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2017年センター試験数学2B大問2

2017.01.30 14:01|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター数学2Bの第2問を見ていきます~ ぺんぎんmini
例年同様,第2問は微分・積分の分野からの出題です~
今年はやや微分側の方が分量多いですね。
特に目立った難問もなく,計算量も多くなく,とても解きやすい印象です。


P(a,2a) は直線 y=2x 上の点です。まず放物線 C とこの直線 y=2x の位置関係を確認しておきます。
交点の x 座標が x=1 のみであることから, C と直線 y=2x は点 (1,2) において接しています~
後でPを通る C の接線の方程式を求める設問が出てきますが, a の値によらず y=2x はそのような接線の
1つになっていることがこの時点で既に分かってしまいます。


iii11.jpg


まずは自然な流れで最後まで解き進めてみます~
(1)ではPを通る C の接線を求めることがゴールになっています。
接点の座標が未知なので, x 座標を t とおきます。標準的な手法ですね。
x=t における C の接線の方程式を求め,それがPを通るという条件から t に関する2次方程式が立ちます。
C は2重接線を持たないので,2本の接線が引けるためには2個の接点が必要です。
したがって、この2次方程式が相異なる2個の実数解を持てばよいです。
y=2x は必ず接線になっていたので,接点 (1,2) から t=1 が解に含まれることは既に分かっています。
 が出てくるので,  とすればよいわけです。
判別式>0 から  を求めてもよいですが,どうせ2解も求めなければいけないので
前者の方が速いですね。
これで a の条件や接線の方程式が得られます。

(2)は△OPRの面積 S の最大値を求めようという趣旨になっています。
接線 ℓ の方程式はもう出ているので,その y 切片が r です。
r>0 という不等式を解けば 0<a<1 が得られます。
△OPRは辺ORを底辺とみなすと 底辺×高さ÷2 のおなじみの手法で面積がすぐ求められます。
これが a の3次関数になっているため,微分して増減を調べれば S の最大値が分かります。

(3)は積分を使って面積 T を出し,それの増減に関する設問に答えるという内容です。
まずは積分計算で T を求めましょう。
[フ] に a が入るのがちょっとずるい感じですね。いかにも数字が入るっぽい見た目になってるのに!
S と同様に, T も a の3次関数になっているため,微分して増減を調べれば
問われている範囲においては T が単調に増加していることが分かります。


iii12.jpg
iii13.jpg
iii14.jpg
iii15.jpg




では今回も別ルートを検討してみます。
(1)は,Pを通る接線の方程式を求めるものでした。
Cは放物線なので,その接線を求めるには微分する方法以外にも,判別式を使う手法があります hiyos.gif
Cは y 軸に平行な接線は持たないので, x=t における接線はその傾きを m とおくと,

と表わせます。これとCの方程式を連立し y を消去すれば,Cと直線の共有点の x 座標を求める
2次方程式が得られます。接するのだとすれば共有点は1個なので,2次方程式の判別式の値は0になります。
この条件から m の値を決めることができ,空欄 [アイ] が埋められます。


iii16.jpg


一方でPを通る接線も判別式を用いる発想からも攻めていくことができます。
せっかく [アイ] を求めているのだから,わざわざこちらを判別式を用いて計算する必要はないのですが
誘導のない記述試験であればこちらの手法も悪くはないです。
求める接線の傾きを n として,「Pを通る傾き n の直線」の方程式を立てます。
これとCの方程式を連立し y を消去すれば,Cと直線の共有点の x 座標を求める
2次方程式が得られるので,これの判別式の値は0になります。
この条件から空欄に入る値を次々求めていけます。

「Pを通る」という条件を後で使うのがはじめの解法で,最初に使うのが今やっている解法です m_0001.gif



iii17.jpg


(2)は△OPRの面積 S の最大値を求めるものでした。
△OPRは1つの頂点が原点なので,残りの頂点が  ならば
その面積は  で計算ができます。
このことからも S が求められますね。


iii18.jpg


積分計算でも S を計算できますが,流石に大袈裟な感じがしますね。
一方で(3)の T の方は計算の方法が色々バリエーションがありそうです

まずは台形を引くという発想。

iii19.jpg


続いて S を引くという発想。


iii20.jpg



なお,  の形を経由していますが,積分区間が [0,a] という下端が0であるものなので,
気を利かせず素直にやった方が実は楽です。はじめの解答もですね。


iii21.jpg


よく知られた計算テクニックの活用も可能です korobo.gif
 公式の友達みたいな面積公式が色々ありますが,それらが使えます。
接点のうちの1つ  は a が  より大きいか小さいかによって
第1象限にあったり第2象限にあったりします。どちらにあっても成り立つように立式します。
今回の放物線と2接線で囲まれた図形の面積に関しては下の図において  
が成り立ちます。

iii22.jpg


また下の図において  が成り立ちます。
このとき,  によって T が計算できます~ kojika.gif


iii23.jpg



この  という点に着目すると,最後の T の様子を探る問題は計算要らずで
結論を出すことができます。
聞かれているのが  における増減の様子です。つまり S が最大値をとった後の話です。
はじめの解答で(2)の段階で S の増減表を書いていましたが, S は  で最大値をとった後は
ずっと減少しています。また,図形の形状からも面積の値からも,  もまた単調に減少していることが分かります。
 は定値ですから,引く値がどんどん小さくなるということは T はどんどん増加していきます m_0034.gif



iii25.jpg


極値をとる a の値を求めて増減表を書いて考えることもできます。
極値自体を求める必要はありません。


iii26.jpg




取り組みやすい問題でしたね。なるべく失点せずに先に進みたいです~
ところで,点Pが出てきてQが出てこずRに飛ぶのは何なんでしょう~



   
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2017年センター試験数学2B大問1

2017.01.30 00:22|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター数学2B第1問を見てみます~ げろ
今年のセンター数学2Bは1Aと同様に穏やかな内容でした。
特に難問というほどの設問もなく,第4問のベクトルは昨年の追試の問題を優しくしたような問題です。
対数が第1問と第3問,積分が第2問と第5問と複数大問に登場するあたりは新鮮だったかもしれませんね。

今回は第1問ですが,前半は三角関数,後半は指数・対数関数という2部構成です~
2部構成は例年通りの展開ですね。
どちらも方針に迷うことは少なそうで猛進できそうです。


前半の三角関数は α と β に関する連立方程式を解くという内容で,
2次方程式の解と係数の関係と結びつけて考えていくとすれば「式と証明」の単元との融合問題とも言えます。
まずはごく自然な流れで最後の空欄まで解き進めてみます~

はじめは2倍角の公式を使うことを問題文で言ってくれているので,とても親切な誘導になっています。
この計算から  の値が分かり,次の空欄で  の値が分かるので,
これで  の和と積の値が分かったことになります。
解と係数の関係から  を2解に持つ2次方程式が構成できるので,それを解きます。
 から  が従うので,これに適するように  の
値を求めましょう。
 を求めておしまいですが,符号の決め方には注意しなければいけません。
埋める空欄の形から結果が予想できてしまうのが悲しいですが,  
から  を見い出します~


iii1.jpg


別ルートを模索してみましょう~
この大問で恐らく一番解法の選択が割れそうなのは,
解と係数の関係を用いて2次方程式を構成する部分だと思います。
普通に1文字消去の手法で解いた人も多いでしょう bakezouri.gif
はじめの解法と比べても特に大きな差もありません~
大小比較の吟味に注意しましょう。


iii3.jpg



最終的に  の値を出すのですが,はじめの解法では一旦  の値を出す
という過程を経由しました。はじめから  の和と積からこの2つを解に持つ2次方程式を立てる
方針でもいいのではないかという発想はあると思います car2_tank.gif
ただ,そちらの方針で攻めると2重根号を外す作業や  であることの吟味などの作業が
必要になるので少し面倒です。はじめに  の値を出した意図というのが見えてきますね。


iii2.jpg



最後は少し特殊な解法を試してみます。
例えば  のような条件式が与えられたとき, 
のようにおいて問題を解いていくという手法がしばしば用いられます。
今回は  という関係式があるので, 



という置き換えが可能です。これで α と β という異なる角度を扱う煩わしさから解放され, θ に一本化できます body_run.gif
θ の範囲としては,  から  とおけます。
更に,  から  にまで絞り込めます。
ただ,このような角度の絞り込みに注意を払うところがちょっと面倒ですね。


iii4.jpg
   iii5.jpg



後半は指数・対数分野の問題ですが,「図形と方程式」の単元との融合になっています~
まずは自然な流れで解いていきます hikari_pink.gif

AとBの座標から内分点の公式を用いてCの座標をまず出します。
それが  と一致することから x 座標と y 座標についてそれぞれ方程式が立ち,
p と q に関する連立方程式が出来上がります。
前半に続いてまた連立方程式の問題ですね。
 を使って p を消去してといていくというのが手順としては分かりやすい気がします。
連立方程式を解くと最後に  の近似値を求める設問が待っています。
底は2の対数なんですが,参考として挙げられているのは底が10の対数,つまり常用対数です。
わざわざ常用対数にしたのは底の変換がちゃんとできるかといった点を試す目的があったんでしょうか。
また教科書の巻末に載っているのは大体常用対数と自然対数ですからね。
引っ掛けで  の値も付記しています。方程式を解き間違うと  が必要な値でも出てくるのかな?
よく分からないですがとりあえず  は使わないで答えが出せます。


iii6.jpg
iii7.jpg


ほとんど1本道で答えまで到達できるので,前半と同様であまり多様な解法バリエーションはなさそうですね。
内分の公式を使う代わりにベクトルの成分表示を活用してみるとか,あるいは平行線と線分の比の関係式を
活用してみるとかでしょうか。
個人的には,内分の公式はそうでもないですが外分の方はなんか面倒なので,外分点を出すときは
よくベクトルを使います hiyob_hat.gif



iii8.jpg
iii9.jpg


連立方程式が立った後は,一旦  に関する連立1次方程式にしてしまうという作戦はあると思います。

iii10.jpg



















   

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2017年センター試験数学1A大問5

2017.01.22 13:05|大学入試問題
どもども。

今回も今年のセンター数学1Aをやっていきます~ 算数mini
第5問,これでラストですね。図形分野の問題です~
選択問題3つの中では一番クセのない素直な問題でした。

いわゆる「図形の性質」の単元からの出題なのですが,(2)はだいぶ「三角比」の要素が強いです。
方べきの定理,メネラウスの定理,余弦定理,内接円半径の公式で解決できます~

まずは王道路線でひと通り解き進めてみます kaeru_en1.gif
(1)は積 CE・CB を求めるところからスタート。方べきの定理を使ってと言ってるようなものですね。
この結果からBE,CEの長さが分かり,この2線分の長さの比も分かります。
すると△ABCと直線EFに関してメネラウスの定理を適用することにより, BF:AF も算出できます。
これでAFの長さも分かるので(1)はそれだけでおしまい。

hhh11.jpg


(2)はまず ∠ABC の大きさが聞かれています。余弦定理で出すだけ。
これはどちらかと言うと第2問の立ち位置で出題すべき問題のような気もしますが~
△ABC の内接円の半径を求める空欄に続きます。
  の形で公式として覚えてしまっている人も多いでしょう。
これは公式の導き方とセットで覚えて欲しいですね。 △ABC=△IAB+△IBC+△ICA と分割して考えるのでした。
最後はBIの長さを求める設問です。内心Iから辺BCへ垂線を下すと,内角が30°,60°,90°のおなじみの三角形が
出現するので BI=2r で瞬殺です~ m_0102.gif


hhh12.jpg


では今回も別ルートでの解法を検討していきます~
先程見たように,(1)は方べきの定理から始まります。方べきの定理が思い浮かばなかったとしたら
どのように解いていけばよいのでしょうか。
そもそも方べきの定理は名前こそかっこいいですが,ただの相似な三角形の線分比の関係式に過ぎません m_0195.gif
今回で言うと △ABC∽△EDC ですね。方べきの定理という形で気付かなくてもこの相似にさえ気付ければ
同等の解法は見い出せると思います。
この相似関係にも気付けなかった場合を想定してみます。
答えに到達するまでの手数がだいぶ増えてしまいそうですが考えてみましょう~

下図のように垂線AH,DJを引いてみます。
何らかの過程からCJとEJの長さが求められれば CE=CJ-EJ で [ウエ] が埋まります。
円に内接する四角形の性質から ∠BED=180°-∠BAD なので,
余弦定理で cos∠BAD を出せば自ずと cos∠JED の値も分かります。
△ABC∽△EDC を使えばDEの長さはすぐ分かるので JE=DEcos∠JED が求められますが,
いまは △ABC∽△EDC には気付いていない設定なので DJ の長さを先に出す方向を考えてみます。

少し後に ∠ABC=60° を求める空欄があるので前倒しで求めてしまうと,  の線分比から
AHの長さが出せます。 DJ // AH より, DJ:AH=CJ:CH=CD:CA=4:7 が成り立つので
DJやCJの長さが出せます。これでCEを求めていけますね。

なお,DJやCJの長さは,余弦定理で cos∠ACB を求めてから DJ=DCsin∠ACB,CJ=DCcos∠ACB
によって求めていくことも出来ますね。


hhh13.jpg



今度は対角線AE,BDを引いて考えてみます~
△ACE∽△BCD に気付ければ,相似比が AC:BC=7:8 であることから  が
簡単に得られますね。この作戦は答えに到達するまでのステップ数も少ないので悪くないです m_0151.gif
△ACE∽△BCD に着目しないとしたら,例えばメネラウスの定理と角の二等分線の性質を使って
DE:CE=3:7 を導いてみたり出来ます。
そこから先は△DECに余弦定理を用いて立式,だとか△ABEと△ADEに余弦定理を用いて立式,などを
考えてみるとよいでしょう~


hhh14.jpg
   hhh15.jpg




[オカキ],[クケコ]  の別ルートも模索してみましょう~
CE・CBを求めるときと同様に方べきの定理を使ってみる作戦は立てられそうです。
FA・FB=FD・FE に着目するんですね。


hhh16.jpg
        hhh17.jpg

途中で出てきた FA:FE=2:3 は角の二等分線の性質を使って FE:BE=FA:AB からも導けます。


また,はじめの解法はメネラウスの定理を1回使うだけで答えを出していますが,
2回に分けて適用するという手もあります。


hhh18.jpg



面積比に着目するという手も有効です niwatori.gif
BF:AF=△BEF:△AEF を求めてみましょう~


hhh19.jpg




ここからは(2)の別ルートを考えてみます~

まず ∠ABC=60° は余弦定理を使わずに  の線分比から見い出すことも出来ます。

hhh20.jpg


内接円の半径 r を出す方法ははじめにやった解法が鉄板ではありますが, ∠ABC=60°であるがゆえに
その2等分角も30°という都合のいい値をしているので,これを利用していく方針もとれます。
はじめの解法ではBIの長さを求める段階でこれを利用しましたが, r を求めるのにも使えるんですね。

分かりやすいとこでは,内接円絡みの問題でよく使う性質ですが,下図において 

が成り立つことに着目するとよいです。  の長さが分かればよいです aicon_bbs18.gif



hhh24.jpg
  hhh12a.jpg



AKは ∠BAC の二等分線,BI は ∠ABC のニ等分線なので,角の二等分線の長さを求める公式
http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-62.html
を利用することも出来そうです。



hhh21_20170122124658fa1.jpg
hhh22.jpg


角の二等分線の長さを出す場合,公式を使わなくても面積公式や余弦定理を使って求めることが出来ます。
広く知られているのは上記の手法よりはこちらだと思います~


hhh23.jpg





用意された誘導に乗れれば楽勝,そうでないと少し面倒になる,
そういう問題でしたね buta(2).gif











 

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