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2015年東大前期入試理系数学 大問4

2015.05.18 02:36|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東大前期入試の理系数学第4問を眺めてみましょう~

問題はこちら~ 箱ドットおにおんmini
tok4.jpg


数列の問題ですね~
おなじみフィボナッチ数列がテーマになっています~

フィボナッチ数列に関しては面白い性質が色々と知られていますが,
その中の1つに着目しています~



によって数列  が定義されています。
これだけ見ると何だか得体の知れない数列ですね。
実はこの数列はフィボナッチ数列の奇数項からなる数列であることを(3)で証明します tree02.gif

はじめに(1)では,  の値が n の値によらず定数になってしまうことを確かめます~

 とおいたとき,  が成り立つことを確かめてみようと思います~

p1_201505180108313cf.jpg


この事実を使うと,数列  に関するよりシンプルな漸化式を見つけることが出来ます~
それが(2)のお題になっていますね。

p2_201505180108311a1.jpg

これは隣接3項間漸化式の中では最も定番の形(  型)ですね
このパターンについては特性方程式の解を利用して一般項を求める手法がよく知られていますので,
それに添って一般項を出すことが可能です~
ですが,そのような作業をしなくても最後の(3)には対応が出来ます。

さて,(3)を考える前に,(1)(2)へのアプローチの仕方として,
先に(2)を考えてしまうという発想があるので,ここでちょっと挙げてみることにします~


(2)の答えは  だったわけですが,
 と変形してみると,この左辺の値が n によらず3になってしまうということが
見て取れると思います~
このことをはじめに示すことで(2)の結果が先に得られるというわけですね rajio05.gif
また,この関係式を変形すれば(1)の結果もすぐに出てきます~

はじめに与えられた漸化式の分母を払い,  として,
 と辺々を引いてみましょう~


p3_20150518020602e5a.jpg

p4_20150518010832e0c.jpg



さて次は(3)です~
数列  とフィボナッチ数列の関連性を見いだす設問です~
新たに出てきた数列  は,その定義式を見て直ちに
「あ!フィボナッチ数列だわぁ~ 」と気付けるかと思います。

任意の自然数 n に対して  が成り立つことを示します~
実際に2つの数列  ,  の一般項を求めて,この関係式が成り立つことを示すというのも
勿論アリなのですが,計算量が結構多くなってしまいます。
そこで,一般項を求めることなく,数学的帰納法を用いて証明してしまう作戦をとってみたいと思います~ onpu10.gif

ここでは, (a) n=1,2のとき主張は正しい
(b) n=k,k+1 (kは自然数)のときに主張が正しいと仮定するならば n=k+2 のときも主張は正しい

ことを確かめることで証明する論法を取ります~
そうすることで,大きな障害もなく証明が行えるかと思います。
(b)については, n=k のときの成立だけを仮定するとどうもその先で困難に出くわしてしまいます。

p5_201505180108338b0.jpg



計算量も多くなく済みました~
では,直接一般項を求めていく作戦をとったらどうなるかも検証してみましょう~ medamayaki.gif

まずはフィボナッチ数列の方の一般項を出します~
特性方程式の解が無理数であるため面倒ですが,やったことが何度かある人ならスラスラいけるでしょう~

p6_20150518010833585.jpg
p7_201505180206036b7.jpg


同様に,数列  の一般項も求めてみましょう~


p8_20150518020604614.jpg



若干面倒ではありましたが,確かに証明ができましたね~



さて,フィボナッチ数列のよく知られた性質として



という関係式が成り立ちます~
カッシーニ・シムソンの定理とか呼ばれるみたいですね。
一方で,今回の問題で与えられた漸化式は分母を払って式変形すると,


つまり 

となり,フィボナッチ数列の方の関係式によく似ていることに気付きます。
フィボナッチ数列の奇数項だけ取った数列にこのような性質があるということは,
偶数項だけ取ってきた数列については



という関係式が成り立っているんじゃないんですか
という期待が膨らんでしまうわけです。

そしてその予想は見事に正解なのです~
それを確かめて今回は終わりにしましょう~ koinoburi07.gif



p9_20150518010855fbc.jpg





      
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