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2016年センター試験数学2B 第1問その2

2016.01.29 21:18|大学入試問題
どもども。


今年のセンター2Bの第1問後半を見ていきます~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90

三角関数の分野からの出題です~
三角方程式の解の個数がテーマになっています~
方程式の解の個数を問う問題というのは入試では頻出ですが,苦手な人も多そうですね。




2乗やら分数やらが入りこんだ面倒そうな形をしています。
とはいえ,  だったりするので,
角度 2x に関する三角関数を使った式に書き換えていくとすっきりしそうです~ dolphin.gif



c1_201601291456495d0.jpg

c2_20160129145650bdc.jpg


変形後の方程式は元の方程式の両辺に  をかけたものです~
一般に,方程式 f(x)=0 と両辺に g(x) をかけた方程式 f(x)g(x)=0 は
元のものと同値な方程式ではなくなります。
例えば2次方程式 (x-1)(x-2)=0 の解は x=1,2 ですが
両辺に x をかけて x(x-1)(x-2)=0 を考えると x=0,1,2 となり,
元の方程式と解の集合や個数が変わってしまいます。
ただ,  において  は0にならないので
今回は元の方程式と変形後の方程式は全く同じ解を持ちます。
無論,解の個数も同じです。
解の個数問題では,方程式の変形に際し個数が変化しないかについては慎重に吟味が必要です~


かくて,  が成り立つか  が成り立つかの
どちらかであれば良いということが分かったのですが,
前者の解は k の値に依存して変化します。
一方で後者の方は k の値に依存しません。
次の空欄を埋めるには  を満たす x を考えればよいわけです~
前の空欄の値を誤ったりしても答えられるので親切設計ですね。

c3_2016012914565178b.jpg



今度は  の方について考えていかないといけません。
0<2x<π なので,常に sin 2x>0 です。よって,  と直すことも出来ます。
三角方程式  (0<θ<π) を解くにあたり,単位円を使って考えていくと,
単位円と直線  との共有点の個数だけ解があることが分かります。

 なら共有点0個,  なら共有点1個,
 なら共有点2個になっています~ kaeru_yodare1.gif


c4_201601291456522dc.jpg
c5_20160129145653239.jpg


上の考察からも分かりますが,共有点の個数+1が元の方程式の解の個数と等しいという安易な発想は良くないです。
共有点のうち一方から出てくる x の値がもし  だった場合,
共有点の個数が元の方程式の解の個数と一致してしまいます。

  の場合はそういう現象が起きてしまいます
ここの空欄を1個ではなく2個にしてしまった人は多いかもしれません~


c6_201601291456532d2.jpg


さて,今の問題ですが,単位円を使わずグラフで攻めるというアプローチ法もありますね。
 の解の個数は曲線  と直線  の共有点の個数を調べれば良いので,
   の範囲での共有点の個数を数えてみます~


c7_20160129145746f91.jpg




y=cos4x のグラフと直線 y=1-8 k の共有点を比べても良いですね~


c8_20160129145747831.jpg



この辺りまでがピークで,後半は解きやすいです。
 のときに cosx の値を求めるというものです~

sin2x の値がすぐ出てくるので,あとは三角関数の相互関係や2倍角の公式あたりでサクっと処理できます~ kasabake.gif



c9_20160129145747aee.jpg


c10_201601291457489f1.jpg


c11_20160129145749a1b.jpg




最後に,参考までに図形の性質を使って最後の空欄を埋めてみます~
下図において ∠BED=x であることに着目します~~


c12_201601291457504c8.jpg




  
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2016年センター試験数学2B 第1問その1

2016.01.28 14:18|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター数学2Bの第1問の前半を見ていきます~ ぺんぎんmini

昨年は大荒れした2Bですが,2年連続で大荒れということはなく今年は並盛りです~
1Aの摂氏華氏とか去年の微分係数の定義などギョッとするような出題はなく
指数対数のグラフに着目ってのは面白いかもな~くらいかもしれないです。
数列では群数列が出題されて,苦手な人にはきつかったかもなぁーとか
今年も確率分布に逃げる作戦が有効作用してそうだなぁーとか,印象はそんな感じでしょうか


では大問1の前半,指数対数分野のとこを見ていきます~

はじめはただの計算です~
サービス問題ですね。
対数の底がやや面倒な数値のときは底の変換公式なんかが有効です~ m_0027.gif


b1_20160128132203c63.jpg


次はグラフの位置関係に関する設問が続きます~
指数対数について,数学が苦手な人たちの中にはあまりグラフの理解に力を入れない人も見られるようですが
そういう人たちにはキツイ問題かもしれません。


a>1 のとき,指数関数  のグラフは右上がりの曲線,
0<a<1 のときは右下がりの曲線になっています~
 とおくとき,  が成り立ちますね。
y=f(x) のグラフと y=f(-x) のグラフは互いにy軸に関して対称になっています~ m_0100.gif


b2_20160128132204d5f.jpg




 が成り立つとき,この関係性を対数を用いて表せば  となります。
これは  という式で x と y を入れ替えたものにあたるので,
次の設問は2つの曲線  と  の位置関係を答えるような類のものだと思っても良いですね。
例えば前者が (p,q) という点を通ったとすれば,それは  という関係式が成り立つよ,
ということを意味するので,後者のグラフは点 (q,p) を通ることになります~
つまり,一方のグラフが点 (p,q) を通るならもう一方は点 (q,p) を通る。
この2点は互いに直線 y=x に関して対称なので,2曲線  と  は
直線 y=x に関して対称であるということがいえます~ pakukapa.gif

一般論として,2曲線 y=F(x) と x=F(y) は直線 y=x に関して対称です~
数3の逆関数の知識を持っている理系の生徒には有利だったかもしれません。



b3_201601281322043de.jpg




a を1ではない正の数とします。このとき,  が成り立ちます。
 とおくと,  が成り立つということですね~
y=g(x) のグラフと y=-g(x) のグラフはx軸に関して対称になっています~ aicon338.gif


b4_201601281322055b1.jpg



また,  が成り立ちます~



b5_201601281322057b0.jpg



次は対数を含んだ関数の最小値を出す問題です~
変数の置き換えによって2次関数に帰着できるタイプなので,典型問題ですね~

ここでは  という置き換えが指示されています~
変数の置き換えをする問題で注意しなければいけないのは,新変数の定義域をしっかりチェックしておくということです butterfly04.gif
前半で対数のグラフを考察していたのは伏線だったのかもしれませんが,
t は実数全体を動きます~


b6_20160128132206af7.jpg




ここまできてしまうともはやただの2次関数の問題ですね。
数学1Aの方で2次関数分野の存在感が薄かった分,ここで出てきました~

b7_201601281322155a5.jpg













     

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2016年センター試験数学1A 第5問

2016.01.27 01:27|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター数学1A第5問を見ていきます~ げろ


図形の性質の単元ですね~
円周角,角の2等分線,メネラウス,チェバ,方べきなど基本定理のオンパレードといった感じの内容になっています~
また,終盤は正しく状況が捉えられないと解答できないという意地悪さも垣間見えますし,
設問の数も他の選択問題に比べて多めです~~

a1_20160126133452ba3.jpg


状況はこのような感じですね~
円に内接する四角形ABCDがあり, BA=4, BC=2, CD=DA です~
また, AF:FD=2:3 になっています~

はじめの設問は ∠DAC と大きさの等しい角を選ぶものです~
二等辺三角形の底角が等しいことと円周角の定理から分かります~

「このことより」と前置きがあった上で  の値を求める設問が続いています~
「~~より」「~~であることから」などの記述は大きなヒントになるので見落とさないようにしましょう~
∠ABD=∠CBD が成り立つので直線BDは ∠ABC の二等分線になっていることに着目してね,という
ヒントになっています~
△ABC について角の2等分線の性質を適用しましょう~


a2_20160126133453967.jpg


上記のように △ABC について角の2等分線の性質 BA:BC=AE:EC,というのがベタな流れだと思いますが
その他のアプローチから求めることも出来ます~
では先に進む前に幾つか別アプローチを考えてみます~

まずは下図における △AEJ と △CEI の相似に着目してみます~
これは実は上述の角の二等分線の性質の証明の際に使われたりする手法でもあります。


a6_201601261334553b5.jpg


続いて面積比の利用によるものです~
このブログでは対角線分割と呼んでいるいつものアレです:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-59.html
AE:EC=△ABD:△CBD に着目します~

a4_20160126133454e58.jpg


次のように面積を出しても良いです~


a5_20160126133455fcc.jpg




それでは先に進みましょう~

「 △ACD と直線 FE に着目すると」という前置きがあって  を求める設問です~
三角形と直線に着目するというところでピンときて欲しいのはメネラウスの定理です~ eto_ushi.gif

今回は問題文の中で親切に指示してくれていますが,
図がごちゃごちゃしてくるとどこに着目すれば良いかだんだん分かりにくくなってきます。
必要に応じて図の必要な部分だけを抜粋して考えると良いです~


a3_2016012613345439a.jpg





平行線と線分の比の関係を使って求めても良いと思います~


a7_20160126133532f14.jpg





先に進みます~
直線 AB 上にGがあるという追加条件のもとで考えます~
BG の長さと DC の長さを出す設問です~

BG ですが, △ADG に着目すると良いという誘導があります~
よく見るとチェバの定理が適用できる状況になっていますね~ hiyos.gif




a8_20160126133533917.jpg




なお,実はチェバの定理でなくメネラウスの定理でも解決できます~



a10_20160126133534aaf.jpg



この手の図形はベクトルとも相性が良いのでベクトルを用いて攻めるのも悪くないですねー


a13_2016012613361321e.jpg



一方で DC の方ですが,「4点A,B,C,Dが同一円周上にあるので」というヒントが添えられています~
方べきの定理の利用が一番ベタなところだと思います~ m_0025.gif




a9_20160126133533b49.jpg



序盤の方で, ∠ABD=∠CBD=θ とおいた場面がありましたが,
ここで BD, CG, cosθ の3つに関する連立方程式を余弦定理を用いて立ててみる方針も試してみます~



a11_20160127004147bd7.jpg

a12_2016012613353662e.jpg

さりげなく △ACD が実は正三角形になっているという情報が出てきましたね~
特に気付かなくても何の支障もないですが,気付けたのでなんだか得した気分です~



先に進みましょう~
ここが一番厄介な難所だと思います~
四角形 ABCD の外接円の直径が最小になる場合を考えるというみたいですよ~
それがどういう場合なのかということが正しく把握できないと以下の設問には対応できません。

まず直径が最小になるのはいつなのか考えてみます~
長さ4の弦ABが存在する必要があるので,円の直径は少なくとも4以上である必要があります~
もし4未満なら長さ4の弦が引けません。
一方で,円の直径が4であるとき,この円とBを中心とする半径2の円は相異なる2個の交点を持つので
そのうちの1つをCとすれば BC=2 が成り立ちます~
ということは,直径が4であるときというのが求めるべき最小のパターンだったといことが言えます。
このとき, AB が直径になっています~ m_0246.gif

更に,30°の角がたくさん出現し,
結果として四角形 ABCD は AB と CD が平行な等脚台形になっています~
最後の設問は AH の長さを求めるものになっていますが, AB と CD が平行なことによって
△DFG∽△AFH や △CEG∽△AEH などの相似関係を見い出せるので,
それを利用して求めると良いでしょう~



a14_20160126133614400.jpg





またここでもメネラウスの定理を利用するという手もあります~
△ABD と直線 GH に着目してみましょう~



a16_20160126133615a71.jpg





また,直線 BG が AB および DG と垂直であることに気付けると,
以下のような解答も可能になります~



a17_201601261336160cf.jpg


よく考えたら前半で既に I という点は作ってましたね。
二重定義になってしまっていますが気にしないでおいてください~
(…と言って修正をサボる)

最後にベクトルを使って AH を求めてみます~
△DFG∽△AFH や △CEG∽△AEH などの相似関係には敢えて気付かないふりをしてみます。

a15_20160126133615372.jpg














  

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