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単元別 学習のポイント:2次関数 その1

2014.09.30 17:39|数学
どもども。


さて今回は,単元別に学習のポイントを大雑把にまとめていくシリーズの第1弾で
2次関数編をやってみたいと思います~~ らっこ

「数と式」と「2次関数」は高校数学の入門編として待ち構えている単元で,
中学校までの数学とのギャップを大きく感じるであろう箇所であるかと思います。
それまでは解答欄に答えの値だけ書いておけばよかったかもしれませんが
高校数学では基本的に解答欄がだだっ広く,答えに至るまでの過程を細かに論述しなければいけません。
また場合分けを伴う問題というのも登場し,数学が苦手な人にとっては大変苦しめられることになるでしょう~
「高校数学ってこういうものなんだよ~ 」という雰囲気を感じ取ってもらうのには,まぁ最適の単元なのかもしれません~

そして,「数と式」「2次関数」で学ぶ内容はその後の単元で,これでもかってくらいしょっちゅう顔を出します
つまりこの先の数多の単元を学んでいくにあたっての下準備の役割も兼ねているわけですね~
例えば判別式を使う議論なんかはいたるところで出てきます。
また,「2次関数の単元でやった問題」をアレンジした発展版の問題もよく出てきます。
例えば放物線と直線の共有点の個数を調べて2次方程式の解の個数を求める問題は,
その後,様々な形の関数に品を変えて出題されます~
2次関数が3次関数になろうが指数関数になろうが,解法の方針はいつも一緒です。
したがって,このはじめの2単元の問題を征服しておくと,その発展版の問題が出てきても
方針を立てやすくなります。逆にここでつまずいてしまうとその後もずっとつまずき続きかねません。
多少苦しくても何とか早いうちに絶対に克服してしまいたい箇所だということができます~ sosu.gif

さて,では具体的に「2次関数」の単元に出てくるしっかりおさえておきたい
ベタな項目たちを挙げていくことにしてみましょう~~ senpuki04.gif




 2次関数を取り扱う上で,絶対に必要不可欠な動作が平方完成です。
グラフを描くにしても,最小値や最大値を調べるにしても,これができなきゃ話になりません。
まずは徹底的に平方完成の練習をして慣れておきましょう~
 のような係数が複雑なものでも正しく変形できるようになっておきましょう~
また  のような文字定数を含んだ2次関数も
平方完成できるようになっておきましょう~ sakura.gif


 平方完成ができたら,その式からグラフの頂点の座標軸の方程式などが読み取れなければいけません。
更に,下に凸なら最小値,上に凸なら最大値も読み取れますね。
そしてグラフを描くという動作も絶対できなきゃダメです~


 2次関数の単元の問題では「少しでも方針に迷ったらグラフを描いて考える」が鉄則です~ onegai03t.gif
まぁ方針に迷わなくてもグラフを描いて考えて欲しいんですが~
2次関数の単元の問題は多くの場合において,
グラフを使って視覚的な情報を取り入れながら考え理解していくことが有効です~
もちろんグラフ不要の問題もありますけどね。
ただ,2次関数でつまずいている人を見ていると,
そういう人に限ってグラフを描いて考えることを面倒臭がってやらない傾向があります


とは言っても,どのようなグラフを描くといいのかというのも場面ごとに異なるので,
グラフを描いて考えろと言われてもいまいちピンとこないということもあるのかもしれません。
正確には問題を解く上で必要な情報を含んだグラフを描くことが大事です ningyou.gif
0≦x≦1 における関数 y=f(x) の最大値を求める問題であれば,
グラフが上に凸か下に凸か, 0≦x≦1 の範囲に入ってるのはグラフのどの部分か
といった情報が読み取れれば良いので,軸の位置などの情報は重要ですが,
グラフと x 軸の交点だとかの情報は大して重要ではないので省いて構いません。
2次不等式   が常に成り立つような  の範囲を求める問題であれば,
下に凸の放物線が x 軸より常に上にあるような図を描いて,
「あー最小値が正だったらいいんだ」ってのを読み取ればいいわけです。


 関数 y=f(x) のグラフの平行移動対称移動に関してもしっかり理解しておく必要があります~
対称移動については x 軸に関する対称移動( y=-f(x) ), y 軸に関する対称移動( y=f(-x) ),
原点に関する対称移動( y=-f(-x) )をおさえておきましょう~
原点に関する対称移動がちょっとややこしいですが,これは元のグラフを x 軸に関して対称移動した後に
今度は y 軸に関して対称移動したものになっています~
平行移動については x 軸方向に+2移動と言われると,最初のうちは y=f(x+2) になるような
気がしてしまいがちです。 移動後の関数を y=g(x) とおくと,
g(2)=f(0), g(3)=f(1), g(4)=f(2) などの具体的な例を通して g(x)=f(x-2) という関係性を
納得していくと良いかと思います~ kusyami01.gif
2次関数の場合においては頂点がどこからどこへ動くのかに着目して問題に当たると分かりやすい場合があります
平行移動・対称移動は2次関数の単元に限らずよく出てくるのでここでしっかり理解しておきましょう~


 0<x<3 など特定の範囲における f(x) の値域を求める問題もよく出てきます~
これはまさにグラフを描いて考えるべき問題の典型例と言えます~

で f(x) の値域を求めるとしましょう。苦手な人が最も陥りがちなパターンは 
f(0)=-3 と f(3)=0 だけ計算して 答え: -3<y<0  としてしまうものです~
実際は,軸 x=2 がこの範囲に含まれていてしかも上に凸なので,
頂点のところで最大値1をとるため,値域は -3<y≦1 になります~
この手の問題は大体の場合,安易に -3<y<0 と答えると罠にハマるような出題のされ方をします。

似たような問題として特定範囲における関数の最大値と最小値を求める問題があります。
値域を求める問題とやる作業はほぼ一緒で答える内容が微妙に違うだけです。
グラフを描いて一番高いところと低いところの y 座標を読めばいいですね matuba02.gif
なお,上の例みたいに値域が -3<y≦1 だと最大値は1ですが最小値は「なし」になるので注意です。


 2次関数の単元で,前半の山場は場合分けを伴う最大・最小の議論です。
場合分けが必要な問題は「数と式」の単元でも,絶対値記号を含む計算・方程式・不等式の問題で
登場していますが,習いたての段階ではまだ圧倒的に不慣れなことでしょう。

文字定数の値によって最大値や最小値が変化するということがテーマの問題で,
関数の式が文字定数を含んでいるパターン,関数の変域が文字定数を含んでいるパターン,
関数と変域の両方が文字定数を含んでいるパターンがあります~
いずれのパターンにも対応できるようになっておかないといけません kinoko03(1).gif

文字定数の「定数」としての振る舞いと「変数」としての振る舞いの違いを理解するのがなかなか難しいです。
 の x≧0 における最小値 m を求める問題では
 のとき 
 のとき 
となります。  とか  は単純に数値の大小関係を表す不等式なのですが, 
x≦0 のような変数の変域を表す不等式として受け取ってしまうと,
なんで定数のはずの  が動いてるの?という誤解をしてしまいます
 は1つの固定された動かない値です。このとき  ごとに最小値 m の値が
決まっていくため, m は  の関数になっているという新たな視点が生じます。
この視点に立ったときに,初めて  は定数から変数へと昇格します。
なお m は,  のとき最小値  をとります。
「最小値の最小値」とか「最小値の最大値」とか,混乱してしまう人も多いです。
「変数といえばx」という先入観を持っていると危険ですね。
そのような場合, a とか k が変数になるということ自体が予想の斜め上になってしまいます。
着目すべき変数を表す文字が設問ごとに変わることもあるので,
常に「何の値」が「何の値」を変数とする関数になっているかを正確に見定める能力を養う必要があります。

また,2次関数が文字定数を含んでいる場合の問題で,始めのうちによくありがちなのが,
最小値を求める問題と最大値を求める問題とで,
場合分けの分岐点を同じにしてしまうということです。
最小値と最大値では場合分けの分岐点は異なるので注意してください heart21.gif
例えば文字定数を含んだ2次関数でグラフが下に凸であり,区間 0≦x≦4 における最大値・最小値を調べる場合,
場合分けの基準は最小値については「軸が区間 0≦x≦4 の中にあるかないか」
最大値については「軸が区間の中央 x=2 より右か左か」です。

場合分けの基準や,いくつの場合に分岐するかなどといった話は問題をいくつか解いていると
経験則的にだんだん分かってくるので,慣れてくるとワンパターンのように感じてくるはずです。



 2次関数の決定の問題も定番です~
これは,様々な条件が与えられて,それを満たす2次関数の方程式を求めるというタイプの問題です。
中学校で1次関数を習ったとき,「点(1,2)を通る傾き4の直線の式は?」みたいな問題をやったと思いますが
それの2次関数版と言ったところでしょうか~
1次関数のときは,「 y=ax+b 」とおいて,与えられた条件から a と b の値を求めるという流れで問題を解きました。
2次関数でも同様で,はじめに一般形で表して条件から係数を決定していくということが多いです。
一般形にあたるものが複数あるので,与えられた条件がどれを選ぶかを変えます。
通る3点が与えられているときなどは  とおきます~
頂点や軸などの情報が与えられているときは  のような形でおきます~
x 軸との交点が与えられているときなどは,  のようにおいたりすることもあります~
詳しくはこの辺にまとめてありますよ~
http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-131.html



 2次関数の単元の後半は,2次方程式の話からのスタートになります。
2次方程式の解と2次関数のグラフの関係性について理解しておくことが大事です。
直線と放物線の共有点,放物線と放物線の共有点の求め方を理屈とセットでおさえておきましょう~
時折,2つの関数の式を連立させて解けば交点を出せることは知ってるものの
何故その方法で交点が出るのかの理由が答えられない人を見かけます~

また,共有点の個数は0個,1個,2個のいずれかで,それを判別するために用いられるのが
2次方程式の判別式です。2次方程式  の判別式  は
 で定義されますが,これはこの方程式の解を解の公式で表したときに登場する
根号の中身のことです。つまり,  です。
解 x が実数であるためには,根号の中がマイナスではいけないので  でなければいけません。

冒頭でも触れた通り,判別式を活用した議論は高校数学のいたる箇所に出現します。
が,結局この判別式っていうのは,上の根号の中身の符号について論じているだけだったりします。
解の公式と判別式は, x の1次の係数 b が偶数や 2a など簡単な数式の2倍の形になっているときは
若干の簡約化ができる
こともおさえておきたいです hanaji03.gif

この判別式を用いた議論はあくまで2次方程式に対して行えるものなので,  の係数が文字を含んでいる方程式に対する考察では注意が必要です。
例えば方程式  が実数解を持つための k の条件は?と聞かれたときに,
単純に (判別式)≧0 としてはいけません~
k≠0 のときは判別式の議論で済みますが, k=0 のときは2次方程式にならないので判別式が使えません。
よって k=0 の場合だけは別個にして考察をしなければいけません( すなわち 1=0 に
なってしまうので不合理ですね)

また,判別式を用いた議論は対応する2次関数の頂点の y 座標の符号の話に置き換えることが可能です。
ただしこのとき,判別式の符号と y 座標の符号が一致しない場合があるので要注意です。
2次関数  のグラフが x 軸と交わらないための必要十分条件は,
判別式を用いると,2次方程式  の判別式 D について D<0
となりますが,頂点の y 座標に着目すると  となります。

この問題は2次不等式  が任意の実数 x に対して成り立つような
 a の範囲を求める問題と同義ですが,この不等式の「>0」に釣られて D>0 という条件式を立ててしまうミスも
非常にありがちです hana14.gif


また,2次方程式の解は2次式の因数分解にも役立てることができます~
2次方程式  の2解を α, β とおくと,
 という因数分解ができます~
2次式の因数分解はたすき掛けの方法で試行錯誤しながらトライするというのが
数と式の単元での手法でしたので,そんな面倒なのはパスして確実性を求めていきたいというなら
2次方程式を解いてしまうというのもアリだと思います~
「因数分解しろ」という問題だったら,まぁ因数分解できるんだろうという見込みを持ってたすき掛けやるわけですが
そもそも無理数を含まない形に因数分解できるかどうか分からない場面ではたすき掛けの吟味がただの徒労に
終わってしまうことも多いです。このような場面ではさっさと解の公式でも使っちゃうのが早いです。




2次関数の単元は重要項目が多すぎてまだまだたくさんあります。
続きはまた次回にしましょう~~ h-hokousya.gif



  
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2014年一橋大学前期入試 数学 第5問

2014.09.17 03:05|大学入試問題
どもども。

今回は今年の一橋大学入試の数学第5問をやってみます~



確率の問題ですよ~
数直線上の動点の座標がテーマになっているベタな問題ですね。

コインを投げて表が出たら「+1」の移動,裏が出たら原点に関して対称な点に移動というルールです~ akaname.gif

(1)はコインを3回投げて動点Pの行き先が原点になる確率を求める設問です~

コインを3回投げたときの表裏の出方は  (通り) しかありません。
これくらいだと,難しいことを考えずに条件を満たすものを拾い上げてくのが一番簡単だと思います~ bakeneko.gif


l1_201409161603280f4.jpg


(2)はコインを4回投げて  となる確率を求める設問です~

今度は表裏の出方は  (通り) です。
まあ,まだ何とか拾い上げ方式でも対応できそうです~
5回になると32通りもあるのでぼちぼちしんどくなりそうですが~…

l2_20140916160328a24.jpg

16個分も検証するのがめんどくせーーということもあるでしょうし,
(3)に向けての方針立ての考察も兼ねて,もう1つベタなアプローチ方法を挙げてみます。

4回の操作で行き先が点「+1」となるためには,3回目を終えた時点でどこに居るかということが重要です。
4回目で表が出て「+1」に行き着くためには  でなければいけません。
4回目に裏が出て「+1」に行き着くためには  でなければいけません eto_tora.gif

前者については(1)の結果が利用できますね。
後者については(1)の考察と同様に8パターンの中から  となるものを見つけていけばよいです~


l3_20140916160329bca.jpg
l4_201409161603299a3.jpg



さて(3)ですが, n≧3 において  となる確率  を求める設問です~


何に着目するかで解法が変わってきます。ここでは3通りの方針について考察してみます~

 方針1: 確率漸化式を立てて考える

「 n 秒後」 とか 「 n 回目」 とかのキーワードが出てくる確率の問題ではしばしば
漸化式を立てて問題を解くという手段が有用になります~ kudan.gif

今回は  と  の間に成り立つ関係式を求めていきたいと思います~

その際に使うのが先ほど(2)で使った方針と同様の発想です~
(n+1) 回の操作後に点「 (n+1)-3 」にいるという状況が起きるには,
n 回目の操作を終えた時点で点「 n-3 」にいるか点「 2-n 」にいるかの
どちらかでなければいけない
のです~

前者の確率は  を用いて簡単に表せます~
一方,後者の確率については,  を用いずに普通に求めてしまうことができます~
というのも, n 回の操作を終えて点「 2-n 」に行き着くパターンって1通りしかないからです。
点「 2-n 」に到達するには,少なくとも1回は裏が出なければなりませんが,
特に, n 回目までの操作のうちで最後に出る裏はPの座標が n-2 以上の点でのときであることが必要です。
しかし,その座標が n-1 以上の場合, n 回までの操作で点「 2-n 」に辿り着けません。
よって,点「 n-2 」で裏を出して点「 2-n 」に移動する場合に絞って考えればよいのですが,
点「 n-2 」に辿り着くには最短でも (n-2) 回の操作が必要です。
1回目から (n-2) 回目まで表のみが出続けたとすると  になりますが,
この場合  または  になってしまい,どちらの場合でも  になり得ません。
そんなわけで,1回目に裏、その後 (n-2) 回連続で表が出るパターンしかあり得ないってことになるんですね kojika.gif


l5_201409161603302f8.jpg

 型の隣接2項間漸化式が出てきましたが,
これは  と変形して数列  の一般項を考えるか,
もしくは  と変形して数列  の一般項を
階差数列を利用して求めるというのが鉄板ですね~ korobo.gif




 方針2: 表が出た枚数に着目して場合分け

今度は漸化式を立てずに直接に  を求めてみたいと思います~

 であるためには, n 回の操作のうち,
少なくとも (n-3) 回は表が出なければならない
ことに着目します~ kuma_fly.gif

これはつまり,表が出た回数を X とおいたとき, X の取り得る値の候補は
X=n-3, n-2, n-1, n の4パターンしかあり得ない
ということなのです~

それぞれについて場合の数を考察していきましょう~

X=n-3 のときは裏が3回だけ出ることになります。
n 回の移動の中で |X| の値が減ってはいけないので,
裏は1回目と,あとはその後どこかで2回連続で出るというパターンに限られます~

l6_2014091616033071b.jpg
l7_201409161603522b7.jpg



X=n-2 のときはどうでしょうか。裏が2回出る場合です。
実はこのパターンはあり得ません。
それを実証するために, 2回の裏が s 回目と t 回目(ただし s<t )だということにして
具体的に  を n, s, t の式で表して検証してみると良いと思います~ ladybug.gif



l8_20140916160352af9.jpg


残りは X=n-1 と X=n のパターンですね~
前者については,裏が1回出ることになりますが,
その出る場所は2回目に限られてしまいます~
後者については全部表が出るということですから  になってしまいますね~


l9_20140916160353456.jpg
l10_20140916160353fe7.jpg



 方針3: 初めて表が出るのが何回目かに着目して場合分け

方針2でみたように,表の出る回数は (n-3) 回以上という制約があります。
ということは初めて表が出るのが遅くとも4回目でなければいけません~ m_0060.gif


初めての表が Y 回目であるとして,
Y=1,2,3,4 で場合分けして考えます~

Y=1 の場合は1通りに限られます。
全部表だと  になってしまうので最低1回は裏が出なければなりませんが,
裏が出ることが許されるのは2回目の操作のときのみに限られてしまいます。

Y=2 のときは裏が1回目の他に途中どこかで2連続で出なければいけません。

Y=3 は不可能, Y=4 は Y=2 でいうところの連続裏というのが2回目3回目に来ているパターンに相当します

l11_20140916160354047.jpg

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2014年一橋大学前期入試 数学 第4問

2014.09.02 15:51|大学入試問題
どもども。

今回は今年の一橋大の数学第4問を考えてみます~



図形と計量の問題に関数の最大・最小を混ぜてきたような問題になってます~

直円錐に半径 1 の球が内接しているというシチュエーションです。
底面の円の半径は r で,これを変数として直円錐の表面積 S の最小値を求めよう
という趣旨の大問になっていますよ~

まず第一におさえておきたいのは,
半径 1 の球が内接できる直円錐には,底面の円の半径に制限があるということです~
具体的にいうと, r>1 でないといけません~ tree02(1).gif

0<r≦1 のときは直円錐が成立しません~

k4_20140902143354be8.jpg


さて,この直円錐と内接球を,底面の円の直径と円錐の頂点を含む平面の1つで切断して
その断面を考えてみましょう。
三角形とその内接円が現れます~

k1_20140902143352dff.jpg

直円錐の表面積の計算をする上で,母線の長さ x が知りたいので
これをどうやって求めるかという問題に直面します。
色々な求め方があると思うのでここでいくつか考えてみたいと思います tawa02.gif



 方針1:△OAH∽△OIC に着目する

相似な直角三角形が幾つか見つかるので,それらの間に成り立つ線分比の関係を使って
立式するという方針がとりあえずベタなところかと思います~

無理方程式が現れるような形になりがちなので,同値変形に注意して変形してくださいね。

k2_20140902143352bf7.jpg
 k3_2014090214335398e.jpg

r>1 なので r^2-1>0 なので r^2-1 で割っても構いません。



 方針2:△OAB=△IOA+△IAB+△IOB に着目する

内接円の半径を求めるときに, △OAB=△IOA+△IAB+△IOB に着目する発想をよく使いますね suika.gif
いまは既に内接円の半径は 1 だと分かっているので,
△OAB の2辺 OA, OB の長さを出すためにこの発想を使ってみましょう~

k7_201409021434241ec.jpg


これで方針1のときと同じ式が現れました。
あとは同様に処理してください~


 方針3:角の二等分線の性質に着目する

無理方程式にならないような解法を考えてみましょう~
I は △OAB の内心なので, ∠OAI=∠HAI が成り立ちます。
このため, AO:AH=OI:HI が成り立ちますね syumai.gif

また,直線 AO, AH は △OAB の内接円の接線になっているので
AC=AH=r です。よって OC=x-r が成り立ちます。
これらのことと三角形の相似関係から立式すると,
はじめから x に関する1次方程式になります~

k8_20140902143424bdf.jpg


 方針4:三角関数の公式を使う

∠OAI=∠HAI が成り立つことを利用した別解法を考えてみます。
∠OAH=2∠IAH だということになるりますね~
cos∠IAH や tan∠IAH などは r だけの式で容易に表せるので,倍角の公式を利用して
cos∠OAH も r だけの式で表せそうです~ sosu.gif
これを利用してみましょう~

k9_20140902143425c35.jpg



それではぼちぼち先へ進みましょう~
母線の長ささえ分かってしまえばあとは表面積の計算は容易です~
底面の円の面積と側面積を足すわけですが,
側面積を考える際は,展開図に現れる扇形の面積として捉えるのが一般的ですね~

下図の扇形 OPQ の面積は 1/2・x・弧PQ で求められます~
弧 PQ の長さは底面の円の円周と等しいことに注意です~ saboten.gif


k5_20140902143354212.jpg


また,扇形の中心角を求めて考えても構いません~~


k6_20140902143355561.jpg



ここからは(2)です~
表面積 S の最小値を求める設問です~

r の分数式になっているのでちょっと厄介ですね。
ここでもいくつかの方針が立てられそうなので,何個か挙げてみることにします~


 方針1:相加平均と相乗平均の関係を使う

分子の方が次数が2だけ大きいので,2次式を分数式から離脱させることが出来ます~
このようなときは相加平均と相乗平均の関係式を使える場合が多々あるので
今回もちょっとそれを検討してみましょう~ piman.gif




となるのですが,このままの状態だとどうも相加平均と相乗平均の関係式は使いづらいですね。
r を含む部分がキレイに約分されるときに有効な結果が得られますからね。
でもちょっと工夫をすれば今回の問題でも有効活用が出来るようになります。



このようにしてしまえば良いのです。

分母に揃えて離脱した2次式の方をいじくってあげるという手はよく使います~ ningyou.gif



k10_201409021434257ed.jpg
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等号成立条件をよく確認して,確かに S=8π となる r が存在するならば
そのとき初めて S の最小値は 8π だと結論づけて良いことになります。
くれぐれも等号成立条件を確認し忘れないようにしましょう~ kusyami01.gif



 方針2:分数関数の微分を用いて増減を調べる

作戦で悩みたくないので S を分数関数とみなして微分を用いて最小値を考察するというのも有効です
ただし,数IIIの知識が必要になるので,文系の生徒はこの方針は使いづらいことでしょう><

計算の簡約化のため 2π を省いてみたり変数変換をしたりしておくことも良いかもしれません。
下の例ではそれを実行しています。

k12_2014090214342626d.jpg



 方針3:2次方程式の解の配置問題に帰着させる

方針2と同様に,簡約化のため  という置き換えをしておきます。
  とおき, k の最小値を調べるため,そもそもの k の取り得る値の範囲を考察してみます。

 と変形できますが,これを t の2次方程式とみなすと良いです。
この方程式が t>1 を満たすような解を持っているための k の条件を求めるという話に移行します katudon.gif

2次関数  のグラフの位置関係について条件式を立てて求めると良いですが,
k の値によらず g(1)=1 であることに着目すると場合分けなどなく処理できます

k13_20140902143438eee.jpg


 方針4:  の2次関数に帰着させる



と書けることに着目します~

 とおくと S の分母は X の2次関数になっていて,
しかもちょっと考察すれば分かりますが常に値が正です。
この分母が最大のときに分子は最小になります~ katorisenko02.gif



k14_20140902143438a4e.jpg

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