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誤答から学ぼうシリーズ・放物線と円の共有点の個数

2016.07.31 00:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini 27b503c4e00011e2ad9722000a9e2977_7


今回は2つのグラフの共有点の個数を調べる問題に関する誤答を見てみます~


問題: k を実数とする。放物線  と円  の共有点の個数を調べよ。

それでは誤答例です~

oo7.jpg


k の値によって共有点の個数が変化するため, k の範囲を区切って答えていくという定番問題です。
放物線と直線,円と直線,楕円と直線,双曲線と直線などの組合せの場合,
共有点の個数と1文字消去してできる2次方程式の実数解の個数が一致することに着目して,
判別式の符号を考察するという手法がよく用いられます。
判別式をDとおくと, D>0 ならば共有点2個, D=0 ならば共有点1個, D<0 ならば共有点0個
という風に結論づけますよね。
ところが,円と放物線のような組合せになると判別式の符号だけでは問題が解決しなくなってしまいます~
「2曲線の共有点の個数」と「2次方程式の実数解の個数」が一致しないことがあるからです dog_happy.gif
今回の誤答はそれを見落としていたことが失敗の原因です~

放物線  は軸がy軸と一致していて,点 (0,k) を通り下に凸です。
円  は原点を中心とする半径1の円です。
k が十分小さいと円と放物線は共有点を持たないことはイメージが湧くと思います。
その状態からだんだん k を大きくしていってみましょう。
つまり放物線をだんだん上に押し上げていくようなイメージです m_0194.gif
ある瞬間で放物線と円が2点で接し,その後交点が4個になり,その次に放物線の頂点の位置で円と接するときに
共有点が3個になり,その次は共有点が2個,そして再び放物線の頂点の位置で円と接するときに共有点が1個になり,
その後は0個になります。

oo11.jpg
oo12.jpg



共有点の個数が0個から4個まで目まぐるしく移り変わっていきます。
判別式の符号が正でも負でも0でも共有点4個という結論は普段なら出てこないので,
確かに判別式の符号でジャッジしようというのは無理があるようです。

また注意したいのが,円と放物線が接しているときです。
 の3回ありますね。  のときは判別式が0になっていますが,
k=±1 のときは判別式の符号は正です。
つまり, 「接する⇔D=0」 の関係も崩れているんですね~ panda_2.gif
「円と放物線が接するときの k を求めよ」のような問題では要注意です~

では正しい答えを得るにはどうやって考えていけばいいのでしょうか~
上のイメージのように共有点の個数の変遷を捉えてあとはその境目の数字を計算で出していく,
そういう手もあるでしょう。
ここでは誤答例と同じく y の2次方程式  に着目して,
「この2次方程式の実数解」と「2曲線の共有点」がどのように対応するかを調べて解答に繋げていきたいと思います~ tankoro.gif
円上の点は常に -1≦y≦1 を満たすため,この範囲にある実数解のみを見なくてはいけません。
また,1つの実数解につき幾つの共有点が対応するかも y の値次第で異なります。
y=±1 のときは1個, -1<y<1 のときは2個です。
2次方程式の実数解の個数はyz平面上の放物線  と直線 z=k の共有点の個数として
捉えることが出来ます。

それでは正答例にいきます~ tanuki.gif





oo8.jpg
oo9.jpg
oo10.jpg













   
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誤答から学ぼうシリーズ・y=x^3の逆関数

2016.07.30 00:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。


今回は前回の話の関連で累乗根の取り扱いに関する誤答を扱います~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189
完全なる誤答ではなく適切な内容を補えば正しくはなるのですが~という中身になっています~


問題: 実数全体で定義された関数  の逆関数を求めよ。



それでは誤答例を挙げます~


oo4.jpg


問題も解答もシンプルですね。

一見正しそうなこの解答,何がマズいのでしょうか。
x≧0 の範囲においては確かに正しいんです。
では x<0 の範囲ではどうでしょうか。
前回の内容を思い出しましょう~



によって1/3乗が定義されるわけですが,そこには「 x>0 のとき」という仮定があったのでした cutlet.gif
x<0 まで含めてしまうと指数法則の不成立などの煩わしい現象が起こってしまうため,高校数学では立ち入らないのです。
x=0 はギリギリ含めてもいいのかもしれませんが指数法則を使って  のような変形はできません。
負の実数を含めた一般の複素数の累乗は複素数値多価関数として定義されます。
整数乗だけは普通に高校のうちから扱いますけどね。

なお,  は「 x の3乗根のうち実数であるもの」という定義で導入されているので
x<0 の場合にも適用できます。複素多価関数として捉えることも可能ですが現時点ではそれをしません。

任意の実数に対して  として定義して,
 の定義域を実数全体に拡張することは可能ですが,その場限りのローカルルールになります。
そのルールのもとで記述したいのならばその旨をちゃんと明記しておかなければいけません dog_angry.gif
教科書には「任意の実数に対して  と定義する」とは書いてないはずです。
今回の例題もあくまで「 x<0 ではまだ1/3乗が定義されてない」状態で出題がされているというのが自然な立場です。
ところが,このことを意識せずに普通に   の逆関数は   と書いてある参考書も
巷には存在しています。説明なしに書いているのなら厳密には誤りです。
この手の厳密には良くない表現というのが探してみると複数箇所で見られます。



曲線  を θ を用いず表すと 


などですかね。
 の細かい違いをちゃんと意識して使い分けてる受験生は少ない気がしますが,
そういうところまで気を遣って教科書が読めるととても素敵だと思います~


それでは正答例です~ kuma_fly.gif



oo5.jpg


1/3乗を使って書きたいならこうです~

oo6_20160730124752d65.jpg




  

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誤答から学ぼうシリーズ・複素数と指数法則

2016.07.29 16:19|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90

今回は指数法則に関する誤答を挙げます~


問題:  の解のうち実数ではないものの1つをωとおく。このとき,非負整数 n に対して  の値を求めよ。


それでは誤答例を挙げます~

oo1.jpg



1の3乗根のうち,実数でないものの1つをωとおいたときに様々なωの式の値を求めるという問題がよくあります~
 より  を得ますが,ωが実数ではないことから ω≠1 なので
 が成り立ちます。これを解くことで,



となります。 i は虚数単位です。複号部分について+側の方をωとしても-側の方をωとしても
1の3乗根の全体は  になっています。
また,この手の問題で問われてるようなωの式の値は,ωの値を上記の2個のうちどちらを選んでも同じ結果になるように
出来ていることが殆どです。
実際にωの値を代入して答えを求めることも勿論可能ですが,  と   の2つの関係式を
駆使してパズルを解くように計算していくのがスタンダードな手法になっています~

さて,それはそれとして今回の誤答で犯してしまったヤバイことは何かというと,指数法則の扱いです。
x,y を実数とするとき,  というおなじみの公式がありますね。
上の誤答例の中でも用いられています~
でもこの公式には「 a>0 のとき」という枕詞が付いていたのは覚えているでしょうか~
これは a を複素数全般としてしまうと煩わしい現象が起こってしまうのでそれを回避する目的があります。
例えば,



ω≠1 だったはずなのでこれは不合理です~
このように,複素数全般に対しては  はもはや正しくありません~
ただし, a≠0 (虚数も可)のとき整数 m,n に対して  が成り立つというのは正しいです。
 a が実数のときの証明と同じように導出ができます~
指数が一般の有理数や無理数や虚数になると上記の例のように困った現象が起きるわけです。
高校ではそもそも虚数乗というものは扱いませんが,一般の実数まで指数は拡張しています。
ただし,底は正の数という縛りが設けられていることに注意です。
有理数乗に着目すると, p を自然数, q を整数, a>0 とするとき 
と定義していました。 a=0 のときは負ベキを考えることが出来ないために除かれてるのだとは思いますが,
正ベキなら定義できそうですね(ただし教科書には書いてなかったりする)。
負の実数に対してはやはり煩わしい現象が起きます。例えば次のようなものなどがあります。

oo2.jpg


虚数まで持ち出すことなく奇怪な現象が起きてしまうんですね

このような奇怪な現象が起きる理由の1つは複素数の累乗は基本的に多価だからです。
通常,1つの x に1つの y が対応するときに y は x の関数であるというわけですが,
1つの x に複数の y が対応してしまうものを多価関数といいます。
,  などの関数は実は多価関数です。
これは対数関数  が多価であることに端を発してます。
複素数  は,オイラーの公式(高校範囲外)や
指数関数の周期性(本当は指数関数の定義からやらなきゃダメだけど)から
  ( n は整数) という表示を持つため,
 ( n は整数) と定義されます。 n の取り方は無数にあります。
このとき,複素数 a に対して,  によって a 乗が定義されるのですが,対数の多価性から 
a 乗も多価になってしまうというわけです。まぁ,かなり雑な説明ですが。とても数行で語りきれる内容ではありません~
多価関数は複数の値を取れるため,具体的にどの値を使うかということをあらかじめ明示する必要がありなかなか面倒です。
複素数としての累乗ではなく通常通りの正の実数の累乗に限定して考えているうちは値が一意に定まるため平和ですね。

当たり前のように思っていた指数法則が複素数範囲では当たり前じゃなくなるぞ,成り立たなくなったりするぞ,
という認識があればとりあえずは大丈夫で,あとは後でじっくり理詰めしていけば良いことだと思います。
煩わしい現象の例などは「指数法則の不成立」あたりとか参照してみてください~



元の問題に戻りましょう~
間違った指数法則の使い方をしないように解いていかなければいけません。
式の値は n=0 のとき2, n=1 のとき-1, n=2 のとき-1,
n=3 のとき2, n=4 のとき-1, n=5 のとき-1,……
どうやら n が3の倍数のときは2,それ以外では-1になる予感がします。
帰納法で示しても構いませんが, n=3k,3k+1,3k+2 ( k は非負整数) とおいて
直接計算するのが早そうです

それでは正答例にいきます~



oo3.jpg

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