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誤答から学ぼうシリーズ・虚数の平方根

2016.11.22 00:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90



今回は虚数の平方根に関する誤答です~


問題:  を満たす複素数 z を求めよ。ただし, i は虚数単位とする。


それでは誤答例です~~


bbb1.jpg




実にあっさりとした解答ですね。本当にコレで良いのでしょうか?kero.gif

 のような方程式であれば  と瞬殺ですよね。
誤答例はこれと同じように解いただけのはずなのですが~~

この疑問に対する回答としては「現時点では適切ではない」というものが妥当でしょう。
では詳しく見てみましょう~

実数の範囲で数学をやっていたときには,根号の中身は0以上でなければならないというルールで
ずっと通してきましたね。虚数を導入した段階で根号の中身が負の実数でもOKというところまで
少しルールが緩くなりました。ここで注意したいのは,まだこの時点で根号の中身が虚数でもいいよ
というところまでは許容していない点です。
つまり,「ルート虚数」の形の数はまだ定義されていないのです eto_tora.gif

したがって,  と書かれても,「それは一体何なんですか?まずはその数の定義をしてください」
と跳ねられてしまうわけです~
然るべき定義のもとでは  という表記も意味を持つようになり,誤りとも言えなくなるのですが
現段階では妥当な解答とは言えませんね hiyo_ang2.gif

さて,正の実数 x に対しては必ず平方根は2つ,正のものと負のものが1つずつあり,
正のものを , 負のものを  と表す,というのが「ルート実数」の形の数の定義でしたね。
0の平方根だけは0のただ1つだけで,  です。
また,2乗して-1になる新しい数を考え,それを  と書くことにしようということで虚数単位が
導入されました。
任意の虚数 α=p+qi (p,qは実数かつq≠0) に対しても,2乗して α になる複素数が2つあります。
これを確かめてみましょう~~

z=x+yi (x,yは実数) が  を満たすと仮定します。



について,実部と虚部の比較をすることで 
という x と y に関する連立方程式が出来ます。
 が成り立つので,  の和と積が与えられたことになり,
 は t の2次方程式  の2解になります。
 に注意すると,2次方程式の解の公式により



が得られます。このとき, q>0 ならば

  (複号同順)

と2組の解が得られ, q<0 ならば

  (複号同順)

の2組が得られ,どちらの場合でも α の平方根は2個得られます kojika.gif
そこで,2つある平方根のうち一方を  ,他方を  と定義することによって「ルート虚数」が
定義できます。2個のうちどちらを  とするかは自由ではあるのですが,複素変数 w の関数として  が
連続になるように,そして w を正の実数に近付けたときに正の実数のルートの値との整合性が取れるように
定めておくのが便利ですよね。
ところが,複素数のベキには多価性の問題があり,少し注意を払って定義をしなければならない事情が実はあったりします。
その辺りの話は高校数学の範囲から外れてしまうので今は深入りを避けます。

今は q≠0 のもとで考えていましたが, q=0 として方程式を解けば α≠0 である任意の実数 α に対しても
α の平方根は複素数の範囲でも2個だけということを確かめることが出来ます。
尤も,解の公式を用いてもすぐ確かめることが出来ますが。

一連の内容は2次方程式の解が高々2個しか無いことを前提とすれば当然なことに感じるかもしれませんが,
その前提も決して自明なことではないんですよね。高校数学では実数係数の2次方程式は詳しく取り扱いますが
一般の複素数係数の2次方程式についてはそれほど詳しく取り扱っていなくて,解が高々2個であることも
ちゃんとは論じていないままになっている人も意外と多い気はします。

今回の例題も上で用いた手法に倣って解いていけばよいわけですね。
また,ド・モアブルの定理の応用として解いていくことも可能です。
数3では複素数の n 乗根の問題を取り扱いますよね。その手法を使えばよいのです。

それでは正答例を挙げてみます~

bbb2.jpg

なお, xy=10 が出てきた時点で x=5,y=2 という解を発見的に求めることはそれほど難しくありません。
5+2i が解の1つならば -(5+2i) だって2乗したら同じ値になるので解の1つです。
このことから, 
と因数分解できるので, z=±(5+2i) の2個だけが解であると結論付けることも出来ます kudan.gif


今度は極形式を用いて論じてみます~

bbb3.jpg
bbb4.jpg
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

誤答から学ぼうシリーズ・無理式と極限

2016.11.21 00:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189


今回は極限計算における定番の誤答を扱います~


問題: 極限値  を求めよ。


それでは誤答例です~


aaa18.jpg


無理式を含んだ極限計算の問題では,分子の有理化を行うことによって不定形の解消に繋がるタイプのものが多いですね。
その際,今回の問題のような x→-∞ における極限値を求めるものはある注意が必要になります。
今回の誤答例はまさにその点での失敗です。

誤答例の中で誤りが起きたのは4行目から5行目にかけての変形の部分で,分母と分子を x で割り,分母を



としている箇所に誤りがあります bakeneko_20120809140145.gif

何がマズいかというと,任意の正の実数 x と任意の実数 a に対して,  が成り立つと
勘違いしてしまっていることです。 
 とすべきところを  としてしまう定番の変形ミスがありますよね。
上述の勘違いはそれと同種のものです。
 という変形が正しいので,
 なら良いけど  はダメなんです dog_shy.gif
ただし a≧0 のときは  は正しいですよ~

正しくならないのは a<0 のときです。具体例を挙げると, 
という変形は正しくないですね。  とします。
a<0 のときは -a>0 なので, 
となるのが正しい変形だと分かります~

さて今回の例題に戻ると, x→-∞ における極限値を考えているので,基本的に x<0 になっていると
思って構いません。ということは,  とするのではなく,
 としなければならないのです~ dolphin.gif

こうした変形は見落としやすいため, x→-∞ における極限を考えるときには敢えて x=-t とおく
変数変換を考えて, t→∞ における極限計算に直してしまうという手法がよくとられます。
正答例でもそれを実践しています。それでは正答例にいきましょう~ korobo.gif



aaa19.jpg
aaa20.jpg
aaa21.jpg

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誤答から学ぼうシリーズ・回転体の体積

2016.11.20 04:22|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ 箱ドットおにおんmini

今回は回転体の体積を求める問題に関する誤答をみてみます~


問題: 曲線  とx軸で囲まれる図形をy軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。


それでは誤答例です~


aaa8.jpg
aaa9.jpg
aaa10.jpg
aaa11.jpg



y軸まわりに回転というのが厄介ではありますが,実は答えの数値は合っています~
それでは一体何処に問題があるのでしょう。

x軸まわりに回転させる場合のことを思い返してみます。
下図のような2曲線 y=f(x), y=g(x) と直線 x=a, x=b で囲まれる図形をx軸のまわりに1回転してできる
立体の体積は,2つの回転体の体積の差として計算できます cat_4.gif


aaa15.jpg


大きい回転体から中身をくり抜いたという考え方もできるし,断面積の積分という観点からすると
下図のような円環領域の面積を積分したものという見方も出来ます。


aaa16.jpg


このような考え方はy軸まわりの回転体の場合にも同じように適用されます。
今回の例題でも2つの回転体の差として捉えていくことが出来ます。

aaa17.jpg


曲線  を 0≦x≦1 の部分と 1≦x≦3 の部分に分けて
それぞれを先程の例の y=g(x), y=f(x) の立ち位置に対応させていけば良さそうです。
誤答例では 0≦x≦1 の部分を x=f(y) と書いていますが,
「  の逆関数を x=f(y) とし,」という表現が用いられていることは
油断しているとスルーしてしまいそうになりますが,よくよく考えてみるとおかしいんです kaeru_ang3.gif
 の逆関数は陰関数表示で
 となります。ということは,誤答例の書き方だと
 になってしまいます。これは誤りですね。

逆関数という単語を用いて述べるならば,
「  の逆関数を y=f(x) とおくと, 
 は x=f(y) (0≦y≦4) と表せる。」
というのが正しいです kaeru_en1.gif
 をxについて解くという操作と,逆関数を求めるという操作を混同してはいけません。


なお,今回のような形状の図形の回転体について体積計算をする際には,
俗に言うバウムクーヘン分割だとかバウムクーヘン積分だとか呼ばれる考え方も有効に作用します xmas_tonakai.gif
ただ,この「バウムクーヘン分割」については,答案の中でどれくらい丁寧にことわりを入れるべきかで悩んでしまう
という難点があります。答えの値が出せないよりは細かい説明を省いてでも答えを導いたほうが実りは大きい
かとは思いますが,バウムクーヘンの側面積を積分していくような考え方は高校数学のスタンダードではないですよね。
答案中の説明がどれくらい丁寧であるべきかという問いに対して絶対的な答えはありません。
相手側の採点基準次第です。
本当に丁寧に書こうとすると,オーソドックスな手法で解いて答案を作るよりも労力がかかってしまう場合もあります。
穴埋め型試験のように答えの数値を出すだけで良いのなら,このようなことで頭を悩ませる必要もないんですけどね。
正答例の後半では丁寧にバウムクーヘン分割を利用してみたらどうなるかも挙げてみます。


それでは正答例にいきます~ aicon_bbs17.gif



aaa8.jpg

aaa12.jpg


aaa10.jpg
aaa11.jpg





一方で,バウムクーヘン分割を利用してみます~



aaa13.jpg
  aaa14.jpg



  

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