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2015年 京大特色入試第4問

2015.12.27 14:41|大学入試問題
どもども。


今回は今年の京大特色入試の数学の第4問を眺めてみます~

問題はこちら~ わんちゃんmini


以下の条件をすべて満たす数列  は存在するか。
(条件 1)  すべての自然数 n に対して, および は自然数である。
(条件 2)  すべての自然数 n,m に対して,不等式



が成立する。
(条件 3)  どのような自然数 a, b に対しても,自然数 n を適切に選べば不等式



が成立する。





数列の問題ですが,実質的に格子点がテーマの問題になっています~ taxi02.gif
2つの数列  が出てきますが,各自然数 n に対して xy 平面上の格子点  を
対応させて,条件2,3も格子点に関する条件に読み替えてしまうことが出来ます~



ここで,「距離」についての余談を挟んでおきます~
xy 平面上の2点 A(p,q) と B(r,s) の間の距離 d(A,B) といえば,
 で与えられますね。
この「距離」に関しては,  や,
 や,
 (三角不等式) といった性質が成り立ちます。

数学の業界では,既存の概念を抽象化,一般化することが定番の流れになっています。
上記のような性質を持っていればそれは「距離」と呼んで良いことにしよう~  という発想があり,
普段用いている「距離」(ユークリッド距離といいます)とは全く別の「距離」を考えることが出来ます。

例えば, xy 平面上の2点 A(p,q) と B(r,s) の間の距離 d(A,B) を

として定義することも出来ます。これはマンハッタン距離と呼ばれています。
当然ながらユークリッド距離とマンハッタン距離は一般に値が異なります。
原点と(1,1)の距離は,ユークリッド距離で考えると  ,
マンハッタン距離で考えると2になります。
マンハッタン距離で考えると,原点を中心とする半径 R の円というのは,
4点 (R,0),(-R,0),(0,R),(0,-R)を頂点に持つ正方形になってしまいます~ osake02.gif



……な~~んてあたりのことを頭においておくと,
第1象限に含まれる格子点の列  に対して,
条件2は 
と表せます~ ここで「距離」はマンハッタン距離を採用しています。
条件3は第1象限に含まれる任意の格子点 A(a,b) に対して, 
 が成り立つような n が必ずあることを意味しているので,
これはつまり A を中心とする半径100の円の中には必ず何らかの  がある
ということを指しています kinoko02(1).gif


i1_2015122713072789e.jpg


i2_20151227130728cc4.jpg



条件1~3すべてを満たす点列   が存在すると仮定します~
結果をいうと,そのような点列は「存在しない」というのが結論になるのですが,
これを背理法で示していきますよ~ heri01.gif

a と b が自然数ならば S(a,b|100) は必ず何かしらの  を含んでいます。
そこで, R>0 を任意にとってきて,それに伴って a と b を十分大きい値としてとっておきます。
どれくらい大きく取ればいいかというと, S(a,b|100) はいくつかの  を含んでいますが,
それらを中心とする半径Rの円たちを考えたとき
その円たちの中に第1象限にすっぽり含まれているようなものが少なくとも1個あれば十分です。
もちろん半径Rの円というのは,ここでは対角線の長さが 2R の正方形です~

というわけで,  はすっぽりと第1象限に含まれていると仮定しておきます~
 に含まれる格子点の個数は R の2次関数で表せますが,
条件2から,  に含まれ得るような  たちの個数は R の1次関数になっています。
その結果, R が十分大きいと,  に含まれている  たちが少なすぎて,
 の中の格子点のうち,条件3をクリアできないものが出てきてしまうという筋書きで攻めてみます~ been.gif



i2 5
i3_20151227130728ccc.jpg


i4_20151227130729f98.jpg
i5_201512271307294b8.jpg


i6_20151227130758b4f.jpg



こうしてみると,条件2の式の最後の「+100」という項にどれだけ意義があったのかという点は疑問が残りますね。
実はもっと別のアプローチを想定していて,その際に何か存在感を発揮するのかもしれません~



   
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2015年 京大特色入試第2問

2015.12.21 22:14|大学入試問題
どもども。


前回に引き続き,今回も京大の特色入試の数学を取り上げます~
第2問を見てみましょう~


問題はこちら~ 箱ドットおにおん2mini


0 ≦x≦1 の範囲で定義された連続関数 f(x) に対し,x が 0≦ x ≦1 の範囲を動くときの f(x) の最大
値を  とおく。以下の設問に答えよ。
(1) 0 ≦x≦1 の範囲で定義された狭義単調増加な連続関数 f(x) に対し,以下の不等式が成立することを示せ。



ただし,f(x) が狭義単調増加であるとは,「 x < y ならば f(x) < f(y) 」を満たすことをいう。
(2)以下の条件 (A) を満たすような実数 C は存在しないことを示せ。
(A) 0 ≦x≦1 の範囲で定義されたどのような連続関数 f(x) に対しても,不等式



が成立する。









微積分の問題です~
4つある大問の中では一番取り組みやすいものになっているような気がします~
さほど突飛な発想は必要としないし計算量も多くありません~



(1)から見てみます~
定積分を,それが表す面積に置き換えて図形的なイメージを持ちながら考えると割とやりやすいです。
0 ≦x≦1 の範囲で定義された狭義単調増加な連続関数 f(x) を考えますが,
0 ≦x≦1 の範囲でずっと0以上なのか,0以下なのか,正にも負にもなるのか,3つの場合があります。
ずっと0以上か,0以下の場合はかなり取り扱いが簡単なので先に処理しておきます~

ずっと0以上からいきますが,これは f(0)≧0 ということと同等です。
 
とおくとき, f(x)≧0 だけでなく S(x)≧0 も成り立つので,示すべき不等式は絶対値記号の取れた形で取り扱えるため
処理が簡単になるというわけです~ eto_u.gif

h1_20151219125057d79.jpg
h2_2015121912570810c.jpg


0 ≦x≦1 の範囲でつねに f(x)≦0 の場合は, f(1)≦0 と同等です~
|S(x)|=-S(x) は単調増加になっています~


h3_20151219125058d9d.jpg
h4_20151219125058bc8.jpg



面倒なのは f(x) が正にも負にもなる場合です~
f(x) は連続関数なので,方程式 f(x)=0 は実数解を必ず持つことになりますが,
狭義単調増加の仮定から解はただ1個です~
それを x=a とおいておきます。
0≦x<a では f(x)<0, a<x≦1 では f(x)>0 になっています。
  と     を比較したときにどちらが大きいのか,
そこがポイントになってきます。この2つの値の大小が S(1) の符号を決めます hearts_pink.gif

まずは S(1)≧0 の場合を見ていきます~
これはつまり,  が成り立つ場合に当たります~

このとき,  の最大値は  か  のどちらか大きい方になります~
どちらの場合でも証明すべき不等式が成り立つことを確かめてみます~ kaeru_en2.gif





h5_20151219125059595.jpg
h6_2015121912510096c.jpg
h7_20151219125129760.jpg

h8_20151219125130fb2.jpg


最後に    の場合を考えてみます~
この場合は先程よりかは簡単です~


h9_2015121912513057c.jpg
h10_20151219125131108.jpg




次いで(2)です~

どのように定数 C を選んだとしても,何らかの f(x) によって



の成立が阻まれることを示す問題です~

狭義単調増加の f(x) を持ってきた場合は C=3 で不等式が必ず成り立ってしまうため,
狭義単調増加ではない f(x) を選んでくる必要があります。

任意に選んだ C に対して,不等式が成り立たなくなる f(x) を実際に構成してみたいと思います~
はじめは (1) の結果を巧みに利用していきながら構成するのかな,とか思ったんですが
そんなこともなく割と簡単に構成が可能でした~

例えば下図のような周期  の折れ線を考えます~~ m_0143.gif



h11_20151219125132050.jpg
h12_2015121912513255b.jpg





 が周期  の周期関数になっています~
面積が増えては打ち消され,増えては打ち消されの繰り返しになっていて,最も増えきった部分で最大値です。
しかも n に関して単調減少です。一方で    は定値です。
n を十分大きくすると与不等式が成り立たなくなってしまいます~ m_0234.gif



h13_20151219125141cf9.jpg



サインカーブを利用して f(x) を構成することも出来ますね。
周期的な構造があればいくらでも別の例が構成できます~




   

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2015年 京大特色入試第1問

2015.12.18 04:39|大学入試問題
どもども。

先日,今年の京大特色入試の話題になってたコインの問題を取り挙げたので,
ついでなんで残りの問題にも目を向けてみたいと思います~


今回は第1問をみてみます~

問題はこちら~~ 箱ドットおにおん2mini

n を 2 以上の整数とする。原点 O を中心とした半径1の円周を n 等分する点を時計回りに
  とする。これら n 点から無作為に 1 点を選ぶ試行を独立に 3 回繰り返し,
3 点  P,Q,R を順に選ぶ。ただし, P,Q,R は重複を許して選び,どの n 点も同じ確からしさで選ぶものとする。
に対し, P,Q,R がそれぞれ   である確率を  とする。
3 点   が異なるとき,三角形  の面積を とおく。
また,3 点に重複があるとき, とおく。



とおく。  を求めよ。また,  を求めよ。



何やら長ったらしい問題文ですが,要は三角形の面積の期待値を求める問題です。
説明がくどいのは,期待値が数Bの統計分野に移行してしまったので,受験生が「期待値」という単語を知らない可能性が
あることに配慮したものなのでしょうか。こんなムズい問題が解けるような人たちなら「期待値」くらい知ってそうなものですが,
受験したのは数学が大好きな数学科志望の人たちばかりではないですからね。

なかなか重たい計算が課せられる問題です~
どういうアプローチで攻めていけば楽なんだろうかということでしばらく悩みそうです。
それで計算の入口あたりをあーでもないこーでもないと彷徨ってしまいそうです~


まずは j=0 かつ 3 点   が時計回りに並んでいる場合に着目してみます~ tree02.gif

g1_20151217014449f90.jpg




の3つの角に着目してみると,これらの和はいつでも 2π に等しく, x+y+z=n を満たしています~
面積が0になってしまうパターンについては  に本質的に影響を及ぼさないので,
x,y,z がすべて自然数になるパターンを考察すれば十分です。
 が鋭角三角形,直角三角形,鈍角三角形のいずれであっても,



が成り立ちます~ star-ani01.gif



g2_20151217014450b92.jpg

j=1,2,3,.......,n-1 の場合も同様に考えることができ,またそれぞれにおいて3 点   が
反時計回りに並んでいる場合も加味しなければいけません~ senpuki04.gif

組 (j,k,l) は  通り考えられ,それぞれが等確率  で起こります~
したがって,上述の形式で表せる面積たちの総和に  をかけたものが期待値  と等しくなります~

より簡潔な形を目指すため,あれやこれやと式変形を施していきます~


g3 1


有限和なので,どの項から足し合わせるかという順番は自由に変えることが出来ます~
x+y の値が一定値 k である項たちを先に足し合わせ,それを k=2,3,4,......,n-1 の分だけ和を取る
という方針で丹念に式変形を施していきたいと思います~ santa03.gif




g3 2
  g4_201512170144510ac.jpg


だいぶ計算のしやすそうな形にまで変形ができました~ kusyami01.gif
さて,上式の前半部分の和についてですが,1の n 乗根   
と関連付けて考えたりすると分かりやすいと思いますが,和が0になります~


g5_20151217014452201.jpg


もう一方の和はちょっと面倒そうです~

 の導関数を利用して計算してみます~


g6_20151217014453515.jpg

g7_201512170145111c4.jpg



なんとか答えまで辿り着きました~ hiyoko03(1).gif


なお,極限値を出すだけだったら区分求積法を用いてもうちょい早く答えに到達することが可能です~


g8_20151217014511ff0.jpg

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