これは高校数学の範囲外に当たるので,試験でなら検算用ですかね~

ちゃちゃっと求められるので,検算用に覚えておくのは悪くないです~ heart2_shine.gif



c11_201405241314562b8.jpg




とりあえず第2問はこんなとこですかね~~






   
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2014年東北大学前期入試 理系数学 第1問 その2

2014.05.20 15:46|大学入試問題
どもども。

前回の続きをやっていきます~



2次方程式の解の配置と領域図示の問題です~~

2次方程式  が,(1)で求めた x の範囲  に少なくとも1個の解を持つような
(a,b) の存在領域を求めるというものですね body_stretch.gif


 方針1: y=f(x) のグラフと x 軸との交点の個数に着目する

2次関数  のグラフと x 軸との交点の個数に着眼して解くのが
一番ベタな解法かなーと思います。
(1)でもそういう解き方をしていましたね。

y=f(x) のグラフが x 軸と  の部分で交わればいいのですが,
そのようなシチュエーションは大雑把に次のような3つに分類できます~ car2_pat.gif

(i)   の範囲に1個,  の範囲に1個

(ii)  の範囲で x 軸と接する

(iii)  の範囲に2個


それぞれについて必要な条件を立てて (a,b)の候補を絞っていきます~



b1_20140520150108e2c.jpg


b2_20140520150109a80.jpg


ちなみに重解を持つときと交点2個の場合は合体させて議論することも可能ですよ~ buta.gif



とりあえず条件は揃ったので,あとは領域図示ですが,
このときに ab 平面上において直線  は
放物線  の接線になっている
ことに注意しましょう~ eto_mi.gif



b4_201405201501100b2.jpg



 方針2: 余事象を考える

「少なくとも~」の問題は,逆にその条件を満たさないものを全体から取り除いてやるという方針で解くと良い
という常套手段がありますね。
この問題においては,敢えてその方針を取るまでもないのですが,
とりあえずその方針も試してみることにします~

つまり, 「y=f(x) のグラフが x 軸と交点を持たない」 または
「y=f(x) のグラフと x 軸の交点が全て  の範囲にある」 

ような条件を求めて,それ以外の部分を図示すればいいというわけですね eto_tatsu.gif



b5_20140520150111df1.jpg



 方針3: f(x)=0 の解を具体的に記述して考える

2次方程式 f(x)=0 の解を具体的に求めてみると,無理式を含んだ面倒な値が出てきます。
この解に着目して議論をすると無理不等式を解くことになったりして基本的に面倒になることが多いです
そのことは(1)でも見てとれると思います~

たまたま(2)の方においてはそれ程面倒な議論にならないので試してみましょう~

この2次方程式の解のうち,大きい方を β としましょう。
 に少なくとも1個の解を持つということは, 
βが実数であり,かつ  が成り立つということと同じことです kaeru_en1.gif


この点に着眼して解いてみます~

b6_20140520150112ec0.jpg
b7_2014052015012313c.jpg












     

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2014年東北大学前期入試 理系数学 第1問 その1

2014.05.13 16:57|大学入試問題
どもども。


今回は今年の東北大前期入試の理系数学第1問を考えてみます~

問題はこちら~

14to1.jpg



2次方程式の解の配置と領域図示に関する問題です~

2次方程式  の解がある範囲に少なくとも1個含まれるような a, b の
条件を考えるという趣旨の問題ですが,その「ある範囲」というのを求めるのが(1)のお仕事です~

今回はこの(1)について考えます~

 における  の値域が x の動く範囲です。

xの表示式の形を見て,「おっ これは相加相乗平均デスネ
と真っ先に閃くのではないかと思います。
もちろんそれを使って最小値を求めようとする試み自体は構わないのですが,
その方針では x の取る値の上限については分からないので結局別のアプローチが必要になります。
そして相加相乗平均の関係を使おうとする人に対して,いやらしい罠が仕込まれているので注意が必要です jyugon.gif


何も考えずに相加相乗平均の関係を使って最小値を求めてみると

を得ると思います~
注意しなければならないのは,この最小値を取るときの t の値が定義域に含まれているかどうかを
しっかり吟味する必要が有ることです~ onegai03t.gif

t>0 なので    のときに最小値を与えるのですが,
1/√3 は 1/2 より大きい値なので t の動ける範囲に入っていません~

このため, x の最小値を 2/√3 としてしまうとアウトですよ~~


というわけで,別の方法を考えてみましょう~~



 方針1:微分を使ってみる

まずは x=x(t) を t の関数だと思って,微分を使って増減を調べてみます~
そうすると x は該当範囲において単調減少であることが分かります~~ ny_kagamimochi.gif


a1_201405131617445fb.jpg


この方針で解くのが一番手っ取り早いでしょうね~
それ以外の方法だと色々ややこしいです。
実際に試してみましょう~



 方針2:関数 y=3t^2-3xt+1 のグラフと t 軸の交点に着目してみる

  を変形すると,    になります~

これを, x を文字定数と思って t に関する2次方程式とみなすことにしましょう~ 8269809.gif
この方程式の解は, t の2次関数  において y=F(t) のグラフと
t 軸との交点の t 座標で与えられますよね。
この t 座標が    に含まれるような交点が少なくとも1個あるような x の範囲を調べる
という発想でこの問題を解くことができます~ 8187095.gif

何だか(2)の問題と似ている気がしますよね。
このあと(2)で使う解法と同じような発想で(1)も解けるということなんですね。

y=F(t) のグラフとt 軸との交点は多くても2個です。
というわけで, t 座標が  に含まれるような交点が
1個のときと2個のときとに分けて考察してみることにしましょう~

まずは1個のときです~
グラフの形状で分類してみます~

重解を持つかどうか, F(0) と F(1/2) の符号はどうかという点に基づいて
以下のように3パターンに分類してみます。

実は x の値によらず F(0)=1 になっているので,2番のパターンは起きないことはすぐ分かります。
実質的には2パターンについて考察することになります。


a2_20140513161744f8e.jpg
a3_201405131617459d7.jpg


同様に2個の場合も考えてみましょう~~ kaeru09.gif



a4_20140513161745bdc.jpg




場合分けなどが必要な流れなので,最初の解法よりも面倒くさいですね。
(2)はこの方法と同じようにやっていくことになります~

さて,(1)に関してもう1個もっと面倒なアプローチをしてみます~ 09(1).gif





 方針2:2次方程式 3t^2-3xt+1=0 の解を具体的に記述して考察してみる


方針1では 「x=~~」 の形に着目しましたが,今度は 「t=~~」 の形に着目します。
方針2で出てきた2次方程式 3t^2-3xt+1=0 の2解 α, β を具体的に記述してみて,
少なくとも一方が    に含まれるための条件を探ってみます。

この方針がめんどくさい理由は,無理不等式と遭遇してしまうからです~ b_body_lazy_20120809140110.gif

2乗して計算する際に同値性に十分配慮してやっていかなきゃならないところがイヤですね~

0<α≦1/2 となる条件をまず求めてみましょう~


a5_20140513161746cd3.jpg

  a6_2014051316174661c.jpg
   a7_2014051316180349a.jpg



同じように 0<β≦1/2 となる条件を考えてみます~~ bakeneko_20120809140145.gif



a8_20140513161804c3c.jpg
a9_20140513161805eae.jpg



なかなか面倒な解法でしたね~~

素直に微分して考えるのがベストのようです~


では次回は(2)を考えてみます~~
(1)と似たような流れになると思います~~






     

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