プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

07 | 2017/08 | 09
- - 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31 - -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

2013年京都大学前期入試 理系数学 第6問 

2013.05.11 03:08|大学入試問題
どもども。


今回は今年の京大前期入試の理系数学第6問です~





反復試行型の確率の問題です~
数直線上の動点と確率の応用はよく出題されますね~~sosu.gif


コインを投げて表が出るか裏が出るかで移動の仕方が変わるのは
毎度のことなんですが,
ちょっと珍しいのは,移動の仕方が特定の点に関する対称移動である
というところですね~rose03.gif

コインの表が出ると,原点に関する対称移動,
コインの裏が出ると,座標が1である点に関する対称移動
をします。

何やら難しそうですねーーー


原点に関する対称移動はまだ考えやすいかもしれません。
座標が x である点を座標が -x である点に移します。

一方で,座標が1である点に関する対称移動というのは
一体どういう変換になるでしょうか。
座標が x である点を座標が a である点に移すとしましょう。
点 x と点 a を結ぶ線分のちょうど中点の座標が1であるということですね。
このことから a=2-x であることが分かります。
すなわち,座標が x である点を座標が 2-x である点に移しますonegai03t.gif


h1_20130511021206.jpg


コイン投げ1回単位で見ていくと,
確かに何だかよく分からなくて難しいんですが,
コイン投げ2回単位で見ていくと,
少し分かりやすくなりますningyou.gif

表→表 または 裏→裏 という出方をすると
座標が x である点は元の点 x に戻ってきます
また, 表→裏 という出方をすると点 x+2 に移り,
裏→表 という出方をすると点 x-2 に移ります~~

つまり,コインを2回投げると,
座標が x である点の行き先は,元の点 x か,
あるいは前か後ろに2進んだ点 x±2 のどれかになるわけです~koinoburi10.gif


このことにさえ気付いてしまえば,
だいぶ楽に問題が解けるはずです~

(1)はコインを2回投げて,動点が元の点に戻ってくる確率を求める問題ですから,
表→表 または 裏→裏 という出方をするときであることが既に分かっていますねkinoko02(1).gif




h2_20130511021207.jpg
h3_20130511021207.jpg



(2)はコインを 2n 回投げた後の動点の行き先の座標が 
2n-2 である確率を求める問題です~

コイン投げの回数が 2n 回ということなので,
2回投げるのを1単位の試行として見る考え方がしやすいです。
コイン2回投げを n 回行うという風に考えましょう~katorisenko02.gif

1回の試行につき,石はその場にとどまるか,2だけ戻るか,2だけ進むかの
いずれかの動き方をします

その場にとどまる確率は(1)より 1/2,
2だけ戻る確率は 1/4, 2だけ進む確率も 1/4 です。

それでは一体,トータルでどういう動き方をすれば
最終的な石の位置の座標が 2n-2 になるのでしょう。

コイン2回投げの試行で,n回すべて+2の移動が起きるとすれば
最終的な座標は 2n になりますね。
2n-2 はその一歩手前なので,
+2の移動が n-1 回,その場にとどまるのが1回であればよいです~
+2の移動 n 回と-2の移動1回ではコイン投げの回数が2nを超えてしまいますので
そのようなパターンはありません。
+2の移動が n-1 回未満では,どう足掻いても座標が 2n-2 である点には
到達することすら出来ません。

したがって,「+2の移動が n-1 回,その場にとどまるのが1回」
に限られてしまうわけです。

あとは反復試行の確率の計算でおしまいです~hiyoko03(1).gif


h4_20130511021207.jpg
h5_20130511021207.jpg


h6_20130511021208.jpg


α,β,γ を求める部分は次のようにやってもOKです~hanaji03.gif



h7_20130511021240.jpg





反復試行の確率計算ではなく確率漸化式を使った解き方も挙げてみたいと思います~

上の解法と同様に,コイン2回投げを1単位として考えることにして,
コインを 2k 回投げた後の石の座標を a_k とおくことにしましょう~

a_k=2k-2 である確率を p_k,
a_k=2k である確率を q_k といてみます。
a_k=2k となるのはコイン2回投げの試行で, 
k 回すべて+2の移動が起きる場合に限られるので
q_k=(1/4)^k であることはすぐ分かりますhaibisukasu01.gif



あとは p_k に関する漸化式を立てて解けばOKです~densya.gif

a_k=2k-2 となるためには, 2(k-1) 回コインを投げた時点で
座標が 2k-2 である点か 2k-4 である点に居なければなりません
(2k である点に居ることはありえません)。

h8_20130511021241.jpg
h9_20130511021241.jpg
h10_20130511021241.jpg
h11_20130511021241.jpg





これで京大前期理系数学の問題は終了ですね~~
お疲れ様でした~~bye05.gif





    
関連記事
スポンサーサイト

テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

コメント

非公開コメント

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。