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2014年一橋大学前期入試 数学 第3問

2014.08.31 18:08|大学入試問題
どもども。

今回は今年の一橋大入試の数学第3問を考えてみます~



xy 平面上の点どうしの間の写像の問題です~

原点を中心とする単位円上の点 P に対して,
あるルールに則ってこの円上の点 P´ に写すようです~

どういうルールかをみてみます。
点 P における円の接線 ℓ を考え,点 (1,0) を通り ℓ に平行な直線を m とするそうです。
m と円の交点を点 P´ と定めるようですね

ただし, m が直線 x=1 と一致するときは P´ は (1,0) と約束するようです。
これは特段特殊なルールではなく,自然な取り決めですね。

(1) は P(s,t), P´(s´,t´) とおいて,
´,t´ を s,t の多項式で表す設問です~
様々な解き方が考えられそうです~ hiyob_en.gif


j1_20140831153519b57.jpg

 方針1:円の方程式と直線 m の方程式を連立する

P´ は円と直線 m の交点なので,
その座標は円と直線の方程式を組にした連立方程式の解で与えられますよね。
単位円の方程式は  です。
あとは m の方程式を求めるとよいのですが,まずは前段階として ℓ の方程式を考えると
ℓ は円上の点 P(s,t) における接線なので sx+ty=1 と表せます~kaeru_en4.gif
 と書き直して m を点 (1,0) を通る傾き  の直線と捉えて
方程式を求めるというのも良いですが,その場合は t=0 の場合だけ別扱いにして
論じなければいけないので注意が必要です~

その煩わしさを回避するため,ここでは m の方程式を s(x-1)+ty=0 と表しておきます~
(ただし,この場合も後で t=0 か t≠0 かで話を分ける場面が出てきます)

P(s,t) が円上の点であるため  が成り立つことに注意して
連立方程式を解いてみましょう~ m_0034.gif

j2_20140831153519d40.jpg

j3_20140831153520df4.jpg


 方針2:P´ が直線 OP に関する点 (1,0) の対称点であることに着目する

図を見ると分かると思いますが, P´ は直線 OP に関する点 (1,0) の対称点です~
直線に関する対称点の求め方というのはいくつかありますね。
ここの項ではベクトルを用いた解法を選んでみます~
m が直線 x=1 と一致するときも同時に取り扱えるのでベクトルは便利ですね m_0229.gif


j4_20140831153520eca.jpg


 という関係があるため, s´ の表し方は複数あるわけですね。
ほかにも  というものもあります~


 方針3:∠POA=∠POP´ に着目する

はじめの図に戻ってみましょう~
方針2の対称性から分かることですが ∠POA=∠POP´ が成り立っています~
P と P´ が共に円上の点であるため,
P(cosθ,sinθ) とおけば P´(cos2θ,sin2θ) と書けます~ nakioni.gif
この問題ではこの後の(3)では特にですが,この角の間の関係性に気付くことが非常に重要になっています。
はじめから P(cosθ,sinθ) とおいてくれていればまだ気付きやすいものの,
P(s,t) という形で与えるものだから気づきにくい恰好になっています~


j5_2014083115352186b.jpg

はじめに角の間の関係性に気付かなくてもこの答えの値から三角関数の倍角の公式に似ていることに
ピンと来れば上出来です~

(2)は  の場合を具体例にとって操作 T を繰り返す様子を観察することが趣旨になっています。
 の間の関係をを見出しておきたいところです patikapa.gif



j6_20140831153522adb.jpg



以上を踏まえて最後の(3)です~
自然数 n を固定したとき,  が成り立つような P って
実は有限個しかないんです。一体何個あるでしょう?
という問題ですね。

 および 
とおいてみることにしましょう~ risu.gif

このとき,  と  の間の関係式を求めてみましょう~

j7_2014083115354933d.jpg
j8_20140831153552f65.jpg



 という角の範囲の制限に着目すると,  の取り得る値の候補は自ずと絞られてしまいます~



j9_20140831153553243.jpg


角度の関係性に気付けないとなかなか答えをだすのはしんどいですが,
一連の舞台を通常の xy 平面ではなく複素数平面だと思うことによって,
複素数を使った解法も考えることが出来ます~



に着目すると良いです~ tanuki.gif


j10_201408311535530cf.jpg
j11_20140831153554eae.jpg







   
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2014年一橋大学前期入試 数学 第2問

2014.08.25 21:23|大学入試問題
どもども。

今回は今年の一橋大入試の数学第2問を考えてみます~




積分を使った面積計算の問題です~

放物線  とその上の点 があり,この点における接線 ℓ を考えて
放物線,接線, x 軸で囲まれる領域の面積 と,
放物線,接線,直線 x=1 で囲まれる領域の面積 の和の最小値を考える問題です~ aicon378.gif


i1_20140825202740e5e.jpg

ちょうど上の図の赤斜線部分の面積が  にあたります~

具体的に  の値を計算で求めて,それを t の関数とみなして微分を駆使して
最小値を求める
というのが標準的な解法になるんじゃないかなーと思います~ aicon_78.gif

どうやって  を計算するかの部分については人によって多少の差異が生じるかもしれません。
律儀に  と  を別々に求めてそれらの和を出すというのも構いませんが,
若干,手数が増えてしまいそうなので,出来ることなら  の値をいっぺんに求められる
手法のほうが何となく嬉しい気がします m_0063.gif

そこでまずは,放物線  と x 軸と直線 x=1 で囲まれた領域の面積から
三角形の面積を1つ引いたものが  になっていることに着目してみます~ aicon_63.gif


i2_201408252027409bf.jpg


C,E の座標もすぐ求められるので,あとは簡単に  の値が出せますね~ 8269809.gif

i3_20140825202741bb5.jpg

ちなみに,  は一定値なので,   の値が最小になるのは 
△CDE の面積が最大になるときだという点に着眼しても構いません~

あとは微分を用いて増減を調べればよいですね~
t の取り得る値の範囲が 0<t<1 であることに注意して最小値を調べましょう~


i4_2014082520274134a.jpg

i5_201408252027424b9.jpg

1つ前の大問と違って,大きく方針に迷う点などはないはずなので何とか答えまで辿り着きたいところです~

さて,  を別々に求めていくとどうなるのかも検証しておくことにしましょう~

まずは  ですが,ベタな求め方を2つほど挙げておくことにすると,
やはり最初の解法みたいに三角形を引く方法や,2つの積分に分けて計算する方法などがあります~ m_0069.gif

i6_2014082520274361a.jpg


 の方は台形を引くか,その分も積分で処理するかすれば良さそうです~

i7_2014082520284059e.jpg

なお,  になっていることを利用してもよいです~
今回はさほどメリットはなさそうですけど~


 を一括で出す方法としては,下図の赤斜線部と青斜線部を合わせた領域の面積が
1本の積分計算で出せる
ことに着目するものなんかもあります~ 8257410.gif


i8_20140825202840643.jpg

i9_20140825202841865.jpg


後半戦は微分を用いて増減を調べるというのが常套手段でしたが,
実は最小値を出すだけなら相加平均と相乗平均の関係式を利用して求めることも可能です~ aicon341.gif

ただし,2正数の間の関係式ではなくて3正数間で成り立つ関係式

の方です~~

最初の解法において,  と求められていたことを思い出しましょう~
これが最大になるときを探ればよいのでした~

 なので,  が成り立つことに注意です。



が成り立つことを利用します~
t を打ち消すために頭に係数2が付けられてることがミソになっています~ kaeru11.gif


i10_2014082520284155d.jpg
i11_2014082520284222b.jpg
i12_20140825202843a31.jpg


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2014年一橋大学前期入試 数学 第1問

2014.08.23 02:12|大学入試問題
どもども。

今回は今年の一橋大入試の数学第1問を考えてみます~



整数問題です~
素数がテーマの問題になっています。
有効な着眼が出来るかどうかが勝敗を分けそうです~

a,b,c はすべて素数で,しかも a-b-8 と b-c-8 もまた素数にならなきゃいけないというお題です。
正解に辿り着くまでには幾つかの「気付かなければいけないポイント」があります~

早速ですが,はじめの時点でもう a,b,c の大小関係が決まってしまいます。

a-b-8 と b-c-8 はどちらも正でなければならないので,
a-b>0 かつ b-c>0 でなければいけません。
すなわち a>b>c ですね~~ body_walk.gif

更にこの大小関係から分かることがあります。
偶数であるような素数は2しかないので, a,b は確実に奇素数なのです~
そして, (奇数)-(奇数)=(偶数), (偶数)-(偶数)=(偶数) より,
a-b-8 は偶数, すなわち a-b-8=2 であることが確定してしまいます~

ぱっと見で分かることは大体そんなとこでしょうか~
ここからは,少し実験的な考察を交えながら答えに迫っていく必要がありそうです~


h1_20140822163938fef.jpg


(奇数)-(偶数)=(奇数) なので, c が偶数ならば b-c-8 ( =(b-8)-c ) は奇数,
c が奇数ならば b-c-8  は偶数
になります~
現時点では c が偶数なのか奇数なのかを確定する情報は持っていませんね。
どっちなのか分からないから手も足も出ません,というのではなくて,
どっちなのか分からないなら両方の場合を検討してやろーじゃねーか,という気概を持ちましょう~
「もし c が偶数だったら」「もし c が奇数だったら」の2つのシチュエーションについて
両方調べてみることにしましょう~ hiyob_en.gif



まずは「もし c が偶数だったら」というシチュエーションです~
これはすなわち c=2 であるという場合ですね~

値がまだ分かっていないものは, a,b,b-c-8 すなわち b+10,b,b-10 の3つです~
この3つが素数になるような b を見つければ良いことになりますね。
この3つはいずれも正の奇素数でなければいけないので, b-10≧3 より b≧13 でなければいけません。

ここで,次の一手を繰り出すためには,またある重要な点に気付かなければいけません。
いきなり気付くのは大変かもしれないので, b=13,17,19,23,29,31 あたりについて
b±10 の値を調べてみます。

b=13 ⇒ (b-10,b+10)=(3,23) (←条件満たしますね)
b=17 ⇒ (b-10,b+10)=(7,27) 
b=19 ⇒ (b-10,b+10)=(9,29)  
b=23 ⇒ (b-10,b+10)=(13,33) 
b=29 ⇒ (b-10,b+10)=(19,39) 
b=31 ⇒ (b-10,b+10)=(21,41)

どれも,(少なくとも)片方は素数,もう片方は3の倍数になっています。
もしかして,必ずそうなるんじゃないか!? 
このような疑いの目を持ってみることが重要ですね。
ただ,必ず片方は素数になるという推論は残念ながら誤りです。
例えば b=59 ⇒ (b-10,b+10)=(49,69) なんかが反例です。
しかし,必ず片方は3の倍数になるんじゃないだろうかという推論は実は正解です~ kaeru_en2.gif

b≧13 より, b は3の倍数であってはいけません(3の倍数である素数は3のみです)。
したがって, b を3で割ったときの余りは1または2のどちらかになります。
ここでもやはり,両方の場合について考察してみることにしましょう~


h2_20140822163939367.jpg


b=3k+1 型のときは (a,b,c)=(23,13,2) に限られてしまうことが分かりましたね。
b=3k+2 型についても同様に調べてみます~ m_0025.gif


h3_20140822163939bf4.jpg


こちら側はありえないようです~


それでは今度は c が奇数だった場合はどうかという点について調べていきましょう~
先程は c=2 がすぐ確定してしまいましたが,今度は c の値はすぐには分かりません。
その代わりに, b-c-8  が偶数になるため, b-c-8=2 が確定します~ m_0185.gif

値がまだ分かっていないものは, a,b,c すなわち b+10,b,b-10 の3つです~
やはり b±10 が素数になればいいということになっちゃうんですね。
この3つはいずれも正の奇素数でなければいけないので, b≧13 でなければいけないことも同じであり,
b=13 のときのみ条件を満たすことも共通です~ m_0245.gif


h4_20140822163940b11.jpg

h5_201408221639404b2.jpg



そんなわけで無事に正解に辿り着きました。
実験なしで気付けること,実験しながらだと気付きやすいこと両方がポイントに含まれていて
面白い問題だったと思います~
b+10,b,b-10 の3数から3で割った余りに着目するという流れはなかなか気づきにくいですね~ m_0244.gif
b が5の倍数ではないなってことくらいはピンときそうですが,それに気付いたところで
なかなかそれ以上の実のある情報は得られません~

ただ,答案の書き方によっては3で割った余りに着目することが多少見えやすくなることはあります。
それを一つ試してみましょう~

h6_2014082216394110c.jpg

このように, a=2k+9 という形からだと k が3の倍数だとまずいなってことには気付きやすくなりそうですね rabi_shy.gif



h7_20140822163956a16.jpg
h8_2014082216395625b.jpg
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