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誤答から学ぼうシリーズ・空間ベクトルと1次独立

2016.09.25 13:51|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ げろ


今回は空間ベクトルの問題です~


問題: O(0,0,0)を原点とする xyz 空間上に3点 A(1,3,-2), B(3,-5,1), C(4,-2,-1) が与えられていて,線分ABを1:2に内分する点をD,線分BCを1:2に内分する点をE,2直線CD,AEの交点をPとする。このとき,Pの座標を求めよ。

それでは誤答例です~



ww20.jpg
ww21.jpg




四面体をテーマとした空間ベクトルの典型的な問題として捉えて,  を  の定数倍の和の形で
2通りに表し,1次独立性を根拠に係数比較をするという流れの答案になっています。

なぜ1次独立だと係数比較が出来るのかという点を振り返ってみると,
A,B,Cは同一直線上には並んでおらず,かつOが平面ABCにはないとき,
 は1次独立になっていることから,
平面ABC上の任意の点Xに対し,実数α,βを用いて




のように  の定数倍の和の形で表せます。ここでポイントは係数の和が1であることと,
係数が一意的に定まるということです hiyo_ang2.gif

ただ1通りの表し方しかないということから,もしも2通りに表されたらその2つは同一のものでなければならない
と言えて,係数の比較が出来るのでした。

では,そもそも1次独立性とは何であったかについて考えてみましょう。
平面ベクトルのときは,2つのベクトル  が1次独立であるとは,実数x,yに対して



が成り立つことを言います。実数x,y,z,wに対して



が成り立つことと同値です。
また,  かつ  が平行でないこととも同値です。
平面上の任意のベクトルが何らかの実数 x,y を用いて  の形で表せるということとも同値です。
しかも表示の仕方は1通りです。

これを3次元版にしたら空間ベクトルの1次独立性の定義が与えられます insect_kabuto_m.gif
 が1次独立であるというのは,実数x,y,zに対して



が成り立つことを言います。



と同値であることや,空間上の任意のベクトルが  の形で表せることなどと同値であることは
平面ベクトルのときの拡張になっているわけですが,
 かつ  のうちどの2つも平行でないということとは
同値ではありません hunayurei.gif

例えば xy 平面上の3つのべクトル  はどれも  ではなく,
またどの2つも平行ではありません。しかし,空間上の任意のべクトルをこの3つの定数倍の和で書くことはできないですし,
x=y=1,z=-1 のときも  を満たしてしまいます。
よってこの部分は平面のときの内容をこのような形で3次元版に書き換えるのではダメなようです~
正しく簡潔に言い換えると,  が同一平面上のベクトルではない,ということになります。
この条件が成り立てば  はいずれも  であってはいけなくなりますし,どの2つも平行ではありません。
確かに平面のときの拡張になっています kitune.gif

上の誤答例ではこの部分が良くないのですね。どれも  でなく,どの2つも平行でないから1次独立だ,
としている箇所がありますね。これだけだと1次独立である保証がありません。
しかも意地悪なことに実は4点O,A,B,Cは同一平面上にあり,  は1次独立ではありません。
誤答例は四面体の図を描くところから始まっていますが,そもそも四面体にならないのです。
座標をよく見てほしいのですが  が成り立っています。
したがって,1次独立性を根拠にした係数比較の部分の論理が崩れてしまいます。
本当は平面ベクトルの理論で立ち向かうべき問題だったわけです~ kudan.gif

ただ,注目したいのは答えの座標は P(2,0,-1) で合っているのです。
これは偶然なのでしょうか?実数α,βを用いて





という形に一意的に表せること自体は  が1次独立でなくても成り立つことが分かります。
α と β の一意性は空間ベクトルの1次独立性ではなく平面ベクトル  の1次独立性に
由来するものだからです。
このことから,平面上の同一直線上にない3点A,B,Cと任意の点Oに対して,平面上の任意のべクトル  は
 の形に一意的に表せるということが言えます。
 の表示が一意的だからです。
今回の誤答例の方針で正解が得られてしまったのは,この事実が根拠になって係数比較が出来たからだと言えます~
ただし,係数の和が1とは限らないという条件下では  の形の表示は
無数に存在するので注意です。

それでは正答例にいきましょう~
平面ベクトルの標準的な手法で解いています~ hachi03.gif




ww22.jpg
ww23.jpg















   
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テーマ:算数・数学の学習
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誤答から学ぼうシリーズ・円の外部の点から引いた接線

2016.09.20 00:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ くりmini


今回は「図形と方程式」の単元から円の接線に関する問題の誤答です~



問題: 円  の接線であって点 (-2,-5) を通るものの方程式を求めよ。


それでは誤答例です~


ww14.jpg



指定された点を通る円の接線の方程式を求める定番問題です~
(-2,-5) を通り傾きが m の直線の方程式が y=m(x+2)-5 と書けることに着目し,
これが円に接するための条件式を立てて解くという方針を取っています。
円の中心との距離が半径と等しくなるため,点と直線の距離の公式を用いた立式をしていますが,
直線と円の方程式を連立し1文字消去して得られる2次方程式の判別式が0になるという条件から立式をする
という作戦もよく使われます。
方程式を解いた結果, m の値が1つしか出てこなかった時点で「おや?奇妙だな」と思わなければいけません。
というのも,下図を見てもらえれば分かると思いますが円の外部にある点から接線を引こうとすると必ず2本引けるからです bakezouri.gif



         ww13_20160918205745b79.jpg



m が1つしか出てこないということは,そこから得られる接線は1本だけということになります。
もう1本はどこに行ってしまったんだ!と思いを馳せることが出来なければ誤答例と同じように失敗してしまいます。
では,そのもう1本の接線は一体どこに行ったのか?
これは図を描いてみるとすぐに解決します kaeru13.gif



ww15.jpg




確かに (-2,-5) を通る接線は2本ありますね。
先ほど姿を見せなかったもう1本の接線の方程式は x=-2 であることが図から分かります。
y 軸と平行な直線は y=ax+b の形では表せないため,接線の方程式を  y=m(x+2)-5 とおいても
x=-2 は出てこないというわけだったのでした。
したがって,傾きを m とおいて接線の方程式を求めていくアプローチで攻める場合は,
y 軸と平行な接線があるかもしれないという可能性を忘れてはいけないという教訓が得られます~ kinkan.gif
図を描きながら考える習慣があればこのような見落としはだいぶ無くなるはずです。
図が無くても m が1つしか出てこなかった時点で怪しめる感覚を持ちたいです~

なお,接点の座標を (p,q) とおくと接線の方程式は px+qy=4 と書けます。
 を連立方程式とみなして解く方針でも答えが出せます。
この方針だと y 軸と平行な接線を見落とす心配はありません kujira.gif



それでは正答例です~



ww16.jpg
ww17.jpg
ww18.jpg




接線の方程式は px+qy=4 と書く方針だとこんな感じです~ kirin.gif








ww19.jpg














  

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誤答から学ぼうシリーズ・複素数と不等式

2016.09.19 00:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ ぺんぎんmini

今回は複素数を対象にした不等式を考察する問題での誤答を見てみます~


問題: 次の(1)(2)それぞれにおいて,与えられた不等式を満たす複素数 z の存在範囲を求め,複素数平面上に図示せよ。ただし, i は虚数単位とする。

(1) 
(2)
 



それでは誤答例です~



ww9.jpg


今回の問題を解くにあたって一番大切なこと,それは虚数には大小関係が定義されていないということです kaeru_en1.gif
2つの虚数,あるいは虚数と実数の間には大小が定義されていません。
例えば,「 i 」と「 1 」ではどちらが大きいか?と言われても困ってしまいますね。 
適当なルールを設けて大小を定義すること自体は可能ですが,それはその場限りのローカルルールであり,
今回の問題でも大小関係は実数に対して定義されているものだ,との前提のもとで考えていくのが自然です。
ただ,「3 i 」と「5 i 」では何となく 3 i <5 i が成り立つような気がしたりしちゃうでしょうし,
誤答例にあるように (z-i)(z-2i)<0 という2次不等式が与えられていれば i <z<2 i と答えたくなる気持ちも
分からなくはありません。
「2次不等式  を解け。 」という問題で  と答えてしまう
高校生も多いです。
このため,「虚数に大小が定義されていない」ことはそれほど注意深く教えられてはいないのかもしれないという印象を受けます。

ちなみに,「複素数=虚数」と誤認している人も多いようです。
 の中から複素数であるものを全て選びなさい,という問いに対し,
 と答える人がちょくちょく見られます。 a+b i (a,bは実数) の形で表せる数全般を複素数というのであって
虚数だけが複素数であるわけではないですね。複素数平面にもしっかり実数が含まれていますよね。

では今回の問題のような複素数に対して定義された不等式はどう捉えればよいのでしょう korobo.gif
例えば z<3 が成り立つ z とは何でしょう。
大小が成り立つためには z は実数でなければいけません。
つまり「 z は実数かつ z<3 」だということになります。
また,不等式の性質を使えば 1<2 という不等式の両辺に同じ数を加えて 1+A<2+A が成り立つことが
いえますが,この性質もまたAが実数でないと成り立ちません。 1+i<2+i は許容されません。
これを踏まえると,複素数 z,w に対して,「 z<w 」が成り立つことと「 z+i<w+i 」が成り立つことは
決して同値ではないことが分かると思います。
「 z<w 」が成り立つのは z,w がともに実数であってなおかつ z<w であるときなのであり,
「 z+i<w+i 」が成り立つのは z,w がともに虚部が-1であるような虚数であってなおかつ
(zの実部)<(wの実部) であるときなのです。

 が成り立つには,まず両辺が実数値にならなければいけません kojika.gif
z=x+y i (x,yは実数) とおくと,右辺が実数になるための必要十分条件は y=3 ですね。
この時点でもう z=x+3 i という形に絞られてしまいました。
 が実数になるための必要十分条件は
x=0 なので,実は候補の z は z=3 i しかないのです。
あとは実際に代入してみて確かに不等式を満たすことをチェックすれば良いです~ m_0100.gif

一方で(2)です。
誤答例と同じように全く気を遣わずに式変形をしていくと確かに(1)の不等式と同じものになってしまうのですが
その変形は実際には許容されないものです。
まずは  が実数になるための条件から考えましょう~

が実数になるのは  のときです。
それぞれについて  が成り立つような条件を求めると良いです。


それでは正答例です~ moon_mov.gif



ww10.jpg
ww12.jpg
ww11.jpg










   

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