プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

02 | 2015/03 | 04
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 - - - -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

2015年東大前期入試理系数学 大問2 その2

2015.03.30 12:25|大学入試問題
どもども。

今回は前回の続きです~~

問題はこちら~ ぺんぎんmini
tok2.jpg


前回: http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-232.html


確率の問題でしたね~
さいころを振る回数が n 回というパターンでしたので,
漸化式を使って考えるのがスタンダードだ,ということで前回は漸化式を立てて解くということを行いました~

しかしまぁ,そうなると漸化式を使わなきゃ解けないのかい?
っていう話にもなってきますので,今回はこの問題を漸化式を使わずに解いてみたらどうなるか
という一例を挙げてみる趣旨でやってみます~

(1)はさいころを n 回振って得られた文字列の左から n 番目の文字が「A」である確率を求める設問です。


前回を思い出して欲しいのですが「A」には左「A」と右「A」というものがあり,
n 番目が「A」だという場合,それが左右どちらの「A」なのかという問題が生ずるのでしたね!
したがって,下の説明の『ア』,『イ』の2パターンそれぞれの確率を求めて足せばいいことになります~ wink02.gif

『ア』のタイプを考えることにすると,最初の (n-2) 文字の中に「AA」のかたまりと「A」以外の文字が
それぞれ何個あるか
ということで更に場合分けが必要になります。
なお,「B」「C」「D」はどれも等確率で並ぶのでこれらは集約してしまって,さいころを1回投げるごとに
「AA」がくる確率  と「A」以外がくる確率  の2つを考えると簡単です。
(n-2) 文字の中に「AA」のかたまりが何個並べるかという点は n の偶奇によって変わってきますね。
これは『イ』のパターンでも同様です。
そのため, n が偶数のときと奇数のときとに分けて話を進めてみることにします~

はじめは n が偶数のときから考えていくことにします~ tawa02.gif

『ア』のパターンについて,左から n 番目までの中に「AA」のかたまりが k 回やってくるとすれば,
k の取り得る範囲は   です。
k を固定すると,左から (n-2) 番目までに含まれる「A」以外の文字の個数は (n-2k) 個
ということになります。
したがって,左から (n-2) 文字までに「AA」が (k-1) 個,「A」以外が (n-2k)個並んで
その上でその後に「AA」が続く確率
を考えればよく,これは反復試行の確率の考え方で計算ができます~

そしてその確率を k について和を取れば『ア』パターンの確率が得られたことになります~

n12_20150329230916116.jpg


『イ』パターンについても同様に考えることが出来ます~


n13_20150329231100741.jpg


よって求める確率は『ア』と『イ』の確率の和なので,



と表されます~
ここで,2項係数の性質  および  
を使って上の和をちょこっとだけ変形して少しスッキリした形にしてみましょう~ takenoko03.gif


n14_20150330033921185.jpg


多少は見た目がスッキリしたような気はしますが,何だかまだよく実体が分からない形ですねー
第一,前回求めた形  と随分と違っています~
この2項係数を含んだ和が,更なる変形で今挙げた前回に得た答えと一致するということでしょうか
前回の解答で出てきた漸化式に代入して,確かに漸化式の解になっているということを検証する
というのでもいいかもしれませんが,それだとその漸化式の登場がやや天下り的な感じがするので
もう少し場当たり的な方法も考えてみたいです~

今回の等式を確かめるために

が成り立つことを検証してみたいと思います~ kaeru_en1.gif

2項係数を含んだ和の等式というのは,割とよく出てきますよね。代表例としては



という関係式があります。これは例えば  を二項定理で展開し x=1 を代入することによって解決します。
それとは別に組合せ論的な方法での証明もありました。

今回の和も同じように示せるような気が一見するのですが,意外に厄介だったりします~
二項係数の添字がバラバラだからです
そうなってくるとちょーっとばかり工夫を施さないとうまくいきません。

問題の答えが二項係数を含む和の形で出てきて,
しかも二項定理の利用ですぐに簡潔な形に直せるなら,
簡単なものに直して「答え」の形とする風潮が割かしあるんですが,
今回のくらい厄介な形だと二項係数を含む和の形で答えを出した受験生がいたとしたら
そこ止まりで果たしてマルになるんですかね?


さて,とりあえず上の等式の証明を試みてみることにします~
この和は  の形の項の和になっています。
この項は何に等しいかなあ~ kaeru_ang3.gif というのを考えてみてほしいわけですね。
例えば  の展開式における  の係数に等しいですね。
でも指数が k だところころ変動してしまうのでちょっと嫌だなぁ,と。
そこで代わりに  の展開式の  の係数だという見方をしてみましょう~
これだと k の値に依存しません。
こうしてみると,  って 



の展開式の  の係数と一致していることになりますね。
更に言ってしまうと上の多項式の和に n 次未満の多項式を加えても  の係数は変わらないので,  は



の展開式における  の係数と実は等しい
んです~ rabi_love.gif

等比数列の和の公式から,この和は  
と変形できますよね。
分数の形にはなっていますが,分子は x+1 と 2x-1 を因数に持つので実際は多項式になっています。
分子を分母で割ったときの商がちょうど元の等比級数で表されてる多項式です~
この商の  の係数をもう1通りの形で表したいわけなんです

商自体は 2n 次の多項式になっているのでそれの n 次の係数と言われても
どうやって取り出してこようか悩ましいですよね。
ここで,高校数学の範囲からはちょっと逸脱しますがTaylor展開の一意性を利用すれば
割と簡単にこの障害を乗り越えることができます~
用いるのは,  における  と  の一般二項展開です。
べき級数どうしの積の形にしてしまえば, n 次の項の取り出しも容易になります~


n15_20150329231102784.jpg
n16_20150329231102bb8.jpg



これでなんとか確率が前回求めたものと一致するようになりました~ s2_sum_beach.gif

今度は n が奇数の場合でも同じようにやってみましょう~
n=1 のときと n≧3 のときで分けておくとよいです。
n=1 のときは確率は  ですね。
n≧3 のときは大体さっきと同じで,はじめに求める確率が二項係数を含むの和の形で表されるので,
それを前回求めた解の形まで変形していきます。


という和が出てきます。
証明方法はさっきのと大体一緒で,最後の詰めの部分だけ偶奇の違いによる差異が出てきます tanuki.gif



n17_20150330031501622.jpg
n18_20150329231103d8a.jpg


n19_201503300315013b8.jpg



これで無事に前回の結果と一致しました tankoro.gif
漸化式で攻めるよりだいぶ大変ですね。
解法のチョイスを誤ると大変になるぞ,の一例となりそうです。

(2)も同様の方針で取り組むことが出来ます~
「え~~また新たな二項係数がらみの和が出てくんの~~!?もうやだよ~
と思ってしまいたくなるところですが,
運良く(1)で使った  だけで事足ります~

n の偶奇で分けるという部分は(1)と同じですが,
それぞれがパターン『ア』,『イ』に分かれていた(1)と違い,(2)では1パターンに限定されます。
このため,(1)で下準備が整ってしまえば,
思いのほか簡単に答えまで到達できます~ teng.gif


n20_2015032923115315a.jpg
n21_2015032923115371f.jpg


確かに割とあっさりめでしたね。
n が奇数の場合も同じようにやってみましょう~


n22_20150329231154952.jpg






というわけで無事に終了です~ tyou.gif






   
スポンサーサイト

テーマ:大学受験
ジャンル:学校・教育

2015年東大前期入試理系数学 大問2 その1

2015.03.30 02:12|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東大前期入試の理系数学第2問を眺めてみます~

問題はこちら~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189
tok2.jpg


確率分野からの出題です~
さいころを振ったときの出目によって得られる文字列に関して問題に答えるという趣旨のようです~

さいころを振って1,2,3のいずれかの目が出たら「AA」,4の目が出たら「B」,
5の目が出たら「C」,6の目が出たら「D」という文字列が得られ,
さいころを連続して n 回振って,得られた出目に対応する文字列を順に書き並べていって
長い文字列を形成していくようです
例えば5回振って出目が順に1,4,2,3,6だったとすると,
文字列としては「AABAAAAD」が対応することになります。

1~3の目が出たときは2文字加えられるため,さいころを n 回振ったときに出来上がる長い文字列は
必ずしも n 個の文字で形成されているとは限らないわけですね。
つまり左から n 番目の文字が右端の文字であるとは限らない
それがこの問題の厄介なところだと思います~ akaname.gif
上の例では,5回振って8文字による文字列が作られています。

最初の設問は,さいころを n 回振ったとき,左から n 番目の文字が「A」である確率を求めるものです~
振る回数が3回とか5回とか具体的な数値で与えられず, n 回という一般の状況を考えるような問題は
東大ではよく出てきますね。
こういった「 n 回」「 n 番目」「 n 秒後」「 n 枚」などのようなものが出てくる問題への有効な対処法は
確率漸化式を立てて攻めるというものです~ dog_happy.gif

n 回目までの操作の結果が (n+1) 回目の操作の結果に分かりやすい影響を及ぼす場合,
容易に漸化式が立てられたりします。
その漸化式を解いて一般項を出すことで問題を解決できます~


さて,今回の問題も例外ではなく,確率漸化式を使って解いていこうと思うのですが,
どのような確率を文字でおくかという方針立てについては大きく2つに分かれそうです。
左から n 番目の文字が何かであるかによって複数の確率を文字でおき連立漸化式を立てる
素直に左から n 番目の文字がAである確率のみを文字でおき隣接3項間漸化式を作る
という2パターンです~

まずは前者について考えていきます~
左から n 番目の文字が何であるかで分類したときに,「A」であるもの,「B」であるもの,
「C」であるもの,「D」であるものの4種類が出てきますね。
ただ,「A」であるものは更に2つに分かれます。
「A」は必ず『AA』というかたまり単位で増えていくので, n 番目の「A」が
『AA』の左側の「A」なのか右側の「A」なのかという区別によって二分されるということです~

左から n 番目の文字が,左「A」,右「A」,「B」,「C」,「D」である確率をそれぞれ
 とおいてみます~
最終的に求めたいのは  ということになりますね~ curry.gif

さいころを1回振ったときに「4」,「5」,「6」が出る確率はそれぞれ   なので,
対称性から常に  が成り立ちます~
複数の確率を文字でおくときはこうした対称性にも着目していかないと
無駄に文字が多くなり処理が大変になりますよ~
というわけで基本的に  の3つに着目していけばいいわけですね~
 が出てきたら全て  に置き換えてしまえばいいです clover.gif

これらの確率どうしの間に成り立つ関係式を求めていきますが,
最も簡単に分かる関係式はやはり 全確率=1 ではないでしょうか~

n1_20150329230801d7e.jpg


ここからはさいころを (n+1) 回振ったときの確率を考察していきます。
はじめに (n+1) 回振って左から (n+1) 番目の文字が左「A」である確率  
について考えてみましょう~

このような状況が起きるためにはさいころを n 回振った時点で左から n 番目の文字が
どうなっている必要があるでしょうか。
それが左「A」だったとすればその次にくるのは必ず右「A」になるわけですから不合理です。
一方で n 文字目が右「A」,「B」,「C」,「D」だったならば,
その次の (n+1)回目の試行で1~3の目が出れば確かに (n+1) 文字目は左「A」になるので
このことを式で表現すれば  が  を用いて表されます~ eto_i.gif


n2_20150329230801430.jpg


同様に (n+1) 文字目が右「A」である場合も考えてみます。
これは n 文字目が左「A」だったという状況以外では起き得ないことです~

n3_20150329230802e14.jpg


これで確率についての関係式が3本得られました~
この3本を駆使して答えまで持っていけます eto_mi.gif
(n+1) 文字目が「B」や「C」や「D」の場合についても上と同様に関係式を作ることが出来ますが
敢えて用意しなくても大丈夫です~

邪魔な確率を消去して単純な漸化式へ移行したいと思います。
ここでは数列  にターゲットを絞ってみます~
この確率が求まれば条件式3番から  も求められますね。
 とする際,「 n≧2 のとき」という前提を設けておきましょう~


n4_20150330001716514.jpg


なお,   という2項間漸化式は,上では余計な確率の消去によって
得られたものですが,はじめから数列  だけに着目して得ることも可能です~
(n+1) 番目の文字が左「A」であるためにはさいころを n 回振った時点で左から n 番目の文字が
左「A」であってはいけなかったので,
『 n 番目が左「A」以外である』かつ『 (n+1) 回目に1,2,3のどれかの目が出る』
という確率を考えればよいことになるので,

が得られるというわけです~ kaeru_en4.gif


さて,この方針では n 文字目が「A」であるものを,
その「A」が左「A」か右「A」かで分けて確率を考えたので,(2)が非常に解きやすくなります。
(2)で求めたいのは
『 (n-1) 回振った時点で左から (n-1) 文字目が右「A」』かつ『 n 回目に4の目が出る』
という事象の確率なので,それはもう   を計算するだけで終わってしまうんです~


n5_201503292308035a4.jpg


今からやる第2の方針では,はじめから左から n 文字目が「A」である確率  のみを考えるので
スッキリしていて良いという利点はあるのですが,
その代わり(2)で(1)と同じような操作をもう1回やらなくてはならなくなる面倒臭さがあります~

こちらの方針では,1回目の試行で「AA」がやってくるかそれ以外がやってくるかという点に着目します
さいころを (n+2) 回振ったときを考えましょう~
左から (n+2) 番目の文字が「A」 である確率  を  を用いて表してみます~

1回目の試行で1~3の目が出て「AA」がやってきたとします。
ここで,3文字目から再スタートだと思ってそこから n 文字目に「A」が来る確率は 
 に等しいのは分かるでしょうか~
よって,1回目に「AA」が来た上で (n+2) 文字目が「A」である確率は  になります。
一方で,1回目に「A」以外の文字が来た場合を見ると,2文字目から再スタートしてそこから (n+1) 文字目が
「A」である確率は  に等しく,
したがって,1回目に「A」以外が来た上で (n+2) 文字目が「A」である確率は なのです~ m_0001.gif

このことから,  という漸化式が得られることになります~

 という条件のもとでこの漸化式を解けば終了です~ kuma_fly.gif


n6_201503292308039b7.jpg
n10_201503292309142f1.jpg
n7_20150329230913842.jpg
n8_20150329230913242.jpg


今回出てきた隣接3項間漸化式は  の形のものなので,
上記の解法のように  の形に変形ができて
数列  の階差数列は公比 p-1 の等比数列になります。
そのことを利用して階差数列に関する公式を持ち出すことで  の一般項が求められますが,
より一般の対処法として2次方程式  の解  を利用して
数列  がともに等比数列になることに着目して一般項を出すことも出来ますね~ kudan.gif




(2)も同様の方針でいきます~
n≧2 として,さいころを n 回投げて左から (n-1) 番目が「A」で n 番目が「B」の確率  というものを考え,
この確率に関して隣接3項間漸化式を立てていきます~

やはり最初に「AA」がくるか「A」以外がくるかで場合分けしていきますが,
考え方はさっきと同じなので得られる漸化式もまったく同じ形で   です~
これを  のもとで解けばOKです~

n≧2 で定義された数列なのでその点に注意してくださいね。


n9_20150329230914833.jpg
n11_201503292309151b5.jpg





ここまで漸化式を用いた解法を2通り挙げてみましたが,
もしこれを漸化式を用いずに考えてみたらどうなるでしょうか~
次回はその考察を1つやってみたいと思います~
意外と厄介です~ kojika.gif






     

テーマ:大学受験
ジャンル:学校・教育

2015年東大前期入試理系数学 大問1

2015.03.27 18:03|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東大前期入試の理系数学大問1を眺めてみます~

問題はこちら~ げろ
tok1.jpg


去年は線分の通過範囲の問題がありましたが
今年は放物線の通過範囲が出題されました~

a>0 のとき,放物線 C の方程式を



という2次関数で与えます~
a が正の実数全体を動くとき C の通過範囲がどうなるかというお題です~

この手の問題はベタな解法としては大雑把に2つのグループに分かれると思います~
俗に「順像法」とか「正像法」とか,大数界隈では「順手流」と呼ばれたり,あるいはファクシミリの原理などと
呼ばれたりするような方法が1つ目。
第二に,「逆像法」とか大数界隈で「逆手流」と呼ばれたりする方法です~ buta.gif


まずはこの後者の逆像法から考えてみたいと思います~
この発想は, xy 平面上の点 (X,Y) が答えの領域に含まれるためには
X,Y がどのような条件を満たせばよいのかを調べることで問題解決を図る
ものです。

この際, 「点 (X,Y) が答えの領域に含まれる」 という条件を
巧みに別の表現に言い換えるということが要求されます~

 「点 (X,Y) が答えの領域に含まれる」 
⇔「  を満たす正の実数 a が存在する」

⇔「 a に関する方程式  が少なくとも1つ正の解を持つ」

こういう見方ができなければいけません~
最後に出てきた a の方程式ですが,これは  のときは2次方程式なので,
2次方程式の解の配置問題に帰着できます dog_happy.gif
一方で,  のときは2次方程式にならないので,判別式などの議論には持ち込めません。
というわけで,  が0か否かで場合分けして論じなければいけません~


m1_201503271523007bc.jpg

m2_20150327152300d30.jpg


 の場合ですが,解の配置問題への対処としては,
主に左辺の2次関数のグラフの配置に着目して条件式を立てる方針と,
解と係数の関係を利用して条件式を立てる方針とがあります。

グラフで攻めるとすると,  が正か負かによって下に凸か上に凸かが変わってきて
場合分けが必要になるので面倒です。
そこでまずは解と係数の関係を使って攻めてみることにします~
正の解を少なくとも1個持つということは,「1個持つ」「2個持つ」のパターンがあり
やはり場合分けが必要になりがちですが,逆に「正の解を1個も持たない」条件を考えると少し楽になります。
これは「2解がともに0以下」という条件に言い換えることが出来ます。
2解 α, β について,「α,βは実数」+「α+β≦0」+「αβ≧0」が成り立つということなので
解と係数の関係を利用して立式ができるようになるというわけです。
出てきた条件を「α,βは実数」の条件から除いてやればいいです~ eto_mi.gif


m3_20150327152301e33.jpg



あとは図示ですね。
 というのがどういう領域になるか分かるでしょうか~
境界が双曲線  になるのはよいと思いますが,この領域は境界より内側なのか外側なのか
という点が次に出てきます。
 ということは,例えば   とか    とか   とか
  とかだったりするということなので,そういう曲線がある領域ということは,
境界の双曲線の内側の方ということになりますね~



m4_20150327152302449.jpg


赤線部分は境界を含むので注意しましょう~ eto_saru.gif




グラフを使ったアプローチも考えてみましょう~
  とおいて,  ab 平面上で b=f(a) のグラフを考えます~
判別式の符号や,軸の位置やある特定の a の値における関数値の符号などに着目して
条件式を立てるのがスタンダードですね。
X, Y の値によらず常に f(0)=1 なので少し考えやすいです~
ただ,下に凸の場合と上に凸の場合があるので注意が必要です hiyo_en2.gif

 のときはグラフは下に凸です。
判別式(または最小値)の符号と軸の位置で条件式を立てます~
 のときはグラフは上に凸です。
このときは自動的に a 軸の正の部分と共有点を持ちます~


m5_2015032715230201c.jpg


なお,対象の2次方程式は    と変形できるので,
 とおいて考察すると
グラフが下に凸の場合に限定できるようになります~ isona.gif


 のときは解の公式を使って a の値を X,Y の式で表してみる手もありますね。



の2つですが,正の解を持つための条件は 「根号の中身≧0」+「大きい方の解>0」 です~ ipon.gif
の符号によって上記の2つのどっちが大きい値かが入れ替わるので注意です。


m6_2015032715230391f.jpg




ここまで「逆像法」のアプローチで攻めてみましたが,
今度は「順像法」のアプローチを試してみることにしましょう~

例えば x=k を固定して, (k,y) の形の点で答えの領域に含まれているものはどれくらいあるか
y の範囲を求めてみる
ような発想です。
答えの領域を直線 x=k でズバッと切ったときの断面がどうなっているかを調べて,
そのデータをかき集めて領域の全体像を作り上げる,という性質のものなのでファクシミリの原理
などとも呼ばれるわけですね~ kaeru_en1.gif



を a の関数とみなし,正の実数全体を定義域としたときの y の取り得る範囲を求めます~
その y の範囲が答えの領域を直線 x=k で切ったときの断面に相当するわけです。
この y の範囲の様相は  の符号によって変わってくるので場合分けが必要です~


m7_20150327152319cea.jpg

m8_20150327152320c01.jpg








       

テーマ:大学受験
ジャンル:学校・教育

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。