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誤答から学ぼうシリーズ・相加平均と相乗平均の関係 その3

2016.10.24 01:12|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ 箱ドットおにおんmini


今回は相加平均と相乗平均の関係にまつわる誤答です~


問題: a を実数とする。 x の2次方程式  が正の実数解を持つような a の範囲を求めよ。


それでは誤答例です~

yy5.jpg
yy6.jpg

方程式が正の実数解を持つ条件を相加平均と相乗平均の関係式を用いて求めてみたという解答です~
実際, a≧5 が正解なのでちゃんと正しい範囲を導いてはいるのですが何がマズいのでしょう。
完全な誤りというわけではなく議論が足りないというのが妥当なところなのですが,
それを把握するため,とりあえず必要十分な議論ができているかどうかの観点から検討してみましょう~ taxi02.gif

まず,  は x=0 を解に持たないので,
 という方程式と同等なものであるという点は問題ありません。
その次に相加平均と相乗平均の関係式を用いて,「この方程式が正の解をもつ」ならば「a≧5」を見い出しています。
つまりここでの「a≧5」は必要十分条件ではなく必要条件です star-ani01.gif
以前に取り扱ったように(http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-306.html),相加平均と相乗平均の関係式が
与えてくれるのは基本的に2数の大小関係であって変数の取り得る値の範囲ではないわけです。
必要条件としての「a≧5」が言っているのは, a はいつでも5以上の値です,5未満の値にはなりません,
ということであって,5以上のすべての値をとれます,という内容は述べていません。
もしかしたら a の取り得る値の範囲は 5≦a≦8 とかだったりするかもしれないわけですね。
5以上のすべての値をとれます,という点を確認してようやく「a≧5」は必要十分条件に昇格するんです curry02.gif
上の誤答例ではこの部分の議論が抜けています。

さて,元々の2次方程式は解の公式を用いて



と解くことが出来ます。 a≧5 ならば a-1>0 かつ (a+3)(a-5)≧0 なので,この2次方程式は
確実に正の解  を持ちます。
このようなことを確認さえすれば a≧5 が求めるべき条件だということが結論づけ出来るんですね 8184765.gif

 と定数分離を行っているので,2つの関数  のグラフの
共有点の個数を調べるといった方針なんかも有効です。
ただ今回の例題においては多数派を占めるであろう解法アプローチは2次関数の単元の問題として捉えて,
2次関数  のグラフが x 軸の正の部分と共有点を持つための条件を考える
というものでしょう 8257410.gif
a の値に依らずグラフが点 (0,1) を通ることから,軸が y 軸より右にあり,かつ頂点の y 座標が0以下である
ことが元の方程式が正の解を持つための必要十分条件になります。
また,解の公式から出てくる2つの解のうち大きい方が正であればよいことに着目して,
a の不等式  を解くという方針なんかもあります。

それでは正答例にいきましょう~


yy8.jpg


2次関数的なアプローチだとこんな感じです~ 15927446.gif





yy9.jpg
yy7.jpg



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誤答から学ぼうシリーズ・極限値の存在とその大小 その2

2016.10.23 18:27|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ 箱ドットおにおん2mini


今回も極限に関連した誤答を扱います~

問題:  で定められる数列  について以下の問いに答えよ。
(1) 任意の自然数 n に対して,   が成り立つことを示せ。
(2)  が成り立つことを示せ。



それでは誤答例です~

yy1.jpg
yy2.jpg


今回の誤答は以前に扱ったこの内容と同じカラクリです:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-321.html

一般に,「任意の自然数 n に対して  が成り立ち,かつ  
(αとβは実数)が成り立つとき,  が成り立つ」
という命題は真ではありません car2_truck.gif
なぜなら,そもそも  が存在するかどうかが分からないからです。
もし存在しないなら,存在しないものに対して大小を論じるというのはナンセンスなことです。

例えば,  は任意の自然数 n に対して成り立ちますが
 であるからと言って  
が成り立つかと言われればそうではありませんね。

なお,もしも  が有限値として定まるならば  が成り立つというのは正しいです。

考察対象の数列を上と下から評価するという作業はよくしますね。
はさみうちの原理を使いたいという目的があることが多いですが,そのときの感覚が残りすぎていると
上側の数列と下側の数列が有限値に収束したら,真ん中の数列も有限値に収束してしまうかのような
先入観に囚われてしまうわけですね hamster_6.gif
上側の数列と下側の数列が同じ有限値に収束したら真ん中の数列もその値に収束するというのが
はさみうちの原理なので,今回の例題のような状況ははさみうちできていないですね。

また,  が成り立っていて,かつ 
であるときには α<β ではなく α≦β が成り立ちます。
α=β かもしれないわけですね。

というわけで(2)で本来やらなければならないことは,  が存在することを示した上で
更に  が成り立つことを示すということです。
与えられた漸化式の両辺について2を底とする対数をとることで



と変形でき,これを更に 
と変形することにより,数列  が公比  の等比数列になることが分かるので
直接  を求めていくことが出来ます kame.gif
(1)の段階で一般項を求めておくと,帰納法を用いなくても証明が出来ます。
そうすると,途中で  であることを確かめる場面が出てきます。
(2)では  であることを確かめて  が成り立つことを示す必要がありますが
(1)の時点でこの大小関係は確かめられているわけです。


それでは正答例にいきましょう~


yy3.jpg
yy4.jpg



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誤答から学ぼうシリーズ・無限等比級数の収束条件

2016.10.19 01:44|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ 箱ドットおにおん2mini

無限級数に関する項目が続いていますが今回もその続きです~
無限等比級数の収束条件に関する誤答を見てみます~

問題: 実数 x に対して,無限級数   が有限値に収束すような
x の範囲を求め,無限級数の和を求めよ。



それでは誤答例です~

xx17.jpg


今回は無限等比級数の収束条件がテーマです。
例えば  のような無限等比級数を考えてみましょう



となります。同様に無限等比級数  を考えてみると



となります。このようなことから,公比 r が -1<r<1 を満たす場合には無限等比級数は収束することが見て取れます
このため,無限等比級数  の収束条件は -1<r<1 であると覚えている人がとても多いです~
しかし,この内容は実は正確ではありません。
初項 a が0の場合は特例で,公比がどんな値であろうと問答無用で    になってしまいます。
つまり収束条件は -1<r<1 または a=0 なのです

今回の誤答例でも 初項=0 のパターンが抜け落ちているというわけです。
この例題のように,初項や公比部分に文字を含んだ無限等比級数には注意しましょう~ senpuki04.gif


それでは正答例です~



xx18.jpg

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