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2016年前期東大入試理系数学 第3問

2016.03.21 14:39|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東大理系数学の第3問をみてみます~


問題はこちら~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90



2016t3.jpg


空間図形の問題です~
空間ベクトルの問題として捉えてもいいし純粋に空間幾何の問題として捉えてもいです~
後半は面積の最小値を求めなければいけません。
数3の微積の問題と捉えるのがスタンダードな流れでしょうが,相加相乗平均の関係式を用いることも可能です~

k1_2016032113333730c.jpg

 の面積 S(a) を求めなければいけないので,
まずは3頂点の座標を求めていきたいと思います。
 から考えていきましょう~

ベクトルを使っていくとすれば,  を線分  の延長上にある点として捉えて

の形で表示できることに着目します。
成分表示したときに x 成分以外が0になることから定数  の値を計算できます~ cat_4.gif


k2_20160321133337049.jpg



残り2頂点についても同様に求めていきます~



k3_2016032113333807a.jpg



これらの座標をより初等幾何を活かして求めるとしたら,平行線と線分の比の関係を有効利用するのが良いでしょう~ car2_truck.gif


k4_20160321133338271.jpg
k5_20160321133339853.jpg

3点の座標は他にも内分・外分点の公式を利用するという手もあります。
さて,3点の座標が分かったことで S(a) の計算が出来ます。
しかも  は直角三角形になっているため,その計算は容易です~




k6_20160321133339531.jpg
k7_20160321133417e91.jpg




S(a) は a についての有理関数になっています~
最小値を求めるとしたら,真っ先に思いつく方針は微分を用いるものですね kaeru_ang3.gif
分母が3次,分子が2次なのでやや計算は面倒です。計算ミスに気をつけたいです。


k8_20160321133417756.jpg


やや複雑な有理関数の導関数の計算には,対数微分を用いる作戦もあります~


k9_2016032113341896b.jpg



S(a) は常に正値であり,また整理すると分子が  という単項式になってしまうため,
敢えて  の最大値を考える問題にすり替えてしまうというのも有効手段です~ m_0032.gif




k11_201603211334190c3.jpg
k12_201603211334199ac.jpg




微分を用いずに求めるなら相加相乗平均の関係式を使うのが簡明です。



と変形ができますが,ここで  のそれぞれに別々に
相加相乗平均の関係式を適用します~

注意すべきはこの2つに関して,等号成立条件が運好くどちらも a=2 であることです。
一般にはそんな都合良くならないことが多いですが,今回は都合良い状況になっているので
これで最小値が求められます~ pakukapa.gif



k10_20160321133418c84.jpg







   
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2016年前期東大入試理系数学 第2問

2016.03.13 09:10|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東大前期入試理系数学の第2問をみてみます~

問題はこちら~ げろ


2016t2.jpg

確率の問題です~
n 回目, n 秒後, n 個など,一般の自然数 n に絡んだ確率の問題が割と多い印象がありますが
今年もそういうパターンです。
A,B,Cの3チームが争う野球大会の優勝チームの決定がテーマになっています。
いわゆる巴戦と言われる対戦形式ですね~
また,新課程になったことを踏まえてか,条件付き確率の設問も用意されています~



(1)は n 試合目でAが優勝する確率を求める問題です~

さて,今回の確率の問題を解くにあたって,何から始めるべきでしょうか。
「n」絡みの問題だと,確率漸化式を立てて解くというのが定石としてよく知られているため
今回も漸化式を立ててみようというところから始めてしまうかもしれません。
もちろん,その方針でも解いていくことが出来ます~

漸化式を立てる前に,あるいは漸化式を立てるために, n=1,2,3,4,..... のときに
どのような状況が生じるのか実験してみるというのもよくやるステップです。
今回はいきなり n 試合目と n+1 試合目の関係を考えるのではなく,
まずは試合の変遷を順に辿ってみたほうが全体像がよく分かります~ eto_inu.gif

1試合目は A対B の対戦ですから,2試合目は A対C または B対Cになります。
3試合目,4試合目,5試合目まで優勝チームが決まらなかったとしましょう。
この場合,3試合目,4試合目,5試合目の対戦チームは
2試合目が A対C だった場合にはそれぞれ C対B → B対A → A対C
2試合目が B対C だった場合にはそれぞれ C対A → A対B → B対C
と確定してしまうのです~
これは6試合目以降でも同じで,結局のところ n 試合目まで優勝チームが決まらなかったならば
対戦の流れは1試合目にAが勝ったときの流れとBが勝ったときの流れの2通りに分岐し
それぞれの流れで k 試合目の対戦チームは1通りに確定してしまう
のです hiyo_eye.gif

しかも対戦パターンも A対B, B対C, C対A の3種類しかなく,同じ組み合わせの対戦が3試合毎にやってきます~
このことから,Aが優勝を決めることが出来る試合も3試合毎にやってくることも分かります~
nを3で割ったときの余りが0,1,2のいずれであるかで場合分けして論じていけば良さそうですね~ kaeru_en4.gif



j1_20160320141305e79.jpg


j2_20160320141305c13.jpg


上では n=1 の場合も含めていますが,問題文で問われているのは n≧2 の場合についてなので
n=1 の場合を記述していなくても問題はないと思います~


ではこの問題を確率漸化式を使って解いてみたいと思います~

まずは連立漸化式を使ってみます~
ところで,1試合目がA対Bで,AもBも勝率が  なので,
AとBは基本的に立場が対等です。このことから生じる対称性から,
たとえば「 n 試合目でAが優勝する確率」と「 n 試合目でBが優勝する確率」は等しいとか
「 n 試合目がA対Cである確率」と「 n 試合目がB対Cである確率」が等しいなどのことがいえます~ m_0056.gif

ここで,
「 n 試合目までゲームが続く」かつ「 n 試合目がA対B」かつ「既にAが1勝している,または, n=1 である」確率
を  とおきます。対称性から,
「 n 試合目までゲームが続く」かつ「 n 試合目がA対B」かつ「既にBが1勝している,または, n=1 である」確率
も  になります。

同様に確率  も下図にあるように定義しておきます。

j3_20160320141306a7f.jpg

このとき,数列  の間に成り立つ関係式を作って,  を消去し,


という関係式に移行します。  は等比数列ではありませんが, 
 はすべて公比が  の等比数列になります~

 が分かればそれを使って直ちに  も求められます。

このとき, n≧2 において求める確率  は



で計算ができます~ m_0207.gif




j4_2016032014130689e.jpg


j5_20160320141307259.jpg
j6_201603201413077b8.jpg



同じく確率漸化式を立てる方針ですが,はじめから1個の数列を用意して攻めてみます~
「n=1である」または「 n 試合目を始める時点で既にAが1勝している」確率を  とおきます~

n≧4 のとき  が成り立つことを導いていきます。
また, n≧2 のとき求める確率は  で計算できます~ m_0235.gif



j7_201603201413364dd.jpg

j8_2016032014133679e.jpg


  j9_20160320141337e49.jpg




ぼちぼち(2)に進みます~
3m回以下でAの優勝をもってゲームが終了するという前提のもとで,
最終試合がA対Bである条件付き確率を求める設問です~
条件付き確率の定義から,3m回以下で最終試合がA対BでAの優勝をもってゲームが終了する確率を
3m回以下でAの優勝をもってゲームが終了する確率で割れば良いですね onigiri_1.gif

「3m回以下でAの優勝をもってゲームが終了すという事象」は
「1試合目でAが優勝する」(これは確率0ですが) または 「2試合目でAが優勝する」
または 「3試合目でAが優勝する」 または …… または 「3m試合目でAが優勝する」
という3m個の排反な事象の和集合なので,(1)の結果を使ってこの確率は  と表せます~


j10_20160320141337b4c.jpg


一方で,3m回以下で最終試合がA対BでAの優勝をもってゲームが終了する確率を考えましょう。
対戦の流れは初戦でAが勝ったときの流れとBが勝ったときの流れの2本しかないわけでしたが,
このうちA対Bが最終試合になってAが優勝するのは初戦でBが勝ったときの流れのほうです。
なので初戦にBが勝ち3m回以下でAが優勝する確率を求めればOKです。
はじめの解法の(イ)の確率ですね xmas_tonakai.gif




j11_20160320141338b95.jpg


なお連立漸化式を使っていたときは,3m回以下で最終試合がA対BでAの優勝をもってゲームが終了する確率は
 で計算できます~ aicon_bbs18.gif








  

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2016年前期東大入試理系数学 第1問

2016.03.09 03:40|大学入試問題
どもども。
今回は今年の前期東大入試の理系数学第1問をやっていきます~


問題はこちら~~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90

i16_20160309020434fb7.jpg


今年も前期試験が終わりちょうど合格発表シーズンですね~
今回の東大前期はものすごく話題性のある問題とかは特に無いですが,
簡単だったわけでもなく平常通りという印象です~

第1問は数3の微積,不等式の証明です~~

 と e の間の関係がテーマになっています~~

 であることはおなじみですが,
極限に飛ばす前の段階では  は e より小さいことを確かめます。
また, 
も成り立ちますが,極限に飛ばす前の段階では  は e より大きいことも確かめます。


実は x>0 のとき  が単調増加で,  が単調減少です~
このことを検証することによって目標の不等式を示してみたいと思います~ dog_angry.gif


まずは単調増加の方からいきましょう~
x>0 上の関数  の増減を微分を用いて調べます~
導関数の計算は対数微分を用いてもいいですが,指数関数の形にしてしまえば合成関数の微分でも処理できます。

i1_20160309020330131.jpg

常に正の符号を取ることが分かっている部分は放置しておいて,
  の部分だけ抜き出して考察を続けます~ kaeru_en2.gif



i2_20160309020330403.jpg
i3_20160309020331d98.jpg


これで半分終了です~

なお,導関数の計算で対数微分を用いた場合は以下のようになります~

i4_20160309020331c83.jpg



また, F(x)>0 を述べる部分では,定積分を用いた面積の比較を利用することも出来ます~ onigiri_1.gif



i5_20160309024646110.jpg



後半の単調減少側も前半と同様のステップで証明できます~



i6_20160309020332a24.jpg

i7_201603090204129b1.jpg



これで無事終了です~

ところで, G(x)<0 を定積分と面積の関係で確かめるにはどうしたら良いでしょうか。

と変形できるので,定積分が表す図形の面積と,
4点  を頂点に持つ台形の面積を比較すればよいです~




さて,ここで目標の不等式を別方針で証明してみることを検討してみましょう~

目標の不等式は  というやや複雑な関数を相手にしなければならない面倒臭さがあります。
対数をとって式変形を施すことによって,示すべき不等式は



と同値であることが分かります~ buta02.gif


定積分と面積の関係を探ってこの不等式を証明していくという方針でもいいと思います~


i11_20160309025700a1a.jpg
i8_20160309020412904.jpg
i9_201603090204133f0.jpg



変形後の不等式について微分を用いて~というのももちろんありです。
ここでは,さらにもう一工夫を加えてみたいと思います。  の変換を用います~


i12_20160309020414319.jpg



最後に少しだけ余談を加えておきます~
今回は連続変数 x に関する不等式でしたが,もしも自然数 n に関する不等式
 を示す問題だったならば,二項定理を利用した証明も可能になります。



も利用したいので,この不等式を先に証明してしまいます。
 (x>0)
を示して x=1とすればよいですね。

i13_20160309020433a13.jpg
i14_20160309020433e59.jpg


e を下から評価する際には便利ですが上からの評価には不向きです。
 の証明は二項定理の応用だけではきつそうです。


なお,今導いた不等式と冒頭の解法で挙げた f(x) の単調増加性をミックスすると



という不等式が得られます。 [x] はガウス記号です。

i15_20160309020434662.jpg




        

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