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誤答から学ぼうシリーズ・等比数列の和の公式

2016.06.30 01:26|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ 算数mini

今回は等比数列の和の公式に関連する話です~


問題:  を満たすような等比数列  の一般項を求めよ。


それでは誤答例を挙げます~



x1.jpg


答えの数列自体は合っているのですが,それを求めるプロセスの中に不適当な部分が含まれています~ dog_love.gif
一体どこがマズいのでしょうか~

まずおさらいしておきたいのは等比数列の和の公式です~
初項 a, 公比 r, 項数 n の等比数列の和 S は, 
r≠1 のとき 
と書けて,一方で r=1 のときは  と書けるのでした。
つまり,公比が1であるか否かによって分岐していたのでした~ gp08.gif

今回の例題では,問題文の中で公比が1でないという仮定は与えていないため,
勝手に r≠1 という前提で  と立式するのは適切ではありません。
しかもその後普通に r=1 という値を絞り出していますね。
今回の誤答はそれらの点が良くなかったのです~


議論を「 r≠1 のとき」と「 r=1 のとき」に分けることによって,前者の場合においてのみ  
 と立式することが出来ます。
後者の方については別個に吟味しなければいけません。

この点に注意して解答を修正してみましょう~ hiyo_ang2.gif


x2.jpg
x3.jpg
     x4.jpg





……という具合になればよいでしょう~
しかしながら,場合分けが伴うのはどうも面倒です。
そもそも等比数列の和の公式を使おうとしたことが原因で場合分けが生じたのだから,
和の公式を使わなければ良いのではないか,という発想に切り替えてみたいと思います。

高々3項の和なので,シンプルに  と立式してしまうことも出来ますね。
なお,  で立式したとしても,次のステップで分子の因数分解を考えて r-1 を約分してしまうと
  が結局出てきます。
どうせこの式が出てくるなら,わざわざ場合分けまでして和の公式なんかを用いずに,
はじめから   と立式しておく方が簡単で良いと思います。

この部類の問題では和に関する条件式は,足す項数が2,3,4など少数のものがほとんどです。
これは最終的に解かなきゃいけなくなる方程式の次数をむやみに大きくしないための配慮だと思いますが,
そのような事情からも,どうせ数個の項の和なのだから和の公式などという大げさなものなんか持ち出さないで
立式するほうが賢いといえます。

それでは和の公式に頼らない解法例を挙げておしまいにします~ kaeru_yodare1.gif



x5.jpg



なお,第3項が4である時点で公比 r が0ということはあり得ないので,  と書けることから,



と立式して解き進めると,未知数が r の1個のみで済みます~






    




    
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

誤答から学ぼうシリーズ・相加・相乗平均の関係と変数の取り得る値の範囲

2016.06.27 02:08|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ げろ
今回は相加・相乗平均の関係って変数の取り得る値の範囲を調べる際の注意に関する話題です~

問題: 実数全体で定義された関数  について考える。
(1)  とおくとき, t の取り得る値の範囲を求めよ。
(2) f(x) の最小値を求めよ。



では誤りを含んだ解答例です~ w01.gif



w5_20160627003911a05.jpg


今回の例題をもうちょっと易しくしたタイプの問題として,



の最小値を求めよ,のようなものがよくありますね。まずはこちらについて触れておきたい事柄があります~
 とおくことによって, F(x) を t の2次関数にすり替えてしまうことにより最小値を求める
というのがスタンダードな手法になっています。
変数の置き換えを行う場合は,新変数の動ける値の範囲を調べておかないと正しい答えが出せません。
 であるから,相加・相乗平均の関係を使って 
等号成立条件は  
したがって, t の動ける範囲は t≧2 である。
……のようにやるのをよく見かけます。今回の誤答例でもこの通例の手法に沿って(1)の解答が作られています。
しかしながら,この部分に大きな問題が潜んでいるのです~ taxi02.gif

さて,数行上で得られた t≧2 という不等式ですが,これが表していることは本来, t の最小値が2だと
いうことだけであって, t の取り得る値の範囲が t≧2 だという意味ではないということに注意が必要です。
つまり2より大きな全ての実数値を t が取れるのかどうかについては相加相乗平均の関係から得られる不等式は
何も語っていないわけです。にもかかわらず最小値だけ調べて t≧2 が取り得る値の範囲だ,といって
話を進めてしまうのは  がともにすべての正の値を取り得るものだからその和も最小値以上の値を
全て取り得るということを暗黙の了解としてしまっていて,そこにいい加減さがあります。

最小値の話に付け加えて,
最低限でも「  は実数全体で定義された連続関数であり,また 
が成り立つことから t は2以上の任意の実数値を取り得る
」くらいは書いておいてほしいところです。
これはもう少し詳しく書くと, x≧0 において



より t は x に関して単調増加な関数になっていて,また 
が成り立つことから t は2以上の任意の実数値を取り得るというわけです star-ani01.gif

数3の微分を知らない場合は次のような処理も可能です。
t≧2 を満たす任意の実数 t に対して x に関する方程式



は  (注:  より±のどちらをとっても右辺は正の値になります)
から  という解を持つので, t は2以上のすべての値を取り得ることが分かります riisu.gif

あるいは2次方程式の解の配置問題に帰着させて処理することも出来ます~
 とおくことにより, X の2次方程式  が正の解を少なくとも1個は
持つような t の範囲を求めればよいので,  
のグラフに着目すると,このグラフが t の値によらず点 (0,1) を通ることから



が成り立てばよく,これを解いて t≧2 を得ます~

これらのことを踏まえて元々の例題に戻りましょう~
 についても t≧2 が成り立つことは間違いありません。しかしながら,
これが t の動き得る値の範囲を表しているかと言われればそれは正しくありません~ kinoko03(1).gif
x が任意の実数値を動くとき  なので 
が成り立ちます。辺々を足してみるという粗い評価式を考えるだけでも t が4より大きい値を取れないことは
すぐ分かります。そこで,相加・相乗平均の関係だけで処理を終えず,丁寧に論じておく必要があります~

(1)は例えば次のようにやります~


w6_20160627003912384.jpg


数3の微分を用いず2次方程式の解の配置問題に帰着すると,次のようになります~


w7_20160627003912192.jpg





それに伴い(2)は次のようになります~


w8_201606270039121a7.jpg






  

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誤答から学ぼうシリーズ・点が直線上にある条件と1次独立性

2016.06.26 21:56|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90
今回は俗に「共線条件」などと呼ばれていたりすることもある性質を利用した解答に関する誤答を挙げます~


例題: xyz空間上の3点 A(1,2,-3), B(3,-1,2), C(5,-4,7) が与えられていて,
線分ABを 1:3 に内分する点をDとし,実数 k に対し  を満たす点Pをとる。
点Pが直線BC上にあり,それが O(0,0,0) から直線BCへ下した垂線の足と一致するとき, k の値と
線分OPの長さをそれぞれ求めよ。




誤答を挙げてみます~



w1_20160626113827184.jpg


点Pが原点から直線BCへ下した垂線の足だという条件を使わずに答えが出てしまいました。
そもそも垂線云々関係なく,Pが直線BC上にあるという条件だけで k の値が決まってしまうじゃないかという
感じの解答になっていますが,その k を求めるプロセスに欠陥があるようです~

何が誤っているのかを検証するために基本事項のおさらいをしましょう~ dog_shy.gif


 一般に,点Oを基点とする位置ベクトルを考えるとき,相異なる2点A,Bに対して,
「点Pが直線AB上にある」
⇔ 「  (k:実数) の形で表せる」 ……
⇔ 「  (k:実数) の形で表せる」 ……
⇔ 「  ( α,β は α+β=1 を満たす実数) の形で表せる」
 ……


この事実に基づいて「係数の和=1」に着目して  という立式をしています。
しかしながら,ここで物凄く注意したいのは,
「~~~~の形で表せる」 というのと 「~~~~の形でのみ表せる」, 「~~~~の形で一意的に表せる」,
「~~~~の形でのみ一意的に表せる」 などというのではそれぞれ意味が大きく異なる
ということです~ eto_tatsu.gif
例えば 「~~~~の形で表せる」 の場合,もしかしたら別の形でも表わせてしまうかもしれません。
上の青文字で挙げた性質は,  では k が一意的に定まります。
  は「係数の和が1の形で書ける」という主張ですが「係数の和が1の形でのみ表せる」
という意味ではありません。「係数の和が1」の形に絞れば k の値は一意的だけれども,
そもそも「係数の和が1でない形」でも表せる場合が存在します。
表し方が一意的ではないのに一意的だと勘違いしてしまったことがまさに今回の誤答の原因になっています~ kawauso.gif
つまり,「  の形で表せてたら,それはもう α+β=1 が成り立っているのだ」
といったような決めつけがマズかったのです。
そのような決め付けが正当性を持つには,  が1次独立であるという仮定が必要です。

その仮定がなければ,3点O,A,Bはもしかしたら同一直線上にあるかもしれなくて,
そして更にOがBと異なる点だったならば,  を満たす実数 γ が存在します。
そして,例えば  のように書けたりもするわけです。
 の定数倍どうしの和の形での表し方が無数に存在します。係数の和もばらばらです。


今回の誤答例では3点A,B,Cがいかにも同一直線上になさそうな風の図を描いて考えていますが,
よくよく3点の座標を見てみると,この3点は実は同一直線上に並んでいます~ kaeru_yodare2.gif
ゆえに  は1次独立ではありません。
このため,安易に  という立式をするわけにはいきません。
OP⊥BC の条件から先にPの座標を決定してから k の値を求めればよかったのです~
というわけで正答例を挙げてみましょう~




w2_20160626113828bba.jpg
w3_20160626113828d4f.jpg



          w9_2016062613553544f.jpg


以上の話を踏まえて次の例題と解答例を見てみましょう~

問題: △ABCにおいて,辺ADを1:2に内分する点をD,辺ACを2:1に内分する点をE,線分BEとCDの交点をP,
直線APと辺BCの交点をFとするとき,線分比 DP:PC および AP:PF を求めよ。



w4_20160626113829d93.jpg


まず,何の断りもなく k が登場しているので,「 k は実数」 みたいな記述を入れておくのがよいでしょう。
この解答例でも「係数の和=1」に着目して k の値を求めていますが,係数の和が1だと断定していい論拠として
 の1次独立性がこっそり使われているので,答案の中に
 は1次独立であるから」という記述を入れておく方が妥当でしょう。
一方で後半の  を見い出した部分について考えてみます。
直線BC,APの両方の上にある点の位置ベクトルを強引に1つ見つけてきて,
平行でない2直線の交点はただ1個であることを根拠にこれがFの位置ベクトルと一致しなければならない
という論理を用いています。
もう少し丁寧に言うと,  であって,また  となる実数 m が存在するので
2式の辺々を引いて,  を得ますが,もしも  が異なる点であったならば
 かつ  より  という不合理が得られてしまうので, 
 は同一の点だというわけです~
 の1次独立性を用いているわけではないので,その点に触れなくても良いですね。
いや,用いていないというと若干語弊もあります。
「BC,APの交点がただ1つであること」も「  の1次独立性」もどちらもそのルーツは
「3点A,B,Cが同一直線上にない」ことですから,結局は同じことなんですね。
 から  の1次独立性を根拠に
 と立式して解いていくことも出来るように,ベクトルを用いて解いていくと
「3点A,B,Cが同一直線上にない」ことから端を発する何かを根拠にしていく流れになります m_0052.gif






  

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