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2015年センター試験数学1A (旧課程)大問3

2015.02.21 23:37|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター1A旧課程の大問3を見てみます~


「三角比」+「図形の性質」の問題です~
新課程では「図形の性質」は選択問題になったため,この融合形式の出題は一旦これが最後になりました~

極端に考えにくいという設問はなく,取り組みやすかったのではないかと思います~

はじめは△ABCについて, cos C と sin C の値をそれぞれ求めます~
3辺の長さが分かっているので,余弦定理を用いるのが無難でしょう~
C=60° と分かるので,三角比の相互関係などを持ち出すまでもなく sin C の値は分かります。

△ABCの外接円の半径も問われています。
sin C の値も求めてあることですし,正弦定理を使って求めておくと良いと思います~

外接円半径を用いた三角形の面積の公式を利用することも可能です。

また,正弦定理を導く手法であった三角形の相似を用いた解法もあります。


d1_201502212137117de.jpg

d2_2015022121371146d.jpg


次は,はじめの図の斜線部分の面積を求める設問です~
△ABCの外心をOとして,扇形OABの面積から△OABの面積を引けばよいです~ s2_sum_hotaru.gif
∠C=60° だったので,扇形OABの中心角はその2倍の120°です。
よって,円全体の面積の1/3として扇形の面積が計算できます~
(弧の長さ)×(半径)×1/2 で求めても構いません~

d3_201502212137125ed.jpg


ここから図形が少し複雑になってきます~
辺BCをCの側に延長して CD=5 となる点Dを取ります~
このときADの長さを出せという設問ですが,
∠ACD=120°,CA=3,CD=5 ですので,これは前回に触れた3辺の比が3:7:5の鈍角三角形です~
よく出てくるよ~ と言ったそばから早速出てきました。
それに気づけば何も計算せずに AD=7 と求めてしまうことが出来ます~ xmas_tonakai.gif

気付けなかったとしても△ACDに余弦定理を使って一瞬なので大丈夫です~

d4_20150221213713843.jpg

△ABDに余弦定理を使ってADを求めるという方針でもいいですね~
その場合は一旦 cos B を求めるという過程を挟まなければいけないですが~

d5_201502212137136de.jpg
d6_2015022121371414f.jpg


また,Aから辺BCへ垂線AQを下すと,内角が30°,60°,90°の直角三角形ACQが現れるので
それを利用すると高校の知識を用いずしてADの長さを出すことが出来ます~ xmas_winebottle.gif



d7_2015022121374617b.jpg


さて次は△ACDの外接円を考えます~
図を描く際,この円が大きくてスペースが足りないなあと思ったら,円を一部だけ描くのが有効です。
直線ABとこの円の交点のうち,Aじゃない方をEとして,線分AEの長さを求めるのが次の設問です~

方べきの定理の出番ですね。
BA・BE=BC・BD が成り立ちます~ aicon_bbs17.gif

なお,方べきの定理ってのは結局のところ相似な三角形の辺の比の関係式なので,
方べきの定理の発想が浮かばなくても△ABC∽△DBE に着目して 
BA・BE=BC・BD を導いても良いですね。 

d8_201502212137473b7.jpg

この相似関係を用いない方法も考えてみましょう~
DからBEに垂線DHを下してみます。2つの直角三角形BDH,EDHに着目する手があります。
特に ∠ACD+∠E=180° から ∠E=60°であることが分かるので
△EDHは内角が30°,60°,90°の直角三角形になっています。

d9_201502212137478b8.jpg


次の設問に進みましょう~
△ABCと△EBDの面積比を求める問題ですね。
いくつか考え方がありそうです。

まずは三角形の相似に着目してみます~
△ABC∽△DBE であることはさっき触れました。
その相似比は  です。相似な図形の面積比は相似比の2乗という性質を使うことが出来ます~ aicon_bbs20.gif


d10_20150221213748144.jpg


今度は底辺分割の原理に着目してみます~
高さの等しい2つの三角形の面積比は底辺の長さの比と一致してしまうというおなじみのアレですね b-drive.gif

d11_201502212137480d4.jpg


相似とか底辺分割とかテクニカルなことを考えずに,シンプルに面積公式に当てはめちゃえばいいじゃん kinkan.gif
ていう発想もあながち馬鹿には出来ません~
結構簡単に答えが出てしまいます~~


d12_20150221213749169.jpg



それでは最後の設問です~
△BDEの重心をGとして線分DGの長さを求めてくれというものです~

唐突に重心が出てきました。
重心といえば3本の中線の交点ですから,とりあえず中線でも引いてみるべきだろうと考えるかと思います。
そうすると,よく見たら BA=AE なのでAが線分BEの中点になっていることに気が付きます。
てことは線分DAはもともと中線だったんですね~

重心の性質として, DG:GA=2:1 というのがあります。
ADの長さは既に7だと分かっているのでもはやDGの長さを出すのは楽勝です~ jyugon.gif


d13_20150221213803e1a.jpg


三角形の五心,どれがどれだか混同してしまったり,中線の交点であるということを忘れてしまったり
DG:GA=2:1 の性質を忘れてしまったり,そういう困った人でも,
重心の座標とか位置ベクトルの公式だけはなぜか覚えているという場合がたまにあります。
1Aの範囲ではないですがベクトルを使って強行突破というのも悪くないですね nezumi02.gif



d14_201502212138038f0.jpg






    
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2015年センター試験数学1A (新課程)大問2後半

2015.02.16 02:46|大学入試問題
どもども。


今回は今年のセンター1Aの新課程大問2の後半の三角比の問題を考えてみます~



新課程では「三角比」からの出題はこの部分だけになっています~
一応,選択問題で「図形の性質」の問題もありますが,場合の数と整数を選んだ場合は図形はここだけになります。

旧課程では「三角比」+「図形の性質」の融合で1大問独立してたので,
図形が苦手な人にとっては新課程版の出題のされ方は解きやすく感じるかもしれないです。
1大問の半分なので設問数が少ないだけでなくあまり複雑な問題にもならなさそうですしね~


さて,まず序盤は3辺の長さが3,7,5の三角形に関する考察です~
3辺の比が  の直角三角形や,  の直角二等辺三角形はおなじみすぎますが,
3:7:5 の鈍角三角形も実は結構この単元では登場率が高いです~ eto_ushi.gif

なぜかというと,鈍角の大きさが120°になっているからです~
3辺の比が整数比になっていてなおかつ有名角が出てきて,そんでもって二等辺三角形でも直角三角形でもない
ということで,問題を作る側としては非常に使いやすい三角形です。
なお,旧課程1Aの大問3にもこの三角形が出てきます。


多くの場合,3辺の長さ3,5,7を与えて120°という角度を答えさせるんですが,
今回は長さ7を求めさせる設問になっています~
予備知識があれば一切計算せずに瞬殺できますね

sin C の値は先に cos C の値を余弦定理を使って出しておいてから
三角比の相互関係を利用して求めることができます~

 の類の計算では下の例のように  型の計算過程になることが多いですが,
X と Y にあたる数字がやたらとでかい場合は因数分解を利用すると効率が良いことがしばしばあります。
196-169くらいなら特に大した計算でもないのでそのまんまやっても気苦労はありませんが~


c1_20150216011902829.jpg

cos を経由するのが面倒だというなら,以下のように3辺の比が  の直角三角形ABHを作りだして
直角三角形ACHにおいて   から求めるという手もあります~ isona.gif


c2_20150216011903454.jpg



△ABC の面積を2通りに表して,  
を解くという方法なんかもあります~ kaeru_en4.gif




後半の設問を考えてみましょう~
下図のように  となる点Dをとってみます~
線分BD上にPをとって△APCの外接円の半径 R を考えるのですが,
Pの位置によって△APCの大きさが変わってくるため, R の値もそれに応じて変動します。
R の値の取り得る範囲を求める問題です~

外接円半径を求め方としては,正弦定理を用いるのが一番ベタですね
△APCに正弦定理を適用することで, 

が得られますが,3つのうちどの辺と角のペアに着目するか悩みますね。

こういうときは辺の長さか sin の値か,一方が固定化されて変動しないものを選ぶべきです~ m_0001.gif
 は分母・分子両方が変動するため考察しにくいので却下です~
 のうちどちらかを利用しましょう~

まずは前者でいきます~
sin C の値が固定なので, AP が最も長いときに R は最大,最も短いときに R は最小です~ korobo.gif
最も短くなるのは AP⊥CD のときであることは簡単ですが,最も長くなるのはどんなときでしょうか。
△APH に着目して,  であって, AH の長さは固定なので, 
PH が最も長くなるときを考えれば良いことになります~


c3_201502160119038e9.jpg

  c4_20150216011904625.jpg


AP の長さが最短・最長になるときを図形的考察から見い出しましたが,
計量的に求めることも出来ます~
例えば, BD=x とおいて,APの長さを x の関数にしてしまうことが出来ます~
あとは2次関数の知識で処理できます~


c6_20150216011905f46.jpg




では次に,  に着目してこの問題を解いてみましょう~
今度は AC の長さが固定で,また sin∠APC>0 なので, sin∠APC の値が最小のときに R は最大,
最大のときに R の値は最小です~

∠APC=90° のときに sin∠APC(=1) は最大,
PがHから離れるほど ∠APC の大きさは小さくなるのでPHが最も長いときに sin∠APC の値は最小です。

c5_201502160119045fc.jpg





ところで,外接円半径を求める方法としては,三角形の面積に着目する方法もそういえばありますね。
 の形の公式は見覚えありますか?
△APC にこれを適用してみる手もあります。最後にこれを試してみましょう~m_0100.gif

BP=x とおいてみます。 △APC の3辺の長さ及び面積は x を用いれば全て表すことが出来ます。


c7_20150216011919e0d.jpg

上の流れでは PH の長さの部分で場合分けしていますが,  
とさらっと済ましてしまうことも出来ます。


c8_20150216011920d3e.jpg

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2015年センター試験数学1A (旧課程)大問2 と (新課程)大問1前半

2015.02.12 00:08|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター1Aの旧課程大問2および新課程大問1の2次関数の問題を考えてみます~


旧課程と新課程,2次関数の問題は概ね共通です~
若干,旧課程の方は設問の数が多いです。
2次関数の単元内のベタな基礎問題の寄せ集めで構成されている点は例年通りと言えます~




それでは見ていきましょう~ akaname.gif

2次関数 f(x) は  のグラフを x 軸方向に p, y 軸方向に q だけ
平行移動したグラフに対応する関数として定められています~

一般に曲線 y=F(x) を x 軸方向に p, y 軸方向に q だけ平行移動した曲線の方程式は
y-q=F(x-p) になることが分かっていないといけません~
ただ,2次関数の場合においては頂点がどのように平行移動したかに着目する作戦もあります。

はじめは  のグラフの頂点の座標が問われています~
平方完成しておしまいです~

b1_20150211221725ecb.jpg


平行移動を考えることで,  になるわけですが
次は 2≦x≦4 における f(x) の最大値が f(2) になるための p の条件を求める設問です~

x の変域が制限された場合の最大・最小はグラフを描きながら考えるのが分かりやすくてよいです~ aobara.gif
というか,これに限らず2次関数の単元の問題は「少しでも方針に迷ったらグラフを描いて考える」
てのが鉄則ですけどね!

軸 x=p+1 が変域に含まれるかどうかがキーポイントになります。
含まれていれば頂点のところで最大値を取ってしまいますね。
軸より左側ではグラフは右上がり,右側では右下がりですので
最大値が f(2) と一致するためには軸が x=2 と一致しているか,
もしくは軸が x<2 の部分にあるか,でなければいけません。
つまり p+1≦2 であれば良いことになりますね~

b2_20150211221725a35.jpg


同様に,次の 2≦x≦4 における f(x) の最小値が f(2) になるための p の条件を求める設問を考えてみましょう~

「同様に」とは言いつつも,最大値と最小値の考察に関しては,場合分けの基準点が異なるので注意が必要です~ eto_i.gif
最大値についてはさっき触れたとおり軸が変域に含まれるかどうかが基準なんですが
最小値については軸が変域の中央 x=3 より右にあるか左にあるかに着目しなければいけません~

ちょうど軸が x=3 と一致するときには変域の両端 x=2,4 で最小値を取り,
それよりちょっとでも軸の位置が右になると f(2)<f(4) となり, f(2) が最小値になります~

b3_20150211221726d66.jpg


問われているのが最大値なのか最小値なのかによって発想を変えなければならないということは
しっかり認識しておきましょう~
なお,下に凸の2次関数が考察対象のときは発想が逆になるので気をつけてください~
最小値では軸が変域に含まれるかどうか,最大値では軸が変域の中央より右か左か,に着目しなければいけません~
ややこしいですねーーー


なお,上記の方法が極めて標準的な解法ですが,異なる解法も1つ挙げておきます~

2≦x≦4 において最大値が f(2) になるということは, 



が成り立つということですね。
y=(x-2)(x-2p) のグラフは x 軸と x=2,2p で交わる下に凸の放物線ですが
2≦x≦4 において常に y≧0 となるためには 2p≦2 であればよいので p≦1 が得られます~

一方,最小値が f(2) になるためには (x-2)(x-2p)≦0 が成り立てばいいわけですが
y=(x-2)(x-2p) のグラフについて 2≦x≦4 において常に y≦0 となるためには
2p≧4 であればよいので p≧2 が得られます~



次の設問に進みましょう~ 旧課程限定の設問です~
y=f(x)のグラフが点 (-2,0) を通るとき q を pの式で表します~
x=-2, y=0 を代入すればよいですね。

そのとき, f(x) の式の因数分解も答えなければいけません。
 の形の因数分解を利用すると簡単です~


b4_20150211221726dc4.jpg
b5_20150211221727df8.jpg


たすきがけの方法を使っても良いですね~

b6_2015021122172734a.jpg


そもそも, (-2,0) を通るということは x 軸のとの交点の1つが分かっているということなので,
f(x)=-(x+2)(x-★) の形に因数分解されることははじめから分かります~
軸の位置は x=-2,★ の真ん中を考えて x=(-2+★)/2 で,
これが x=p+1 と等しいので, (-2+★)/2=p+1 より, ★=2p+4
として求めるのもなかなか速いです~ kojika.gif


あとは解の公式を利用して f(x)=0 の解を求めてそれを利用するという手もあります~

b7_201502112218092e1.jpg



さて,最後の設問へ進みましょう~
こちらは新旧共通です~


不等式 f(x)>0 の解が -2<x<3 になるときの p, q の値を求めよ,というお題です。
2次不等式を解くのではなく,先に解が与えられているというパターンなので若干戸惑ったかもしれません~

y=f(x) のグラフと x 軸の交点の x 座標が x=-2,3 であり,
f(x)=-(x+2)(x-3) である場合を考察すれば良いことに気づけるかどうかがポイントです~ korobo.gif

そこまで分かれば,あとは頂点の座標の比較でも恒等式の性質でもなんでもいいので
p と q の値を求めちゃいましょう~

頂点に着目するとこんな感じです~


b8_201502112218104b8.jpg


係数比較を使うとこんな感じです~

b9_201502112218102a7.jpg


なお,旧課程の人は1つ前の設問の解答も利用できます~

y=f(x) のグラフが (-2,0) を通る場合に該当するので
f(x)=-(x+2)(x-2p-4) と表せるので, 2p+4=3 より p が求められます~


f(x)=-(x+2)(x-3) であることに着目しなかった場合,
すなわち無理矢理 f(x)>0 という2次不等式を解こうとした場合は
解の公式を用いて f(x)=0 の解をまず求めねばなりません。
ただその解は無理式になってしまうため処理が少し面倒です~ kudan.gif



b10_20150211221811497.jpg

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