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2016年前期京大入試理系数学 第2問

2016.05.29 23:11|大学入試問題
どもども。


今回は今年の前期京大入試理系数学第2問を見てみます~


問題はこちら~ 箱ドットおにおん2mini


2016kyo2.jpg


整数問題ですね~~
この問題が出題された翌日には東北大で類題が出題されています~
東北大の方は小問に分かれていましたがこちらは分かれていませんね。
自分で方針立てて解いていかなければいけません~

偶数か奇数かとか,3で割ったときの余りはどうであるかなど,
適当なフィルターを掛けて p,q の値の候補に絞り込みをかけていく手法を取っていきたいと思います~ dolphin.gif

まずは偶奇性に着目してみると, p,q のうち一方のみが偶数でなければならないことを見いだすことが出来て,
それはすなわち一方が2であるということに相当します~ dog_love.gif

k1_20160529214821c2e.jpg


さてここで,少し実験を試みてみましょう~




とおいてみます~~
F(3)=17 は素数になっていますね。
F(5)=57,F(7)=177,F(11)=2169,F(13)=8361,……
p≧5 のときはなかなか素数が現れてくれません。数値もどんどん大きくなっていくので実験も大変です。
しかしながら,ここであることに気が付きたいです。
p≧5 のときは3の倍数が続いています。
もしかして,毎回3の倍数になってしまうのではないでしょうか。
こういう観察が大切です~~ kaeru_en1.gif


そこで,この予想が正しいことを実証していくことにしましょう~
p≧5 のときは p は3で割り切れない奇数なので,6で割ったときの余りは1か5のどちらかです。
よって適当な整数 k を用いて p=6k±1 の形で表すことが出来ます。
この表示を用いて, p≧5 のときに F(p)≡0 (mod 3) であることを見てみましょう~ heart2_glitter.gif

k2_20160529214822997.jpg


p=6k±1 の形におくことをしなくても,任意の連続3整数の中に必ず3の倍数が含まれることに着目して
実証することもできますね~ kawauso.gif



k3_201605292148226c3.jpg




フェルマーの小定理を利用して実証することも出来ます~ kasabake.gif




k4_20160529214823762.jpg
k5_20160529214823504.jpg
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テーマ:大学受験
ジャンル:学校・教育

2016年前期京大入試理系数学 第1問

2016.05.26 01:09|大学入試問題
どもども。


今回は今年の前期京大入試の理系数学第1問をみてみます~


問題はこちら~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189


2016kyo1.jpg


前半は微分を用いた三角関数の最大値を求める問題,
後半は自然対数の底に関連する極限計算の問題になっています~

sinθ の n-1 乗なんかが出てくるので数2の三角関数の知識だ けで戦うのはちょっとしんどいです~
そこで,微分して増減を調べる方針を取っていきます。
 が成り立つようなθで最大値を取ることが分かっていくのですが,
そのようなθは  のような綺麗に明示できるような角度ではありません。
とはいえ存在することは確かなので,そういうときは  のように適当に文字でおいておくのが
常套手段になっています~ buta.gif
また,このとき  が成り立ちます~


j1_20160522190842ee8.jpg


なんだかよく分からない  のようなものを持ち出してくるのは嫌だという場合は
t=cosθ とおいて t の多項式を考察する問題にすり替えてしまうアイデアもあります。
 n が奇数であるときは元々の関数が t の多項式になってくれるので扱いが楽ですが, 
 n が偶数のときは根号が邪魔をしてきます。根号の中身の多項式を調べればよいでしょう。
 n の偶奇によらず根号の中身を見るという方針を取っていくと手間は半分です。


j2_20160522190843e0d.jpg
j3_2016052219084362d.jpg



(2)に進みましょう~
 
 

の関係式を利用していく予感が漂っています~ dokuro.gif



と合わせ技で攻めていくといいかもしれません~
後者の式は,



の形のほうが馴染みがある人もいるかもしれません。



から従います~~

j4_20160522190844c8f.jpg


この手の計算には例えば



のような類のものがよく出てきます。
注意深く考えてみると,



こういう計算をしています。  (x≧0) とおくとき,



のようなことをしているわけです。 F(x) が連続関数ならこのような計算は正当化されますが
不連続な場合は正しいとは一般的には言えません。

極限の取り扱いが厳密さに欠け,やや直感に頼り気味な高校数学では上記のような計算も
細かいことをうるさく言わずさりげなく普通に行われていたりしますが,
ひとこと連続性に触れておくくらいはしてもいいのかもしれません~ dolphin.gif



さて(2)は次のように考えても良いでしょう~
ただし,一般的に  (ともに有限確定値)であるときに 
 であることがあまり自明ではなさそうなのでやや丁寧めにやっています~


j5_20160522190844db3.jpg

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相似の問題の面積比を用いた小技 その2

2016.05.23 22:30|数学
どもども。

以前に相似の問題の面積比を用いた小技として,
自分が勝手に対角線分割と呼んでいる手法(http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-59.html
を取り上げましたが,今回も有用な手法を取り上げてみたいと思います~ げろ

一部の界隈でベンツ切りなどという呼び方がされたりもしているものです。
受験算数の問題なんかではよく使われるようなのですが,その名称は自分は最近知りました~
とは言え,内容自体は決して斬新なものではなくて,線分比と面積比の関係のちょっとした応用です~


m1_20160603005404c3d.jpg


この手の図形の線分比を求めていく定型パターン問題を考えていきます~
通常は相似を使ったりベクトルを使ったりメネラウスの定理・チェバの定理を駆使して解いていくのが
スタンダードなアプローチとなるわけですが,対角線分割を用いた方法や加重重心を用いた小技もあることを
以前に触れています。
今回は新たなる手法を挙げていきます~


まずは下準備として,次の基本発想をおさらいしておきましょう~~ panda_1.gif

m2_201606030054051bf.jpg

上図において, △ABP:△ACP=BP:PC が成り立ちます~ rabi_love.gif
いわゆる底辺分割というやつです~
線分比と面積比の関係を見付けるアイデアとしては最もベーシックなやつです~
△ABPと△ACPはそれぞれBPとPCを底辺と見たときに高さが等しくなっているので
面積比と底辺の長さの比が一致してしまいます。


m3_20160603005405bb9.jpg


続いて,上図において △ABO:△ACO=BP:PC が成り立ちます~ tanuki.gif
△ABP:△ACP=△OBP:△OCP=BP:PC であるため,
(△ABP-△OBP):(△ACP-△OCP) もやはり BP:PC と一致してしまうのです~



m34jpg.jpg



そして,上図において 四角形ABOC:△OBC=AO:OP が成り立ちます~ wahakapa.gif
△ABO:△OBP=△ACO:△OCP=AO:OP であるため,
(△ABO+△ACO):(△OBP+△OCP) もやはり AO:OP と一致してしまうのです~





では本題に入っていきます~~


m5_20160603005406ac6.jpg

上の図においてAR:RB,BP:PC,CQ:QA,AO:OP,BO:OQ,CO:ORのうちどれか2つが分かってしまえば
赤,青,緑の三角形の面積比もすぐに分かってしまい,それを活用して残りの比も全部すぐに分かってしまいます~
zashiki.gif
上の図の赤・青・緑の分割をメルセデス・ベンツのエンブレムの形に見立てて
ベンツ切りみたいな呼び方がされてるんでしょうかね。


では例題を用いて実践してみたいと思います~

m6_201606030054325d3.jpg

AR:RB=4:3,AQ:QC=1:1 のときに残りの比を求めていきたいと思います~

まずは赤:青:緑の面積比を求めます~
赤:青=AQ:QC=1:1, 青:緑=BR:RA=3:4
であることから, 赤:青:緑=3:3:4

このとき, BP:PC=赤:緑=3:4, AO:OP=(赤+緑):青=7:3,
BO:OQ=(赤+青):緑=6:4=3:2, CO:OR=(青+緑):赤=7:3


といった具合に全部簡単に求められます~ aicon156.gif
BP:PC=赤:緑=3:4 はチェバの定理の証明の流れそのまんまですけどね。


もう1つ例題をやってみます~~
AR:RB=4:3,CO:OR=2:1 のときに残りの比を求めていきたいと思います~


m7_20160603005433c7a.jpg


まずは赤:青:緑の面積比を求めます~
青:緑=BR:RA=3:4=6:8, (青+緑):赤=CO:OR=2:1=14:7
であることから, 赤:青:緑=7:6:8

このとき, BP:PC=赤:緑=7:8, CQ:QA=青:赤=6:7,
AO:OP=(赤+緑):青=15:6=5:2, BO:OQ=(赤+青):緑=13:8, 


となるわけです~~


とても簡単ですね~~ zoo02.gif








   

テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

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