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2016年センター試験数学2B 第5問

2016.02.08 01:32|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター数学2B第5問です~ ぺんぎんmini

さくっとやっつけてしまいます~



確率と統計の単元ですね~
数列・ベクトル・統計から2つ選ぶシステムですが,数列やベクトルが苦手な人にとっては
なかなか魅力的な逃げ道だと思います~ body_run.gif
完答するのはちょっと大変ですが,大問の5割前後取れれば上々というくらいの人ならば
十分に検討の余地があります。

確率は数学1Aでも学ぶので,その知識が有るだけでもはじめの空欄は埋められます。
今回の大問では数直線上の動点がテーマで,反復試行の確率が分かっていれば
空欄ケのあたりまではいけます。
そこから先は確率変数に関する基礎知識と二項分布についての知識があれば空欄チツまでいけます。
ここまででちょうど12点相当になっています~

ではもうちょい具体的に見ていきます~


はじめ原点にある動点Aが n 回の移動を行います。
確率 p で正方向に3,確率 1-p で負方向に1だけ移動するそうです~

n 回のうち,Y回が正方向の移動, (n-Y) 回が負方向に移動であり,
n 回の移動後の点Aの座標がXということになっています。

XとYの関係は(+3)の移動がY回,(-1)の移動が (n-Y) 回として考えると良いですね。
はじめは n=2 の場合を考える設問になっています。
n=2 に特化して考えてもいいし先に一般の n の場合を想定して空欄クケから埋めてしまっても良いと思います。

一般の n の場合でいうと, Y=k である確率は

で与えられます~ car2_tank.gif



g1_201602072348331e8.jpg


確率変数 Y は二項分布 B(n,p) に従います~
その期待値,分散は公式そのまんまで空欄が埋められます。
一方で X については,  が成り立ちます~
一般に,2つの確率変数 X と Y の間に X=aY+b という関係があれば

が成り立ちます。


g2_20160207234834f56.jpg


ここからは後半戦です~
n=1200 の場合を考えていきます。  ならば X≧120 となる確率はどれくらいになるかという設問です~
上で答えた値に n と p の値を代入することによって具体的に E(Y), V(Y), σ(Y) の値が分かります。
代入してみるだけで空欄セソタチツが埋められるので親切設計です~

n=1200 は十分大きい値なので正規分布で近似できることを利用します~
また,確率変数 U が正規分布 N(m,v) に従うとき,確率変数  は標準正規分布 N(0,1) に従います~ eto_mi.gif



g3_20160208005248eae.jpg


ここから先は母比率の推定の問題です~
p の値が分からないそうです~
代わりに n=2400 で X=1440 だったという状況が分かっています。
p は大体いくらか95%の信頼度で求めなくてはいけません。
X=1440 ということは Y=960 であることが分かります。
2400回中960回正方向の移動があったのだから,正方向移動の確率はおよそ  
くらいだろうと見当はつけられますが,もう少し幅を持たせたいと思います。
この0.4という数値は標本比率ですね。

確率変数  は近似的に平均 p, 分散  の正規分布に従いますが,
分散は  に近い値なのでこれで置き換えていきます nezumi02.gif



g4_201602072348355ac.jpg
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2016年センター試験数学2B 第4問

2016.02.07 19:00|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター数学2B第4問です~~ 箱ドットおにおん2mini

ベクトルの単元からの出題です~
今年は空間ベクトルでしたね。よくあるタイプの四面体の問題で,これといって斬新な設問もなかったので
標準的なセンター対策ができていた人はなんとか切り抜けられたんじゃないかという感じの内容でした~
ただ,序盤のウエオカキの辺りがちょっとだけ計算が面倒で,この大問の面倒ピークになっています。
序盤にピークを持ってきてしまうと,そこの設問の時点で心折れてしまった場合に大きな打撃になってしまう懸念があります~


とりあえず具体的に見ていきましょう~
四面体 OABC が与えられていて,OA,OB,OC の長さおよび ∠AOB=∠BOC=∠COA=60°
が分かっています~

まずは内積の値を求める設問です~これは確実に正解しておきましょう~


f1_20160207014747b66.jpg



 を求める設問が続いています~
先程も述べた通り,計算の面倒臭さはここがピークです~


として計算していきます~
頑張って展開していきましょう~

展開した後の式は s と t の2次式になっています~
これを平方完成して空欄どおりに  の形の式変形をすると
X=Y=0 のときに最小値をとることが分かります~

f2_201602070147485e8.jpg



先に進む前に,   の計算について,ベクトルの内積計算をせずに求めていく方法を検討してみます~ eto_hitsuji.gif

まずは最小値  を求めてみます。

そのための準備として,一般論に少し触れておきます~
空間上の交わらず平行でない(いわゆるねじれの位置)2直線  があり,
 上の動点Pと  上の動点Qがあるとき,PQの長さが最小になるのはどんなときか?
という点についてです~
 
  の方向ベクトルを考え,その両方に垂直なベクトル  を法線ベクトルに持ち,
 を含む平面  と,  を法線ベクトルに持ち  を含む平面  を考えると,
この平行な2平面の間の距離がPQの最小値に等しいです~ kaeru_en1.gif


f9_201602071739422dc.jpg





この2平面をちょうど真上から見てみましょう~
 が交わって見えます~
この交点に対応する  上の点をそれぞれ  とします~





f10_20160207174739501.jpg


このとき,  かつ  であって,  の長さが2平面の間の距離と等しくなっています。
P が  以外の位置にあったとしましょう~
Pから平面  へ垂線PHを下すと,  が成り立ちます~
Qの位置によらずに PH<PQ が成り立つことが直角三角形PHQの辺の長さの関係から分かるので
 となり,PQの長さを最小にするにはPは  の位置に取らねばならないことが分かります~
Pをその位置にとったとすると,QはPからmに下した垂線の足の位置にあるときにPQの長さは最小になるので,
以上からPQの長さの最小値は  の長さに等しいことが言えました~ m_0033.gif


元の問題に戻ります~
PQが最小になるのは PQ⊥OA かつ PQ⊥BC となるときです~
ここで注目したいのは,もし Q をBCの中点の位置にとると,四面体OABCは平面OAQに関して対称になっている
ということです~ m_0251.gif
BとCは互いに平面OAQに関して対称な点なので直線BCはこの平面に垂直です。
ゆえにこの平面上の任意の直線とBCは垂直です。
したがって,Pの位置によらず PQ⊥BC となります~
あとはQから辺OAに下した垂線の足をPとすれば, PQ⊥OA かつ PQ⊥BC が成り立つように設定できます~
△OAQ に余弦定理を用いることで cos∠POQ を求め, OP=OQcos∠POQ として求めてみます~


f3_20160207014748bcc.jpg


AB や AQ の長さや cos∠POQ を求めなければならないなど,途中過程がちょっと面倒でしたが,
ある点に着目すればこの部分はショートカットできます。

辺OA上に OD=2 となるように点Dをとってみましょう~
そうすると四面体ODBCは1辺2の正四面体になっていることが分かります~ rabi_shy.gif
ということは△ODQは  の二等辺三角形になっているので,
PQ⊥OD となるにはPはODの中点であれば良いので, OP=1 がすぐに得られます~
あとは三平方の定理でPQを求めて終わりです~


f5_201602070147503fc.jpg


さて,最小値だけ分かっても  のところの空欄は埋められません。
P,Q が一般の位置にある場合は三平方の定理を使って処理します~
最小値をとるときのQ,Pの位置の点をそれぞれM,Nとすると,
 が成り立ちますよ~ rokuro.gif



f4_20160207014749f03.jpg


内積計算よりゆるい計算量で空欄を埋めることが出来ました~ robo.gif


それでは先へ進んでいきましょう~
ここからはPとQは最小値をとるときの位置で固定されます~

△ABCの重心をGとして△GPQの面積を出したいということのようです。
 の値と ∠APQ の大きさを答える設問からスタートです~
前半の空欄が埋められなくても点数を稼げる救済ポイントですね。
先程から述べているように PQ⊥OA になっています~
そのことに気付いていなくても内積計算をしてみればすぐに確かめられます。

よって次の空欄の△APQの面積は 底辺×高さ÷2 ですぐ解決です。
また,重心の位置ベクトルの公式から   が成り立ちますが,
今回ははじめから△OAQに着目して  とするほうが楽です~

あとは簡単な面積比の計算で終了です~
面積比の問題はなにげに出題率が高いので用心ですねー risu.gif



f6_20160207014750bea.jpg


面積比を使わずに 底辺×高さ÷2 などの公式から求めても良いです。
PGとOQが平行であることを利用して,PQを底辺とみて面積を求めてみます~ ramen.gif



f7_2016020701481024b.jpg
f8_20160207014811f84.jpg




 

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2016年センター試験数学2B 第3問

2016.02.06 16:10|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター2Bの大問3を見ていきます~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189

数列の単元からの出題で群数列がテーマになっています~
過去にも何度か群数列は出てきてます~(2010年とか)

苦手な人はほんとに苦手なんですよね,群数列。
問題見た瞬間に青ざめた人もいたかもしれません~
コツさえ掴んでしまえば割とパターン解法で処理できちゃったりもするんですけどね。


今回の数列は真分数を順番に並べていくというタイプのものです。
はじめにすべきことは次の3点をおさえておくことです~ dog_happy.gif

 k群に含まれる項数
 k群の最初の項
 k群の終わりまでに含まれる項数


群数列の問題では毎回この3つをヒントにして解き進めていくので,
設問に取り掛かる前に準備しておくと良いでしょう~


k群に含まれる項数は k ですね。
k群の最初の項は  です。  じゃないトコロがやらしいです。
k群の終わりまでに含まれる項数は (1群の項数)+(2群の項数)+(3群の項数)+…+(k群の項数)
で求められることもおさえておきましょう~ kaeru_en1.gif
なお,k群の終わりまでに含まれる項数は,k群の末項が全体の数列の第何項かを表していることも見落とさないでください~


e1_20160206134651a80.jpg



では具体的に設問に挑んでいきましょう~
 は何か?初めて分母に8が現れるのは第何項か?という問いですね~

これくらいなら何か計算するよりも具体的に項を書き並べて答えてもいいんじゃないかという気もします~
k群の終わりまでに含まれる項数が  であることを利用してもよいです~
ちなみに初めて分母に8が現れるのは7群の1番目です~

e2_20160206134651896.jpg


続いては, k≧2 に対して,初めて  が現れるのが第  項とし,
初めて  が現れるのが第  項として,  と  を求めるという問いです~

分母が k であるような分数が並ぶのは (k-1) 群なので,
端的に言うと, (k-1) 群の初項と末項が全体の数列の何番目ですか?と聞いていると思えばよいです~ m_0054.gif

 については上の方で7群の1番目が  だと求めたときと同じようにやればいいです~
 は  より (k-2) 個先に進んだとこだと考えてもいいし,
 として考えても良いです~
そもそも (k-1) 群までに含まれている項数が  だという見方も出来るので,
冒頭で求めた「k群までに含まれている項数」の式に当てはめるのが一番手っ取り早い気がします


e3_201602061346526c4.jpg
e4_20160206134653231.jpg


この  と  については漸化式を立てて解くという方針も使えそうです~
 は (k-1) 群の1番目,  はk群の1番目なので,
 はちょうど (k-1) 群に含まれている項数 k-1 に等しいことが分かります~
 (k≧2) という漸化式を解けばよいのですね。
階差数列の公式を使えばすぐに一般項が求められます~
数列  は n=1 では定義されていないので何の断りもなく  とか出してこないようにしましょう~

e5_2016020613465388b.jpg



次は  を求めます~
 が何群に含まれるのかをまず調べましょう~
 なので,  と分かります~
つまり14群の末項が  なので,  はその1個手前を考えればいいですね rabi_left.gif

では一体  が104に近いことをどうやって見付ければよいのでしょうか。そこが肝心です。
 の値が104に近そうな k の見当をつけるのですが,  と104が大体近いということは
 と 2×104=208 が大体近いということだとみなして, k≒14 くらいかな?
とすれば良いのです~

もう少し丁寧にすると,
 がk群に含まれているための条件は  なので,これを満たす k を見付けるために
 という不等式が出てくるので
 から k=14 が分かります~



e6_20160206134654c41.jpg



次は全体の数列の第  項から第  項までの和を求めます。
これはすなわち (k-1) 群に含まれる項の総和を求めろということですね~
ということは,分母が k である項の並んでる部分の和ということです~

そして全体の数列の初項から第  項までの和を求める問いが続いています。
初項から (k-1) 群の末項までの和なので,
(1群に含まれる項の和)+(2群に含まれる項の和)+…+((k-1)群に含まれる項の和)
で計算ができます~ s2_sum_suika.gif



e7_20160206134714b5d.jpg


最後に  を求める設問です~

第103項は14群の末項の2つ前ですね。
上で求めた結果を利用して,14群までに入ってる項の総和を求め,そこから  を引けばよいです~ kaeru0-02.gif


e8_20160206134714cec.jpg



ひととおり解き終わりましたが,こうして設問を振り返ってみると,一般項の類を出す設問以外では
高々14群までしか出てこないんですよね。
14群までくらいであれば全部項を書き出していくというスタイルでもかなり設問に対応できます。
試しにやってみましょう~

e9_20160206134715d58.jpg

これだけでもう20点中12点です~ kaeru08.gif
群数列を苦手とする人の中にはこうした力技でしのいだ人が思ってる以上にいる気がします。
更に姑息な手段で残りの空欄を埋めていくと,
 の形で書けることが空欄の形から分かるので
上の列挙した結果から  であるから

を解いて, 
となることが分かりますね。他の空欄もこんな感じでいけます。
未知数3個のところはここだけで残りは全部2個でいけるのでそれほど苦でもありません。
記述式の試験ではこれだとNGですが(答え出した後で帰納法で実証すればセーフだろうけど,
それができる人なら普通に解いていける気がします),マークならこんな抜け道もあるでしょうね。
また上のハヒフヘホ部分の計算過程を見ていると,ツテトナ部分は  となっていることが
容易に類推できます~(もちろん帰納法で確かめることが本来必要です)

群数列のパターン解法が分かってなくても,このようなズル技を使って20点満点で切り抜けることも可能になっている
そういう大問3でした。






   

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