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2013年京都大学前期入試 理系数学 第4問 

2013.05.01 03:05|大学入試問題
どもども。

今回は今年の京大入試理系数学の第4問です~




微分法の問題ですね~
f(x)=cosx+(√3/4)x^2 という関数の -π/2≦x≦π/2 における
最大値を求める問題ですよ~~

f(x)が三角関数と多項式を足し合わせたような関数になっているので
色々値が比べにくい難点があります~
そこでπと√3の近似値を与えて,それを参考にして
最大値を考察するという趣旨のようです~

あれこれ別解があるようなタイプの問題でもないので
あっさりと片付けてしまいたいと思います~


まず,f(x)が偶関数であることに気づきましょう。
これによって, 0≦x≦π/2 の範囲で考えれば十分なことが分かります。

微分して極値を取るxの値を調べたいと思いますが
f’(x)=-sinx+(√3/2)x になるので,
f’(x)=0 の解は sinx=(√3/2)x の解で与えられますね。
しかしながら,三角関数と1次関数なので,これの解はx=0以外は
明快な形では与えられそうにありません。
0≦x≦π/2 の範囲で解を持つかどうかもよく分かりませんね。
 
そこで,まずは第2導関数 f’’(x) を考えることにしましょう。
f’’(x)=-cosx+√3/2 だったら考察が簡単そうです。
f’’(x) というのは関数 y=f’(x) の導関数なので,
f’’(x)=0 の解を調べることによって,
関数 y=f’(x) のグラフの極値を与えるxの値が調べられます。
とりあえず y=f’(x) のグラフを描いてみましょう~car02.gif


f1_20130501021836.jpg
f2_20130501021836.jpg

f3_20130501021836.jpg


f’(π/6)<0, f’(π/2) なので, 
π/6<x<π/2 の範囲で単調増加関数である y=f’(x) は
この範囲でただ1個,x軸との交点を持ちます。
この点のx座標を x=α とおくと,この点の前後で f’(x) の符号が
負から正へ入れ替わっているので, y=f(x) は
x=α で極小値を取ることが分かると思いますkaeru11.gif


また, 0≦x≦α においてf(x)は減少,α≦x≦π/2において増加するので
これで y=f(x) の増減が分かりました。

f(x)の最大値は端点での値 f(0),f(π/2) のうちのどちらかです。
π>3.1,√3>1.7 のヒントを利用して
f(0)とf(π/2)の値を比べてみると良いと思います~rabi_happy.gif



f4_20130501021837.jpg





今回はあまり別解なんてものも浮かばなかったのですが,
とりあえず f’(x)=0 を満たすxが 0<x<π/2 の範囲に
1個だけあることを示す部分について,
上の解法とは違うやり方を1つ挙げて終わりにしたと思います~

y=sinx と y=(√3/2)x のグラフが
0<x<π/2 の範囲で交わるかどうかが焦点になります。
2つのグラフは原点で交わっていて,
y=sinx のグラフは 0<x<π/2 では上に凸です。
x=0 における接線がy=x,
原点と(π/2,1)を通る直線の式が y=(2/π)x なので
2/π<k<1 を満たす k については y=kx は
0<x<π/2 の範囲で1回 y=sinx のグラフと交わります。
2/π<√3/2<1 を確かめることによって
y=sinx と y=(√3/2)x のグラフが
0<x<π/2 の範囲で交わることを見い出すことができます~onigiri_1.gif


f5_20130501021837.jpg

x=α を境に y=sinx と y=(√3/2)x のグラフの
上下関係が入れ替わるので, x=α において f(x) が
極値を取ることが分かりますねkorobo.gif






次回は第5問をやっていきますーbody_run.gif





    
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