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2013年京都大学前期入試 理系数学 第5問

2013.05.07 14:31|大学入試問題
どもども。

今回は今年の京大入試の理系数学第5問です~




第4問に続き微積に関する問題です~

曲線C_1:y=√3log (1+x) と C_2:y=√3log (1-x) と
更にy軸上に中心Pがある円Pがあって,
図のように点A,Bで接しているそうです~
しかも△PABは正三角形になっているらしいですよ~

そのとき,この3曲線で囲まれる領域の面積を出せという問題ですね~

ちなみに,「3曲線で囲まれる領域」というのは,
境界線がどの箇所も3曲線のいずれかの一部分になっているような図形の内部に
なっているはずです。それは下図で言うと斜線部分と捉えるのが
一番自然な解釈なのかとは思いますが,考えようによっては円の内部まで含んでいても
構わないという解釈もあります。
「いくつかの曲線が囲む領域」は時に複数の解釈ができることがあります。
今回は円の内部は含まない方で考えていきます。


g1_20130507123513.jpg


円Pは果たしてx軸より上側にあるのか,それとも下側にあるのか,
あるいはどちらの場合もあり得るのか。
そういったことも含めて,
とりあえず円Pを決定する作業から始めると良さそうですね~eto_ushi.gif

図はy軸に関して対称なので,
AとBもまた,y軸に関して対称です~

というわけでAを求めてみましょうか~
曲線C_1と円PはAにおいて接しているので
この点において共通接線を持ちます。

2曲線の接線を求めてそれが一致する条件を調べるというのが
汎用性のあるアプローチの仕方だと思います~eto_uma.gif

でも今回は,片方の曲線が円だったり△PABが正三角形だったりするので,
もうちょっと楽な考察もできますよ~

△PABが正三角形であるということから
∠OPA=30° であるということが分かります。
だから,直線PAの傾きは -√3 であることがすぐ分かります~

Aにおける円Pの接線は直線PAと直交するので
接線の傾きは 1/√3 であることが分かりますね。
したがって,C_1の接線の傾きがいつ 1/√3 になるのかを調べれば
Aの位置が分かるというわけなんです~kitune.gif


g2 1


A(2,√3log3) であるということは,
円Pはx軸より上側にあるということが分かりますね。

次にすることは図の斜線部の面積を出すということですが,
y軸に関する対称性から,x≧0にある部分の面積を求めて
2倍すれば良い
ですkojika.gif


g9_20130507131212.jpg

R(2,0)とおきましょう~。
図の斜線部の面積S_1を求めたいわけですね。
台形PORAから扇形部分の面積S_2と
対数関数のグラフと2直線で囲まれる部分の面積S_3を
引いちゃえばいいですね~

Aの座標が分かることで正三角形PABの頂点をはじめとして
円Pの半径(=PA)なども分かります。
扇形の中心角も∠OPA=30°とわかっているので
台形PORAの面積や扇形の面積S_2は何とか出せそうです。
S_3の方も積分計算で何とかなりそうです。

ということはS_1も出せそうですね~korobo.gif


g2 2
g3_20130507123514.jpg




ということで答えが出せました~~
面積計算は,対数関数の積分が嫌いという場合は
以下のように,x軸方向ではなくてy軸方向の積分を考えても良いと思います~m_0246.gif
指数関数のほうが積分は簡単ですねー

g7_20130507123530.jpg






さて次は,Aにおける接線の傾きが 1/√3 であることに気付かないで
2曲線の接線の方程式を比較してみるやり方を検証してみましょう~m_0251.gif

まずは円Pがx軸より上側にあると仮定して,
P(0,k)とおきます。円の半径はrとおいておきましょう~
△PABが正三角形であることから
A(r/2,k-(√3/2)r) と書けます。
AがC_1上の点であることから,kを消去できるのでrを求めてみましょう。
Aにおける2直線の接線の方程式を立てて
係数比較をしてみるとrを求めることができますよ~m_0250.gif


ちなみに円 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 上の
点(p,q)におけるこの円の接線の方程式は
(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r^2
と書けます~

g4_20130507123514.jpg

g5_20130507123514.jpg

g6_20130507123529.jpg


円Pがx軸より下側にあると仮定するとどうなるでしょうか~
きっと何か不合理なことが起きるに違いありません。

Aの座標が(-r/2,k+(√3/2)r)になりますが,
これはさっきの場合の r を -r におきかえただけなので
計算すると r=-4 が出てくるはずです。
半径が負というのはおかしいので不合理というわけですねrabi_shy.gif



g8_20130507123531.jpg







ちょっとした計算の工夫で要領良くも出来る
計算練習にはちょうどいい感じの問題だったと思います~


次回は最後の第6問をやっていきます~shm01.gif





  
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