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誤答から学ぼうシリーズ・(等差数列)×(等比数列)型の数列の和

2016.08.31 01:51|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ 箱ドットおにおん2mini


今回は数列の和の計算に関する話題です~


問題:  を計算せよ。



それでは誤答例です~


uu7.jpg



n≧1 に対して, ,  とおくと,
数列  はそれぞれ等差数列,等比数列です。
 を計算する問題なので,これは(等差数列)×(等比数列)型の数列の和を問われているわけです。
このタイプの和については,上で挙げたような計算で求めるというのがスタンダードな手法です~ cutlet.gif
つまり等比数列部分の公比を掛けたものと引き算をすると,等比数列の和の形が出現するという点に着目します。
なお,今回は特に触れませんが微分を用いたアプローチもあります。

さて,上の解法のどこに問題点があるのでしょうか。
参考書や問題集でよく見かけるもののはずですが~ dog_angry.gif





ここの箇所に注目してみましょう~



の部分が等比数列の和になっています。
具体的には初項4,公比2の等比数列の初項から第 n-1 項までの和ですね。
階差数列の公式のときなどと同じですが,これだと n=1 のときに都合が悪いんです。
初項から第0項までの和というのはナンセンスですね shm01.gif



は n≧2 のときに意味を持ちます。よって,「 n≧2 のとき」という前置きをしておくべきです。
n=1 のときは  となっていて,中央の等比数列の和のかたまりが
何もない状態になっているので確かに n≧2 のときとはビミョーに違う現象が起きています。
参考書や問題集などを見てみるとこのタイプの問題では「 n≧2 のとき」の記述をスルーしているものも
割と多い印象を受けます~

 であるような数列  の初項から第n項までの和だよ,
というやや強引な見方をすれば切り抜けることも出来そうな気も一瞬しますが,その後で



という計算をしていて,やはり初項4,公比2の等比数列の初項から第 n-1 項までの和を考えているので
気持ち悪さは結局残りますね。

   (←これは n=1 でも成り立つ)

とか書いてあれば,「あ,一応気にはしてくれたんだな」ってのは伝わりますが~
n=1でも成り立つことが暗黙の了解とされていることが気持ち悪いのだから,
その点を何かしらの形で触れてあると気持ちが良いのですね。

自然に考えれば等比数列の第 n-1 項までの和なんだろうけど,実は何かしらの別ルート(類推→帰納法など)から
導き出したものだから「 n≧2 のとき」は必要ないよ!と言って立ち塞がるのだとしたら,
じゃあ一体どういうルートを辿ったのかについて興味があるので言及してほしいです~
それが無ければ最も自然な解釈をされても仕方がありませんね。
その別ルート論法を使えば,例えば初項が3,階差数列の一般項が 2n-1 であるような数列 の一般項を



と計算して,「一見すると階差数列を用いた公式を使っているように見えますが実は使っていません,別ルートなんです。
だから「 n≧2 のとき」は要りません」という,  さえ書かなきゃ「 n≧2 のとき」が
免除される的な発想が生まれてしまいそうです。果たしてそのような答案はどうジャッジされるのでしょう~
評価基準は色々あるでしょうけれど,個人的にはさっき述べたように「 n≧2 のとき」の代わりに
どういうルートを辿ったのかの言及がほしいですね。それが無いと,内容は正しくても説明不足で減点されても
文句は言えまい,といったところでしょうか~
(注:「 n≧2 のとき」を回避する計算例はこちら




また,「 n≧2 のとき」に限定するのを避けるため,はじめの 5・1 を 3+2・1 に分離して
2・1 を等比数列の和の部分に組み込んでしまうという作戦もしばしば見られます。



に進化しますが,このようにするだけで初項2,公比2の等比数列の初項から第 n 項までの和に変わってしまうので
n≧1 で成立する等式になってしまうわけです~ hamu02.gif


それでは正答例です~



uu8.jpg
uu9.jpg
uu10.jpg
uu11.jpg
 




のように書くか,



uu12b.jpg

uu13.jpg



のように書いておくと良いでしょう~ okojyo02.gif





   
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誤答から学ぼうシリーズ・逆関数のグラフとの共有点

2016.08.29 18:29|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ くりmini


今回は逆関数のグラフに関係する誤答を見てみます~


問題: (1)関数  のグラフとその逆関数のグラフの共有点の座標を求めよ。
(2)関数  のグラフとその逆関数のグラフの共有点の座標を求めよ。




それでは誤答例です~

uu3.jpg







一般に,関数  のグラフが点 (p,q) を通っているとき, x と y の立場が入れ替わったものである
逆関数  のグラフは点 (q,p) を通ります。
このことから,2つのグラフは直線 y=x に関して対称であることが言えます hiyos.gif
誤答例ではこのことを利用したアプローチを試みているわけですが,(2)では失敗しています~

(1)について,  とその逆関数  のグラフを図示すると以下のようになります。





uu1_20160829183511939.jpg





確かに2つのグラフは直線 y=x に関して線対称になっています。
このため,2つのグラフの共有点は直線 y=x 上にあります。
ということは,2つのうちどちらかのグラフと直線 y=x の共有点として捉えて答えを出すこともできるわけです m_0185.gif
このアプローチの良いところは,解かなければいけない方程式の次数が下がることです。
元々の関数と逆関数とをペアにして方程式を立てると最終的に4次方程式を解くことになってしまいますが,
直線 y=x との共有点を考えると2次方程式で済むのです~


これと同じことを(2)でも試みてみたわけですが,こちらではその作戦が通用しません。
それはグラフを見てみれば一目瞭然です~ pakukapa.gif





uu2_2016082918351194a.jpg





(1,0) と (0,1) もまた2つのグラフの共有点になっています。
このように直線 y=x 上にない共有点が存在する場合は先程の作戦は使えないわけです。
したがって,はじめにグラフの様子を調べてみるなどして, y=x 上にしか共有点が無いぞ!ということを
しっかり確認できた場合にのみ今回のアプローチ法は有効に作用すると言えそうです~

(2)の場合は図を描いてみるだけで (1,0) と (0,1) には気付けるので,
残りの交点の座標  を求めるために y=x と連立するというのはありかもしれないですが,
 の範囲には共有点がないことの説明をどうするかという問題があります。
図から明らかじゃないか!と思うかもしれませんが,「その図のようになる」ことの根拠がどれくらいあるのかという
部分は大切なことです。例えば  の範囲では2つのグラフはともに右下がりの曲線に
なっていますが,常に  を満たすことは自明ではありません。
はじめから正しい図を見てしまったから自明に見えるだけです。
正しい図を見てないところから考え始めたら,もしかしたらどこかで両者は等しくなってしまうかもしれないという可能性を
無視するわけにはいきません。
ちょっと計算してみればそれはあり得ないことは分かるのですが,その「ちょっとの計算」をスルーせずに大切にしたいものです。
そこで,(2)では共有点が3個しかないことを裏付ける意味でも2つの曲線の方程式を連立して解いておくと良いでしょう。

なお,(1)(2)では有限個の共有点があったわけですが,無数に共有点がある場合もあります。
関数 y=-x を考えると,その逆関数は自身と一致します。
よって,直線 y=-x 上の任意の点が逆関数のグラフとの共有点になっています tankoro.gif
反比例を表す  なんかも同様のことがいえますね。


それでは正答例にいきます~



uu4.jpg
uu5.jpg
uu6.jpg







  

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誤答から学ぼうシリーズ・鋭角三角形とは限らない

2016.08.23 00:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。


敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189


「その図はおかしい」3連続の3発目,「考えられる図のパターンが1通りではない」というパターンを見てみます~
これは特に説明不要だとは思いますが,条件を満たす状況が複数パターン考えられるのにもかかわらず
特定の状況のみを考えて他を見落としてしまったためにミスが生じるというタイプのものです~



問題: △ABCが与えられていて,頂点Bから直線ACへ下した垂線の足をH,頂点Cから直線ABへ下した垂線の足をIとし,
また辺BCの中点をMとする。  が成り立つとき, cos A の値を求めよ。



それでは誤答例です~


tt9.jpg

tt16.jpg

tt10.jpg




同一円周上にある4点を見つけてうまく円周角と中心角の関係を利用して答えを求めています~
それ自体は良いのですが,もっと根本的な部分で大きな見落としてが生じています。
それが今回のテーマなので完全にネタバレしているわけですが,図が1通りには定まらないんです~ bakezouri.gif

誤答例でははじめから△ABCは鋭角三角形という前提で話が進んでいますね。
直角三角形だったり鈍角三角形だったりする可能性はないのでしょうか。
そういう想像力は持たなければいけません~

というわけで∠Aが鋭角,直角,鈍角すべての可能性を考えてみましょう~
∠Aが鋭角である場合は上の誤答例の通りです,…と言いたいところですが,
∠Cが直角の場合,鈍角の場合というものも考えられます。
BとCの対等性から∠Bが直角,鈍角の場合は端折れます。

∠Aが直角だったらどうでしょう。この場合,A,H,Iが全て一致してしまいますね。
これでは  が成り立ちません。
よって,直角の可能性は排除して構いません~

では鈍角だったらどうでしょうか。
この場合,HもIも△ABCの外部に存在します。

tt14_20160822134322f82.jpg

誤答例に出てくる図におけるBHとCIの交点にあたる位置にAがあります。
HとIをの位置も入れ替えたようなものになっていますね。
このような状況が考えられるため,∠Aが鈍角である場合というのは排除できません~ oni.gif


誤った先入観に支配されないようにするというのは数学の問題を解くときにはとても重要なことです。
まぁそれは数学の問題に限らず人生で起こる様々な問題について言えることですけどね。

それでは正答例です~ kaeru0-01.gif


tt16.jpg

tt11.jpg

tt17.jpg

tt9.jpg
tt12.jpg
tt18.jpg



tt13.jpg
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tt15.jpg























  

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