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2015年京大前期入試理系数学 大問2

2015.07.19 19:34|大学入試問題
どもども。


今回は今年の前期京大入試の理系数学第2問を眺めてみます~

問題はこちら~ くりmini
kyo2.jpg


特定の条件を満たす四角形の面積の最小値を求める問題です~
特定の条件とは,「2つ以上の内角が90°で,しかも半径1の円が内接する」というものです~

2つ以上の内角が90°ということですが,3個以上あったとしたらそれはもう長方形になってしまいますね。
さらにいうと,縦と横の長さが等しくない長方形には円が内接し得ないので,
この場合はもう正方形になってしまいます。

2つの内角だけ90°の場合は,1組の対角が90°同士であるもの(円に内接する四角形型)
ある隣り合う2内角が90°のもの(台形型)の2タイプに分別できます。

d1_20150706183010bdd.jpg


最小値を与えるのは(ア)(イ)どちらの場合であるか分からないので,
両方について最小値を調べてより小さい方を採用すればよいです~

でも実はよく見ると上の図なんか見ればわかると思いますが(ア)の四角形AHOKと四角形KOJDの
位置を入れ替えると(イ)の図が作れてしまいます。
だから実際は(ア)(イ)のうち片側だけについて論じれば十分だったりもします~

でもまぁせっかくなのでとりあえず2タイプそれぞれについて考察してみることにしましょう~

まずは(ア)についてみていきましょう~

AH=AK=a,CI=CJ=b とおいてみます。
四角形BIOHと四角形DJOKはどちらも1辺1の正方形になっています。
四角形ABCDの面積をSとすると,Sはこの正方形2個分と△AOH2個分と△COI2個分として考えられます~

d2_2015070618304225f.jpg

これの最小値を知るために, a と b  の間に成り立つ関係式を何か手に入れたいです。
いろいろな方法で得ることができるとは思いますが,
たとえば S をもう1通りに表してみることで関係式を得ることが出来ます。
S を△ABCと△ADCの和に分けてみると, S=(a+1)(b+1) 
が得られるので, 2+a+b=(a+1)(b+1) から ab=1 が得られます~ akaname.gif

a と b は互いに逆数の関係にあることが分かったので,
あとは相加平均と相乗平均の関係式を利用するなどして最小値を出すとよいでしょう~


d3_20150706183043b18.jpg


正方形のときに最小,というのはまぁ大体予想通りな感じですね~

次に(イ)について考えてみます~
DK=DJ=a,CI=CJ=b とおいてみます。
Sは1辺1の正方形2個分と△DOJ2個分と△COI2個分として考えられます~
もちろん S=2+a+b が出てきます。
今度は ab=1 を得るために,下図のように斜辺 a+b の直角三角形を考えてみます~ dog_shy.gif


d4_20150706183044867.jpg


というわけでどちらのタイプで考えても最小値は4ということになりました~
今のやり方では線分の長さを変数とする方針をとっていましたが,
角を変数にとる方針というものもあるかと思います~
それも1つ試してみることにします~

(ア)(イ)においてθとφを図のようにとってみましょう~
どちらの場合においても θ+φ=90° になっています~

d5_20150706183044325.jpg


   d6_201507061830459c8.jpg

  d7_20150706183109ecd.jpg




さて,最小値は四角形ABCDが正方形になるときの S=4 なのですが,
あらかじめそれが結論になるはずだ!と狙いを定めておいて
四角形ABCDが正方形にならないときは必ず S>4 となることを示すという作戦なんかもあります~ kawauso.gif


d8_20150706183110582.jpg

d9_20150706183110f59.jpg





     
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2015年京大前期入試理系数学 大問1

2015.07.07 00:00|大学入試問題
どもども。

今回は今年の前期京大入試の理系数学第1問を見てみます~

問題はこちら~ 箱ドットおにおん2mini
kyo1.jpg


積分分野の回転体の体積がテーマの問題ですね~
準備運動にはちょうどいいくらいの決して難しくない問題ですので確実に得点しておきたいところです~

  の範囲において,2曲線  ,  
が囲む領域を x 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を出す問題です。

まずはどのような図形を回すのかを把握しなければいけません~
2曲線どちらも概形を知るのはなんら難しくないので,そこはラッキーです。
2曲線の交点を求めてみましょう~

一般に,  という関係式が成り立つとき, A と B の間にどのような関係式が成り立つでしょうか。
何も考えずに単純に A=B としてしまうと誤りです~
一般解としては,周回違い,つまり 2π の整数倍だけズレたものも考えなくてはならないので
 ( k は整数) とすべきですね。
ただ,  であるため,    ( ℓ は整数)
という状況も考えなければいけません~



c2_20150706183007fc2.jpg


交点の x 座標を知るにあたっては,上記の方法でなくても和積公式を使うような方法もあります。


c3_201507061830071b2.jpg


c1_201507061830060f7.jpg


図の緑色部分の領域を x 軸のまわりに1回転させた立体を考えればよいことが分かりました~
 ,  ,  , x 軸とで囲まれる領域の回転体の体積から
 ,  ,  , x 軸とで囲まれる領域の回転体の体積を引けばよいです~

回転体の体積の計算の基本は,断面積の積分ですよね。
断面の形が比較的容易になるのが回転体問題の嬉しいトコロです。

sin の2乗の形の関数を積分しなければいけない展開が待っていますが,
半角の公式を用いて字数下げを行えば特に難なく計算ができます~

回転の体積計算といえば,バームクーヘン積分なんていう手法もありますが,
この問題では逆三角関数とかが出てくるので却って面倒くさくなります。




c4_201507061830083a2.jpg



      c5_20150706183009980.jpg





   

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2015年東大前期入試理系数学 大問6

2015.07.06 00:01|大学入試問題
どもども。

今回は今年の前期東大入試の第6問をみてみます~

問題はこちら~ らっこ
tok6.jpg


積分と極限の融合問題です~

(1)で積分の評価を与えて,
それを利用してはさみうちの原理を使って極限を出すという方向性自体は
割と分かりやすいのではないかと思いますが,
具体的にどういった計算でそれが実現できるかという点がちょっと難しいですね~ aobara.gif

(1)の定積分は積分区間が [-1,1] になっていますが, g(x) の定義から
実質的には [-1/n,1/n] での積分です。


b1_20150705232057294.jpg




が成り立つことはすぐに確認できます。
p・g(nx)≦g(nx)f(x)≦q・g(nx) に着目して定積分の大小にもっていけば片付きます~ eto_i.gif



b2_2015070523205830f.jpg


(2)では h(x) という新しい関数が登場してきます。
これをどのように(1)の話に繋げればよいのか。それに気付けるかどうかが勝負の分かれ目です。

実は  になっているのですが,見抜けたでしょうか。
それが見抜ければ,部分積分を利用して(1)の定積分の形に移行できるようになります~ kaeru_en1.gif



b3_20150705232059132.jpg


b4_20150705232059b72.jpg



ここまでもってこれれば,あとは    とおいて(1)にあてはめるんだろうな
という予感が漂ってきますね。
このとき, f(x) は単調増加関数なので,区間  [-1/n,1/n] の両端点での関数値で
p と q に相当する値が得られます~ m_0054.gif



b5_201507052321007fb.jpg




b6_201507052321012c6.jpg




   

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