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2015年前期東北大入試理系数学 第2問

2015.08.29 00:00|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東北大の前期入試理系数学第2問を眺めてみます~

問題はこちら~ わんちゃんmini

to2.jpg


3次関数のグラフと接線がテーマになっている問題です~
点 P を通る接線が3本あって,それら3本の接線の傾きの和と積が0になるようにしたい!
ということらしいですね。
そのためにまず3本の接線が引ける P の存在領域が知りたいということで,
(1)は問題で与えた領域 D 上の点では常に3本の接線が引けることを確かめる内容になっています~

ある点を通る接線の本数を答えさせる問題というのは物凄く定番なので,
問題数こなしている受験生なら大体一度は遭遇したことがあるかと思います。
「接点 t 」でお馴染みの動画で扱っていたのも接線の本数絡みの問題だった気がします。

xy 平面上に P があるとき,その点を通る接線の本数は P の位置によって当然変わってきます~
対象の関数が今回のような3次関数の場合だと,最大で3本,最小で1本の接線が引けます~ dog_happy.gif


j7_20150828174052e01.jpg


3本の接線が引ける領域は変曲点を中心として点対称な形をしています~
ちょうどそのうちの半分の部分が今回の問題では D とされています。

ではその D の中に点 P があるときに接線が3本であることを確かめてみます~

P(a,b) とおいてみます。
P を通る接線の方程式を立ててみたいのですが,傾きや接点の座標などが分からないので困ってしまいますね。
ここで仮に接点の x 座標を t などとおいてみるというのが必須手法になっています~
これぞいわゆる「接点 t 」ですね~

接点の座標が t を用いて表せるのでその点における接線の方程式も微分を利用して求めることが出来ます。
その接線が P を通ることから, x=a, y=b を代入して t に関する方程式を作ることができます~
この方程式の解が接点の x 座標を表すわけですから,3本の接線が引けるためには
ちょうど3個の実数解が必要です。
(接点の個数)=(接線の本数) と言うことができるんですね eto_i.gif

なお,4次関数などといった関数になってくると話は別です。
2重接線や3重接線が存在するような関数の場合は(接点の個数)=(接線の本数)が
必ずしも成り立たなくなってしまいますから注意が必要です。
ただ,そのようなタイプの関数で接線の本数を聞いてくることは滅多にないですけどね。

j6_201508281740103c9.jpg




とりあえず領域 D を図示してみることにします~

j1_20150828174007779.jpg


t に関する方程式を立ててみます~

j2_20150828174008a55.jpg


j3 1



t の3次方程式の実数解の個数を調べる問題に帰着されました~
関数 f(x) に対して方程式 f(x)=0 の実数解の個数を調べるための手法の1つとして
y=f(x) のグラフと x 軸の共有点の個数を調べるというものがあります~
ここでもその手法を採用してみます~
変数は t なので x 軸ではなく t 軸で考えます。

実数解の個数が3個であればいい →  グラフが t 軸と相異なる3個の共有点を持てばいい

と言い換えられますがこれは更に, 極大値>0 かつ 極小値<0 であればいいということに言い換えられます~ isona.gif
それを確かめてみましょう~



j3 2
j4_20150828174009ba7.jpg


j5_20150828174010604.jpg



無事に接線が3本引けることが分かりました~
初動作が接点を t とおくということでしたが,接線の傾きを m とおいてみる場合はどうなるでしょうか。
つまり点 P(a,b) を通る傾き m の直線が曲線 C の接線になっていると仮定するという方針です~

これは3次方程式  が重解を持つ条件を考える問題に帰着できます~



の形に因数分解ができれば良いことから係数比較へと持っていきます~ insect_kuwa_m.gif


j8_201508281740537c8.jpg


はじめの解法と同じ  が出てきたのでここからさきは先程と同じようにやればよいです~

ではここからは(2)について考えていきましょう~

3本の接線の傾きの和と積が0になるようにするということで,和と積で2つ条件式が作れることになります。
 のとき,  なので,
3本の接線について,その接点の x 座標をそれぞれ α, β, γ とすると,
3つの傾きはそれぞれ  となります。
これらの和と積が0ということですが,それで立式すると α, β, γ に関する対称式になっているので
基本対称式の値が分かれば α, β, γ を含まない形に直せます~
α, β, γ は  の解なので,3次方程式の解と係数の関係を利用することが出来ます~ hunayurei.gif


j9_20150828174054a66.jpg

j10_201508281740559b0.jpg
j11_2015082817405686c.jpg




ところで傾きの積が0ということは,3つの傾きの中に0が含まれるということです。
C の接線で傾きが0のものといえば,極値を与える点が接点になっているものの2本しか無いです。
 を求めたあとは,このことに着目して b の値を求める事もできます~


j12_201508281740569a9.jpg
j13_20150828174128427.jpg


b の値があらかじめ絞れることに着目すると,解と係数の関係を用いない方針でも問題が解けます。
傾きの和が0でしたが,3つの傾きのうち1つは0なので,実質残り2つの和が0だということになります。
ということは3つの傾きは0, k, -k という形をしていることになるので
傾き m に関する3次方程式を作ったらそれは m(m+k)(m-k)=0 の形に変形できなきゃいけなくなるのです。

j12_201508281740569a9.jpg

j14_20150828174129ca2.jpg
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j16_201508281741319e7.jpg
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2015年前期東北大入試理系数学 第1問

2015.08.28 12:13|大学入試問題
どもども。


今回は今年の東北大の前期入試理系数学第1問を眺めてみます~

問題はこちら~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90

to1.jpg


2次曲線がテーマの問題です~
2次曲線の単元は出題率がさほど高くないだけに,理解度が甘くなりがちです~
突然ふっと出てくるとギャァ!て思っちゃう人も多いかもしれませんね~
本問は特に難問というわけではないので,確実に得点しておきたい大問の1つになっています~

曲線 C は原点を中心とする楕円の右上1/4部分になっています~
接線と法線が出てくる流れは定番パターンですね。

i1_201508281119043c4.jpg

斜線部分の三角形の面積 S の最大値を考える問題です~
法線 m と x 軸の交点を A, y 軸との交点を B としますと △OAB が考察対象の三角形です。
直角三角形なので OA と OB の長さが分かれば面積計算が出来てしまいます。
どちらの長さも法線 m の方程式が分かっていればすぐに求められますね。
というわけで m の方程式を求めるところから始めてみましょう~ sosu.gif

接点 P の座標を文字でおいてみたいのですが,
パラメータ表示を用いて  とおくか,単に  のように
おくか迷うところですが,どちらでおいても特にその後詰まることはないので
好きな方でおくとよいと思います~

まずは前者で考えてみます~
S が θ の関数,つまり三角関数で表されてしまうため,三角関数の公式を利用して
最大値を求められることが利点です。

さて,楕円の接線の公式を適用すれば  の方程式は簡単に得られます。
公式をうろ覚えだったりする場合は微分を使うなどしても構わないです~
なお曲線 C は端点を含まないので y 軸に平行な接線は出てきません。

 と m は傾きの積が -1 なので, m の方程式も難なく出せることでしょう~
あとは x 切片と y 切片を読み取って S を立式します~
sin の2倍角の公式を使うだけで最大値がすぐに分かってしまう形をしています~ bakezouri.gif



i2_20150828111905c7d.jpg


sinθcosθ の最大値は微分を用いて求めることも出来ますし,
相加平均と相乗平均の関係式から,



として求めることも出来ますし,



として求めることも出来ます。いろいろな手がありますね。



P(a,b) とおいてみるパターンについて見てみます~~
楕円上の点なので  という条件式が成り立つことを忘れないようにしましょう~
この条件式から一方の文字が消去できます~


i3_201508281119067b2.jpg


一方の文字の消去を行わず相加平均と相乗平均の関係式を使って



のように処理してしまうことも出来ますね cat_4.gif



さて, S の立式のために m の方程式を求めようという方針をとってきましたが,
実は m の方程式は求めなくても答えは出せます。
下図を見れば分かるように, △OAB と相似な直角三角形が結構いっぱいあります~
△OQR や  △HAP なんかがその例です。
相似比と面積比の関係に着目して S の立式をすることが出来ます~ car2_taxi.gif


i4_20150828111906887.jpg
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i7_201508281209489f3.jpg




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2008年 日本数学オリンピック予選第8問

2015.08.22 22:41|数学
どもども。

今回は縁あって2008年のJMO予選第8問を考えてみます~

問題はJMOのサイトから見ることができます~

表を向いた8枚の硬貨が横一列に並んでいるという状況です~
特定の条件を満たすような硬貨を無作為に選んで順次裏返していき,
裏返すことのできる硬貨が無くなったらそこで終了という操作をするそうですが,
このとき最終的に裏返っている硬貨の枚数の期待値を求める問題になっています~

ではどういう硬貨なら裏返せるのかということですが,
その硬貨より左側には裏返ってる硬貨がない,またはその硬貨より右側には裏返ってる硬貨がない
ということらしいです。

例を見てみます~
白丸が表,黒丸が裏を表すとします~

n1_2015110322532838b.jpg


このような順序で裏返していくと,最終的にちょうど4枚の硬貨が裏返っていることになります。
両端の硬貨は必ず裏返されることなども観察できます。

裏返せる硬貨の見分け方は,オセロに見立ててみると分かりやすいと思います。
黒丸と黒丸で挟まれた白丸はひっくり返せないのだから,
黒丸で挟まれた白丸はオセロのようにひっくり返るというふうにルールを改変すると,
この1列オセロがすべて黒丸にひっくり返るまで平均何回の裏返し操作が必要か?
という質問をしているのと全く同じ事に気付きます。


n2_2015110322532961c.jpg


元のルールに戻ります。

最終的に裏返ってる硬貨の枚数は最小で2枚(両端だけ裏返っている状態),
最多で8枚(全て裏返ってる状態)です。
裏返ってる枚数が k 枚である確率を求めていこうとするオーソドックスな手法はなかなか難しそうです。

今回は次のような発想を利用してみます~
硬貨を左から順番に【1】,【2】,…,【8】のように番号付けをして,
1≦k≦8 に対し,確率変数  を,
硬貨【k】が最終的に裏返っていたら1,裏返っていなかったら0という値をもつようなものとします。
また別に確率変数  を導入すると,
X は最終的に裏返っている硬貨の枚数を表すので, X の期待値が求めるべきものであることが分かります~



なので,  を求めていこうという方針で攻めてみることにします~

なお,



が成り立つため,結局のところ



ということになります~


  を求めていきましょう~

【1】と【8】は必ず裏返しになるため,どんな手順で操作を行っても,
番号が k 以上の硬貨は必ず1枚以上裏返しになるし,
番号が k 以下の硬貨も必ず1枚以上裏返しになります~
硬貨【k】が裏返されるということは,「初めて裏返される番号が k 以上の硬貨が【k】である」または
「初めて裏返される番号が k 以下の硬貨が【k】である」
ということと言い直すことが出来ます~

硬貨の対等性から,初めて裏返される番号が k 以上の硬貨が【k】である確率,【k+1】である確率,
【k+2】である確率,…,【8】である確率はどれも等しくなっています。
同様に,初めて裏返される番号が k 以下の硬貨が【k】である確率,【k-1】である確率,
【k-2】である確率,…,【1】である確率もどれも等しくなっています。
このことを利用すると  が比較的簡単に求められます~


n3_20151103225329387.jpg
n4_20151103225330ea7.jpg
n5_201511032253319bd.jpg
n6_20151103225331711.jpg
  n7_201511032253480f0.jpg

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