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和の一般項から元の数列の一般項を求める問題について

2015.11.22 13:48|数学
どもども。


数列の単元で時々出てくる,和の一般項から元の数列の一般項を求める問題について
ちょっと考えてみます~ げろ

数列  の初項から第 n 項までの和を  とします~
数列  の一般項が与えられている状況で  を求めるという流れの問題は定番ですが,
その逆のパターンもあります。

例えば, n≧1 において  が成り立っているとしましょう~
このとき,元の数列の一般項  はどうなるか?
…のような問題ですね eto_mi.gif




が成り立つため,  によって  が求められるのでした。
ただし,この関係式は n≧2 のときにおいて成立するものであって, 
n=1 の場合は意味を為さないため,別に吟味が必要です。
 なので,これで得られる初項が 
n≧2 の場合の一般項において形式的に n=1 としたものと符合するかどうか
確かめるという操作を通常は行います。
もし符合するようなら  がより簡潔に表示できるので見た目がスッキリするわけですね。



a1_20151118014607973.jpg


この例では無事に n≧2 のときの一般項の式が n=1 のときにも成立しましたが,
毎回そんなうまくはいきません~


 (n≧1) が成り立つような数列   についてはどうでしょうか~


a2_20151118014608638.jpg


今度は n=1 のときだけ特別扱いになってしまいました~


では、どんなときに n=1 でも表示式が正しくて,どんなときに正しくないのでしょう~
その見極めについて考えてみたいです。
今挙げた2つの例については,実は簡単にその判別が出来ます~

 は元々 n≧1 で定義されていたものであるため,
形式的に n=0 を代入して  を計算しても,それは特に意味を持たないものなのですが,
 ならば  から得られる表示式は n=1 でも正しい
ということが実は言えます。

最初の例では,  であるため, n=1 まで表示式が拡張されますが,
2番目の例では,  であるために n=1 までは表示式が拡張されません。

なぜそのような判定ができるのか考えてみます~
  と定めることで数列  が n≧0 で定義されているものとして拡張が出来ます。
   (n≧0) とおいてみましょう~
 および任意の自然数 n に対して  が成り立ちます~
このとき, n≧1 に対して  が成り立ちますが,
形式的に  が成り立つようであるならば,
 の部分が形式的に  として計算したものと
合致するわけです eto_i.gif



この考え方を最初の例に当てはめてみると,次のような解答ができることになります。


a3_20151118014608797.jpg


2番目の例に適用してみます。
形式的に  として計算できないのでやはり議論が分岐してしまいます。


a4_201511180146096f1.jpg


例えば無理矢理に   などと変形すると
これは  かつ n≧1 では  が成り立つので,
分岐することなく n≧1 において 
が成り立ちますが,見た目が複雑になってしまってるのでそれほどメリットがないですね。



とりあえずこの判定法を用いれば   かどうかを見るだけでよいので




などのような例では n=1 まで表示式が拡張されることがすぐ分かります。

形式的に  が計算出来ないタイプは  の一種として考えるとよいと思います。
例えば  のようなパターンなんかですかね。

となりますね。

また,次のように和の一般項自体が分岐してるパターンもあります。

a5_20151118014609a72.jpg



特殊なパターンは注意が要りますが,基本パターンには簡単に適用できるので
検算などの役に立てればよいと思います~





a6_201511180146108fd.jpg







     
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双曲線の焦点についての関係式 c^2=a^2+b^2

2015.11.17 13:53|数学
どもども。

2次曲線というのは理解が甘くなりやすい単元ですね。
入試での出題率も,低いとは言えないけども高いとも言えず,
きちんとやってはおきたいものの,でもどうしても数学IIIの華は微積なので
その陰に隠れて学習が雑になってしまい,
「お願いだから出題されないで~~~ 」と祈りながら試験本番を迎え,
いざ問題用紙を開いてみると「楕円」や「双曲線」という単語が目に入り愕然とする
みたいなことが起こりがちです。


楕円  (ただし a>b>0 ) の焦点 (±c,0) については, 
 という関係式がありますね。
楕円の方程式を導くプロセスから得られる関係式ではあるのですが,すごく端的にこれを見て取ろうとすると,
楕円上の任意の点Pと2つの焦点  の間に
  という関係式が成り立つことから,
P(0,b) とした場合を考察することで確認ができます hiyos.gif
 だったか  だったかど忘れした際にはこの方法で簡単に検証が出来ます。

p0.jpg


 となるのは双曲線  (ただし a>0, b>0 ) の焦点についてです。

原点,(a,0), (0,b) を3頂点とする直角三角形の斜辺に c が現れることを覚えておけば便利です m_0001.gif

p1_2015111013012167d.jpg


原点,(a,0), (a,b) を3頂点とする直角三角形の斜辺にも c が現れるため,
 が成り立つことから,三角形  は直角三角形になっていたりもします。

p2_20151110130121ce9.jpg

これらのことは,  となることを知っていればすぐ分かることですが,
肝心の  は何をもって端的に確認すればよいでしょうか。

楕円のときのように双曲線上の点Pをどこかにとってそれが見て取れたら楽でいいですね。
ただ,そのような良い位置が楕円のときほど明快には見つかりません。
では一体どうしましょう。

Pを双曲線上の第1象限の部分に取り,だんだん原点から遠くへ動かしていきましょう。
遠ければ遠いほど2つの線分  は漸近線  と平行に近い状態になっていきます。
やがて,Pが無限遠点までいってしまったとすると,この2線分は途中で漸近線と交わるわけにはいかないので
最終的に漸近線と平行になってしまいます korobo.gif


P は常に  を満たしながら動いていったので,
最終的に下図で言うと  が成り立つと捉えることが出来ます。

p3_20151110130122242.jpg

中点連結定理より OI=a であること, ∠IOF=θ とすると直線 OI の傾きから
  となることを踏まえると, I F=b であることが分かるので, 
a, b, c の間に成り立つ関係式が得られます~ kojika.gif



p4_20151110130122b40.jpg
 





   

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2015年前期東北大入試理系数学 第6問

2015.11.10 15:57|大学入試問題
どもども。


今回は今年の前期東北大入試の理系数学第6問を眺めてみます~

問題はこちら~ げろ

b9_20151127014213d6c.jpg


k-連続和という新しい概念を導入して,その性質について論じてもらおうという趣旨の問題ですねー
解析色の強いイメージのある例年の東北大入試にはあまりないタイプの問題ですね。
新課程になったこともあってか少しパターンを変えてきたのかもしれません。

k-連続和とはどういうものか例を挙げてみることにします。

9=2+3+4 と書けるので,9は3-連続和である。
22=4+5+6+7 と書けるので,22は4-連続和である。
81=11+12+13+14+15+16 と書けるので,81は6-連続和である。

こんな具合でしょうか。
連続する k 個の自然数の和で書けるものを指すということです~
(2)(3)のようなk-連続和に関する具体的な質問に答えていくには,
「連続する k 個の自然数の和で書ける」という説明だけでは論じにくいということなのか,
(1)では n がk-連続和であること同値な条件を確かめさせています。

この(A)と(B)が成り立つことが必要十分だということだそうなので,
一旦これさえ確かめてしまえば,(2)以降はずっとこちらの条件に照らし合わせて論じていけることになります eto_inu.gif

それでは(1)を考えていきます~
必要性と十分性を両方確かめれば良いです。
まずは(A)かつ(B)が成り立つことが, n がk-連続和であるための必要条件であることをみてみます~

o1_2015111012585956f.jpg
o2_20151110125900fcd.jpg


今度は(A)かつ(B)が成り立つことが, n がk-連続和であるための十分条件であることをみてみます~


o3_201511101259010a8.jpg


(2)に進みます~
n が2の自然数乗で表されるとき, n はどんな k についてもk-連続和にならないことを示す問題です~
(1)の結果から,どんな k についても(A)と(B)が同時に満たされることはないことを確かめれば良いという方針が立ちます。
そこで, n がk-連続和である,すなわち(A)と(B)を同時に満たす k があると仮定して矛盾を導く
背理法の考え方で証明をしてみます~

整数問題では, (整数)×(整数)=(整数) 型の条件式がしばしば問題解決の糸口になります~



が自然数にならなければなりませんが,分母を払って式変形を施すと



が得られます~
左辺が素因数を2しか持たないことから,右辺もまたそうでなければならないため,
k と 2m+k-1 もまた2しか素因数を持てないことになります。
でも 2m+k-1 は3以上の奇数になってしまうから不合理だよ!という辺りに気付けたら勝利です~


o4_20151110125902eee.jpg
o5_20151110125902419.jpg


(3)を考えてみます~
n が奇素数 p の自然数乗の形をしている場合に何通りの k-連続和に表わされるかを調べる設問ですね。

n が k-連続和になっていると仮定します~
先ほどと同じように



の分母を払って,



の形に変形しておきます~
(2)とは違って左辺が 2 と p という2種類の素因数を持っています。
右辺もまたそうでなければならないことから, k は2だけを素因数に持つか, 2, p を両方素因数に持つかの
2通り考えられる
ことになります~ m_0052.gif


o6_20151110125903745.jpg

f=1の場合を先に調べておきたいと思います~
というのも,あとで分かりますが若干特殊パターンなのです~

o7_20151110125942967.jpg

  o8_20151110125942392.jpg

f≧2 の場合について,まずは k が  の形をしているものについて考えてみます~

F は 0≦F≦f を満たしていれば何でも良いのかと言われれば,決してそんなことはありません~
(A)と(B)を同時に満たすような F に絞りこまなければいけません。
現時点ではあくまでも「もしk-連続和になっているならば」 k は  の形をしている
ということしか分かっておらず,実際にk-連続和になることがあるかどうかという点の答えは
分かっていない状況であることに注意しましょう~

o9_201511101259439cf.jpg


 のパターンについても同じように考えていきましょう~
その際,結論として f が奇数のときは  でなければならないことが
出てくるのですが, f=1 の場合だけちょっと具合の悪い式になっていますね。
f=1 の場合を独立して先に論じておいたのはこの煩わしさの回避が目的です。


o10_20151110125944746.jpg


無事に結論が出ましたね~
f 種類のk-連続和になっているということが分かりました~ m_0051.gif



さて,今回は(A)と(B)という2条件にすり替えて論じていく手法を取りましたが,
この(A)と(B)というのはそれ単独で見ると何だかよく分からない条件ですよね。
こんなわかりづらい条件にすり替えないと見通しよく論じていけないものなんでしょうか。
もう1つくらい別の条件にすり替えて(2)(3)を考えてみたいと思います~


o11_20151110125944a43.jpg


の形で表示できるということからアプローチしていきます。

(2)については,やはり分母を払って

の形などに着目すると良さそうです~

o12_20151110125945394.jpg
    o13_2015111013001305c.jpg


(3)も考えてみます~
まずは f=1 のパターンを先に処理しておきます~

o18_20151110130016e73.jpg



f≧2 の場合について,(2)と同様に k が奇数のものと偶数のものとに分けて考えていきます~
まぁ結局は最初の解法と同じような形の議論に落ち着いていきますね。


o14_20151110130014070.jpg


  o15_20151110130014d11.jpg


o16_201511101300157f5.jpg

o17_20151110130016c54.jpg






   

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