プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

09 | 2015/10 | 11
- - - - 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

2015年前期東北大入試理系数学 第5問

2015.10.12 08:43|大学入試問題
どもども。


今回は今年の前期東北大入試の理系数学第5問を眺めてみます~

問題はこちら~ げろ

to5.jpg


等面四面体の体積を求めようというテーマの問題になっています~
(1)(2)の時点ではただの xy 平面上の図形問題ですが(3)で唐突に立体が出てくるという
そういう印象が一見するとありますが,(2)は実は(3)を解く上でのヒントになっています。

さて,等面四面体というのは4面すべてが合同な三角形になっているという四面体のことです。
今回のように,三角形の各辺の中点を取り,中点どうしを線分で結ぶと合同な三角形が4つ出来ます。
これを組み立てるとできるのが等面四面体です~

m1_20151011205922542.jpg

第1象限において直線  上を動く点 があり, 
△ABP を鋭角三角形にするところから問題は始まります。
P の位置によらず ∠PAB は鋭角なので,残りの2角について考察しなければいけません。
まずは ∠APB の大きさが P が原点に近いほど大きいことに着目してみたいと思います~
つまり, ∠APB の大きさは t の関数として単調減少ということです~

AB を直径とする円と直線の交点の位置に P があるときにちょうど ∠APB=90°
になるので, △APB が鋭角三角形になるためにはこの位置よりさらに遠くに P を取らねばなりません。

m2_2015101120592221f.jpg
m3_201510112059234ac.jpg


しかしながら,あまり原点から離れすぎると,今度は ∠ABP が鋭角ではなくなってしまいます~
AB⊥BP となるのは t=2 のときなので, t<2 でなければいけません。


m4_20151011205924899.jpg
 
m5_20151011230218580.jpg



このように考えるのがまぁ手っ取り早いとこかと思いますが,
別アプローチとして 0<cos∠APB<1 かつ 0<cos∠ABP<1
が成り立つ t の範囲を求めるということも試してみます~

m6_20151011210101692.jpg
m7_20151011210101a2c.jpg




(2) の垂心を求める話に進みます~
これは解法にいろいろバリエーションがありそうですね。
まずはシンプルに垂線の交点として求めてみます~

P から辺 AB ヘ下した垂線の方程式は x=t と非常に簡単な形をしています。
B から直線 AP ヘ下した垂線との交点として求めてみます~


m8_201510112101035af.jpg


今度はベクトルの内積を利用してみます~


m9_20151011210104e96.jpg


複素数平面上に置き換えてみる手なんかもありますね。
複素数 z の実部を Re(z) で表すことにします。


m10_20151011210104f97.jpg



そろそろ(3)に進みましょうか~
いよいよ等面四面体の登場ですね。

出来上がる等面四面体を S-MQR とします。
頂点 S がどのような位置にあるかを捉えることがまずは肝心です。
結論としては H の真上の位置にあたります~ dog_smile.gif

線分 QR と直線 PH の交点を T とします。
△ SQR は △PQR を直線 QR を軸として回転移動したものになっています
元々 P の位置にあった点は,ちょうど T を中心とする半径 TP の円周上を移動して
S の位置までやってきます。

m11_201510112101055f0.jpg

m12_20151012003806e5f.jpg


S は頂点 P を通り QR に垂直な平面上にあるわけですが,
同様に S は頂点 A を通り MR に垂直な平面上にもあり,
頂点 B を通り MQ に垂直な平面上にもあります。
これら3平面の共通部分にあたるのが H を通り平面 MQR に垂直な直線です。
この直線上の何処かに S があるはずなので,それは言い換えると
Sから平面 MQR へ垂線を下すとその足は H であるということになります~ dokuro.gif

四面体 S-MQR の体積を出すためには底面積と高さが分かれば十分です。
△MQR を底面とするならその面積は △ABP の1/4なので容易に求められるでしょう。
高さについては,例えば三平方の定理でも使うとよいでしょう。
△SAH, △SBH, △SPH, △SMH, △SQH, △SRH など直角三角形が複数あります。
どれか適当に着目してみると良さそうです。

また,空間座標の導入で高さを出すという発想なんかも使えます。
 とおき, M(0,0,0) との距離が2 に等しいことから立式して h を求めるとよいです。


m13_20151012003806371.jpg
m14_20151012003807080.jpg

m15_20151012003808fa9.jpg

m16_201510120038085be.jpg


V が t の式で表されました~
あとは最大値を求めればよいのですが, V が最大であることと根号内が最大であることが同時なので
根号の中の複2次式が最大になるときを調べればよいです。
2次関数の考察と同様に行えます~ kawauso.gif



m17_20151012003809841.jpg


V そのものの増減を微分を用いて考察してもさほど手間でもないです~


m18_20151011210344b3e.jpg


相加平均と相乗平均の関係を用いる方法も使えます。


m21_20151011210346a2a.jpg


H が Sから下した垂線の足であることに着目するというのが誘導に従った解法パターンですが,
等面四面体には他にもベタなアプローチ法があったりします。

3正数 a, b, c に関する連立方程式

 

の解に着目し,3辺が a, b, c であるような直方体を作ります~
このとき,下図のように各面に対角線を引いて,4隅からそれぞれ合同な四面体を1個ずつ取り除いていくと
ちょうど今回の等面四面体と合同な四面体が出来上がります~

この性質から体積を求めることが出来ます~ kame.gif





m19_20151011210345884.jpg

m20_201510112103458a7.jpg
スポンサーサイト

テーマ:大学受験
ジャンル:学校・教育

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。