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2016年前期東大入試理系数学 第6問

2016.04.29 02:30|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東大前期入試の理系数学第6問をみてみます~

問題はこちら~ 箱ドットおにおん2mini


2016t6.jpg



大問3に続いて空間図形です~
見慣れない立体の体積を計算する部類の問題です~

線分の通過範囲というのはよくテーマとして選ばれるものですが,
xy 平面上で考えることが多いですね。
今回は xyz 空間上で考えます。

a1_20160427214826e28.jpg


長さ2の線分がCを通りながら位置を変えていくという状況ですが,
結局のところ出来上がる立体はz軸をを回転軸とした回転体になっていることに気づきたいです~ dog_happy.gif

そのため z 軸を含む平面と立体 K の共通部分は,平面の選び方によらずいつでも同じ図形になっています。
そこで平面 y=0 に的を絞って断面の図形について考察してみます~
つまり線分 AB が平面 y=0 上にあるときの通過範囲の図形です。
断面の図形の様子が分かってしまえば普段通りの回転体の体積の求積問題になってしまいますね。


a2_201604272148268ec.jpg


K と平面 y=0 の共通部分の図形を F とします~
F の z≧1 の部分は線分 BC の通過範囲に相当し,点 B の軌跡を境界に持つ閉領域です。
回転体の体積を求める場合は,回転軸に垂直な平面で切った時の断面積を積分する手法が
常套手段になっているので,例に漏れず平面 z=t との共通部分の形状を調べます hamster_2.gif
このとき, 1≦t≦2 の場合について考えていけばよいです~

a3_20160427214826413.jpg


  a6_20160427214828862.jpg


a7_2016042721490007f.jpg

P が G に含まれるための条件は AC≦AP≦AB が成り立つことです~

  a8_20160427214900afb.jpg
a9_20160427214901fbc.jpg


G と平面 z=t の共通部分を z 軸の周りに1回転させると半径  の円になるようですね。
(注:t=1 のときのみ1点 (0,0,1) のみになります)
あとは断面積の積分によって体積を求めるだけです~ kaeru_en4.gif



a10_20160427214901bf9.jpg


断面積の計算には三角比を活用することも有効です~
再び平面 y=0 に着目してみます~
∠ACO=θ とおいてみます。
θ が最小となるのはAが原点にあるときで  です。
最大になるのはBとCが一致するときで  です。
G と平面 z=t の共通部分上にPをとるとき,そのPに対応する線分ABおよび θ の値を考えることで
Pの座標が θ を用いて表すことが出来ます~
θ の取りうる値の範囲は t の値ごとに変動します。これを 0≦θ≦α とするとき,
回転体を平面 z=t で切ったときの断面積は α の関数として表されます


a11_201604272149026d5.jpg


というわけで先程の結果と一致しました。
ちなみに,この三角比を用いたアプローチに関連してですが,
r=BC とおくと, 
が成り立ちます。これがCを極としたときのBの軌跡の極方程式になるのですが,
この曲線はニコメデスのコンコイドと呼ばれているものであるようです~


ここまでは最初に平面 y=0 で切った断面の考察をするアプローチでしたが
はじめから回転体を平面 z=t で切った断面上の点Pが満たす不等式を求める方針も
決して困難ではありません。PがCとは異なるとき,Pが通過範囲に含まれるためには
直線CPが平面 z=0 と交わり,なおかつ AC≦AP≦AB が成り立てばよいです~


a12_201604272149026a4.jpg

a14_20160429011823102.jpg

以下ははじめの解答と同様です~


  
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2016年前期東大入試理系数学 第5問

2016.04.14 05:05|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東大前期入試の理系数学第5問を見ていきます~

問題はこちら~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90

2016t5.jpg



ぱっと見だと,何だか難しそうであまり解く気が沸かないような問題に見えますが,
実はそれほど厄介な問題ではないというのが個人的な印象です~
でも,この大問はどうも難易の感じ方がとてもばらつきがあるようです。
人によってはものすごく難しく感じ,人によっては非常に簡単だったように感じられたようです。
攻めるべき方向が割と定まっているので,正しくそれを掴めた人にとっては簡単だったのだろうと思います。
また,(1)(2)はセット問題といえますが,(3)は関連しているようであまり関連していないという構造です。
(1)(2)が出来なくても(3)だけ独立に取り組むことも出来ます。


それでは眺めていきます~

 という小数を考えます~



を満たす自然数 n をすべて求めるのが(1)の設問です。
これは「  の整数部分が  で小数部分の第k位までが  であるような n を求める」問題です。

m1_20160413153357a7e.jpg

与えられた不等式を変形して n の取りうる値の範囲を表す不等式に直してみると良いでしょう~ w04.gif




m2_20160413153358316.jpg


m3_20160413153358459.jpg


m4_20160413153359c82.jpg



(2)も同様の方針で処理ができます~
 の整数部分が p で,小数部分の第 k 位までが  となるような m の存在を示す問題です~
やはり与えられた不等式を m の取りうる値の範囲を示す不等式に変形します。
その不等式を満たすような整数を具体的に見つけてみます~ taxi02.gif



m5_20160413153359074.jpg


m6_2016041315335908f.jpg

具体的に条件を満たす m を構成するというのではなくても,存在を示すだけなら次のような考え方も使えます。
例えば, 「 B-A>1 ならば A<m<B を満たす整数 m が存在する」 
ことがいえます。


m7_20160413153456acb.jpg




最後は(3)です~
(2)までの内容をを特に用いずに証明できます~

 の小数部分が   であるような自然数 s が存在しないことを示す問題です。
換言すると,「自然数 s の正の平方根は整数になるか無限小数になるかのどちらかである」ということです。

このような証明問題のアプローチとしては背理法がとても相性が良いです star-ani01.gif
平方数ではない s について考えていきましょう~
 のような表示を持つと仮定して矛盾を導きたいと思います~

 の両辺を2乗すると左辺は自然数 s になりますが,右辺は自然数にはならなそうです ramen(1).gif


m8_201604131534571de.jpg
m9_20160413153457ffe.jpg

s が平方数ではないとして,  のような表示を持つとすると,
右辺が有理数であることから  という形の表示も可能です。
ただし, x と y は互いに素な整数であり,特に x は x≠0,±1 です。
両辺を2乗することで,このような表示を持つと不合理であることを述べることが出来ます onpu10.gif

そのような方針で解答することも出来ます~

m10_20160414045247152.jpg

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2016年前期東大入試理系数学 第4問

2016.04.01 13:31|大学入試問題
どもども。

今回は今年の前期東大入試理系数学第4問をみてみます~

問題はこちら~ 算数mini


20164.jpg


複素数平面の単元の問題です~
今年は予想通り様々な大学でこの単元からの出題がされていますね。

問題文は至ってシンプルです。
それでいて様々なアプローチの方法があり,練習問題としてなかなか良いと思います。

l2_20160330190853cea.jpg


まず,この3点が三角形に3頂点になる条件から考えてみましょう。
この3点が同一直線上になければよいです。

 を満たす実数 k がなければいいです。
これを複素数を用いて表現すると,  を満たす実数 k がなければいいという
条件になります~ buta.gif




l1_20160330190853d8d.jpg


以下では z は実数ではないと仮定していきます~

ところで△ABCの3辺の長さはそれぞれ 
ですが,これらの値を  で割るとそれぞれ  になります。
つまり3辺の長さが  であるような三角形を考えると
それは元の△ABCと相似になる(「対応する3辺の比がそれぞれ等しい」)ので
△ABCの代わりにこちらの三角形が鋭角三角形になる条件を探れば十分ということになります~ kaeru_en1.gif

l3_20160330190854e04.jpg


ではその条件を探っていきましょう~
幾つかの方法を検討してみますが,まずはじめに以下に挙げる性質に着目する方針をみてみます~


l4_2016033019085472b.jpg


複素数に関する式変形は「z」の形のまま式変形する, z=x+yi とおいて x と y の間の関係式を求める,
極形式で表して変形する,といった複数の手法があります。
解法の多様性を生んではくれますが,逆にどの手法を選択すればいいのか分からないので複素数が苦手だという
受験生も多いです。
最初は「z」の形のまま式変形するパターンを使ってみます。
Re (z) で複素数 z の実部, Im (z) で z の虚部を表すものとします~



l5_20160330190855f2d.jpg



今度はこの計算を z=x+yi とおく方式でやってみます~
「図形と方程式」の問題に直せてしまうため複素数の取り扱いが苦手な人には向いています m_0052.gif




l6_2016033019085550d.jpg




今度は極形式を使ってみましょう~
極方程式の表す図形の翻訳に結局他の表示法の助けを借りることになってしまうこともあります。


l7_2016033019094941e.jpg


次は3辺の長さが  である三角形として, △OBD について考えてみます。
ただし, D(-1) とします~


∠O と ∠D が鋭角であるためにはBが -1<Re(z)<0 の範囲に存在していなくてはいけません。
∠B が鋭角であるためには,BがODを直径とする円の外部になければいけません。

l8_201603301909498af.jpg

l9_201603301909504c5.jpg

計算量が少なく,とても簡明ですね m_0146.gif



次は内積を用いたアプローチを考えてみます~
一般に零ベクトルでない2つのベクトル  のなす角 θ が鋭角であるということは



という内積の条件式でも記述できます m_0172.gif



l15_201603301910362a5.jpg




次は偏角の計算に着目する考察をしてみます~ rabi_happy.gif



l10_20160330190950326.jpg
l11_201603301909518e0.jpg


l12_201603301910346ac.jpg


様々な着眼点がありとても面白いですね~ tanuki.gif






   

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