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単元別 学習のポイント:2次関数 その2

2014.11.05 16:23|数学
どもども。

前回の続きをやっていきましょう~ げろ

2次関数の単元の学習のポイントをつらつらと挙げていきます~


 2次方程式についての話の途中までやっていました。判別式の話題でしたね~
もうちょっとだけ補足しておきたいなと思います~
(判別式)≧0 は2次方程式が実数解を持つ条件として理解されていますけど,表現を変えると
「この等式を成り立たせる何らかの x が少なくとも1つ存在する条件」ってことになりますよね。
この発想に基づいて問題が解けるという場面が,一見2次関数とは無関係そうな箇所で出てくることがあります~ akaname.gif
例えば,関数  の値域を求める問題~
数 III の問題としても処理できますが,2次関数の知識でも処理ができます~
もしも  という数が値域に含まれているとずれば,何らかの x=α があって  が
成り立たねばなりません。分母を払って整理すると  が得られるので,
α は方程式  の解になっています~
よって,方程式  が実数解を持つような y の範囲が
そのまま求めたい値域になっているということが分かります~
y=0 のときは2次方程式にならないので判別式の議論が使えませんが, 
y≠0 のときには判別式を使って処理ができます~

なお,最小値を出す分には,相加相乗平均の関係式を用いて求めることも可能です~

 2次方程式に関しては解と係数の関係もまた抑えておきたいポイントです~
数 II でも取り扱うのですが,数 I の段階で身につけておいて良いかと思います~
 の2解 α, β に対して, 
が成り立つというものですよね~
思ってる以上に出番が多い関係式です~

2次方程式の解に関する条件が与えられたときは威力を発揮します~
(例:「2解の差が1」「2解の比が3:4」)
2解 α, β が無理数を含む面倒な値で, α と β を含む何らかの式の値を計算しなければ
ならない場合にも威力を発揮します~
積分で出てくる  などでは,  を 
として解と係数の関係を用いるという変形がしばしば使われます~
解の公式から  が成り立つことも容易にわかるので
これを利用する方針も使えます~

また,ある2数 x, y の和 x+y と積 xy の値が分かっているとき(それぞれ p, q とすると),
この2数 x, y は t の2次方程式  の解として求められるという話もよく出てきます~ bakezouri.gif

実変数 x, y に対して変数変換 u=x+y, v=xy もよく出てきます~
新しい変数 u, v は任意の値を動けるわけではなく,  が実数解を持つ条件 
 を満たさなければいけないということに注意する必要があります~
判別式はここでも役に立ってますね~

 2次方程式の周辺知識を手に入れた後には2次不等式の問題が待ち構えています~
はじめは2次関数のグラフを使って理解を深めるのが良いと思います~ benibara.gif
例えば,  という2次不等式は,2次関数  のグラフを考えて,
y≧0 を満たす x の範囲を探すということを通じて x≦1,5≦x という解を導くことができます~
(  )(  )>0 型は解が x<●,▲<x で,
(  )(  )<0 型は解が ●<x<▲ の形になる!!
という乱暴な覚え方は非常に危なっかしいのでやめたほうがよいです~
そういう覚え方をすると,  のような問題が出てきたときに
 より,  と答えてしまいかねません~
 の係数が負の数であるときは係数が正になるように1回両辺を-1 倍しておくのがオススメです~ curry.gif

また,2次不等式は解が「実数全体」や「解なし」や「x≠3」や「x=3」などちょっと変わった形に
なってしまうことがあります~
不等式なのに x=3 とはなんぞやみたいな気味の悪さとかもあるかもしれないですね~
そのような特殊例なんかの理解にもグラフを用いて考えるという操作は大変重要です~
 だと解は「実数全体」,  だと「解なし」になりますが,
左辺=0とした2次方程式が実数解を持たないことがわかった時点で短絡的に「解は実数全体!」と
決めてかかるようなことはしないようにしましょう~理屈を理解してないと躓きがちです。

連立不等式の場合は,複数の不等式の解の共通部分を最終的に求めなければいけません~
数直線上にそれぞれの解を表示して共通部分を見つけ出すという操作に慣れておきましょう~

 2次関数の定番応用問題の類をみていきましょう~
2変数関数の最大・最小パターンがよく出てきます~
条件なしバージョンと条件付きバージョンが有りまして,まず条件なしバージョンとは
「  の最小値を求めよ」のような類のもので
最初は x または y のどちらかを定数だと思って1変数の2次関数の最小値を出します。
y を定数だと思うと,  となり, x=-y のとき
最小値  を取ることがわかります。この最小値は,今度は y が動いたときに
 より y=-1 のとき最小値2を取ることがわかり,全体の最小値も2であることがわかります。
慣れてくるとこれを一発で  と計算してしまいます。
この問題は「 x と y 」の2変数関数と思うから真新しく見えますが, y を a に置き換えて
 と書いてしまうと,実は文字定数を含んだ2次関数の最大・最小問題と
全く同じ問題だったことに気付かされます~ こっちの形だと迷うことなく方針が立てられるのに 
a が y になっただけで途端に解けなくなるという不思議な現象がしばしば見受けられます~ cutlet.gif

一方で条件付きバージョンとはどういうものかというと例えば
「 x+y=1 のとき  の最小値を求める」のような問題です。
x と y という2つの変数が入った関数ではありますが条件式から文字を1個消去できるので
いつもやってる1変数の2次関数の話に帰着できるというわけです~
「図形と方程式」の単元ではまた別解が出てきます~
「  のとき x+y の最大値・最小値を求める」だと x+y=k とおいて
y=k-x を条件式に代入して判別式という手法を取り,
「  のとき  の最大値・最小値を求める」だと,  により
 が消去できますが,変数の置き換えの際,  の条件から  が成り立たねば
ならなくて, x の動ける範囲が -1≦x≦1 に制限されてしまうということが起きます eto_inu.gif
変数変換に関しては次の項目でまた触れることにします~~

2変数の式に関しては,因数分解の問題もたまに出題されることがあります~
「  が x と y の1次式の積に因数分解されるときkは何?」
のような問題です~
これもまずは y を定数と思って x の2次式だと思って因数分解しようと考えると,
解の公式から 
が得られます~ 根号の中が完全平方式になっていれば問題の条件を満たしますね~
そこで ( の判別式)=0 で立式して k=3 を求めることができます~
また,  に着目すると,
与式は  の形に因数分解されなくてはならないことから
展開式の係数比較により α=3, β=1 を求めて k=3 を出すという手も使えます。

 変数変換によって2次関数の問題に帰着できるというパターンが結構有ります~
三角比や三角関数の単元では のような関数が出てきて 
 と置き換えますし,指数対数の分野では  のような関数が出てきて
 のように置き換えます~
その辺りのことは後々その単元の話題の際に触れることにして,
2次関数の単元の中でも置き換えで対応するような問題が出てくることがあります~
 のような複2次式で最小値を求めるときは  の置き換えをし,
相反方程式(係数が左右対称に並んでいる) 
を解く問題では, x=0 が解でないため x≠0 としてよいことから両辺を  で割って変形して
 とし,  とおきます~

変数変換を行ったら新変数が動ける値の範囲を確認しておく必要があるので注意してくださいね~ heart2_glitter.gif
例えば  と置き換えたときは, t の動ける範囲は t≧0 に制限されています~


 変数の置き換えとは別に,関数の中に2次関数が隠れてるときに2次関数への帰着ができる場合があります~
例えば,  という関数の最小値が知りたいとき,
直接 f(x) のまま考えてしまうと無理関数になってしまうのですが,根号の中身が最小のとき f(x) も
最小であることに着目すれば2次関数の考察で話が済んでしまいます~
 のような関数でも分母に着目しようという作戦で2次関数に帰着できます~

 方程式の解の個数問題も定番です~
 のような2次方程式の実数解の個数は判別式の符号で区別できますが,
 のような方程式では,判別式による処理のほかに
「文字定数の分離」で処理する方法があります~ kaeru_en1.gif
 と変形し,2次関数  のグラフと直線  の共有点の個数を
k の範囲ごとに調べるという手法ですね。2次関数以外の場合でも使える手なので要習得です~
変数の置き換えをしている場合は新変数と元の変数との間の対応関係に注意する必要があります。
 の変換の場合, t>0 なら1個の t につき2個の x が対応し(), 
t=0 のときのみ x は1個だけ対応します。

 絶対値を含んだ関数の扱いは苦手な人が多いのではないかと思います~
 のグラフを描くような問題では,  のグラフを描いて
x 軸より下の部分を対称に折り返してやると良いですね~ m_0032.gif
 のような関数では単純な折り返しでは処理できないので
丁寧に絶対値記号を外して考えていきましょー。
これらのような絶対値を含んだ関数の条件付き最大・最小問題や,方程式の解の個数問題も
よく出てきますので対応できるようにしておきましょう~


 では最後に2次関数の単元のラスボス的位置に載ってる「解の配置問題」に触れておきましょう~
2次方程式の解に関する条件が与えられる問題です~
2次方程式  が「相異なる2個の正の解を持つ条件」とか
「正の解と負の解を1個ずつ持つ条件」とか「少なくとも1個正の解を持つ条件」などを求めさせるものです~
 とおいて, y=f(x) のグラフがどのような配置になっていればよいかに
着目して条件を立てていくというのが定番手法です~ m_0100.gif
必要になる条件数は設問ごとに異なり,最初の例のタイプでは「判別式もしくは最小値」「軸の位置」「 f(0) の符号」の
3要素に着目しなければいけません。一方で第2の例は「 f(0)<0 」のみで済んでしまいます~
第3の例は場合分けを要したりします~(余事象的なものを考える手もあります)
いずれにせよ,「図が描ける」+「そこから必要な条件を読み取れる」という能力が必要ですので
鍛えておかなければいけません~
なお,解と係数の関係を使って条件式を立てることも可能です~
例えば相異なる2個の正の解を持つ条件は, α+β>0 かつ αβ>0 です~





とりあえず2次関数の単元のベタな項目を挙げてきましたが,一旦ここまでにしておきます~
またそのうち追記や編集などを行うかもしれないですが~

また時折,ほかの単元について同じようにベタ項目を列挙していこうかなーと思います~ m_0103.gif




  
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

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