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2013年東北大学前期入試 理系数学 第1問 その1

2013.05.15 20:01|大学入試問題
どもども。



今回は今年の東北大前期入試の理系数学第1問をやっていきます~




3次方程式の解の設定に関する問題です~~



f(x)=x^3-kx-1 とおいて,3次方程式 f(x)=0 を考えます。
これの3解が α,β,γ なのだそうですよ~

(1)は αβ,βγ,γα を3解に持つ3次方程式 g(x)=0 を作る問題です。
この手の問題は解と係数の関係を使えば良さそうだということは
何となく分かるんじゃないでしょうか~benibara.gif

(2)は f(x)=0 と g(x)=0 が共通解を持つようなkの値を求める問題です~


今回は(1)について考えてみましょう~
α,β,γ は f(x)=0 の解だというのだから
f(x)=(x-α)(x-β)(x-γ) 
   =x^3-(α+β+γ)x^2+(αβ+βγ+γα)x-αβγ
 
と書けます。

係数比較によって,
α+β+γ=k,
αβ+βγ+γα=0,
αβγ=1

が成り立つことが分かります。
これがいわゆる解と係数の関係というやつデスネ~~buta.gif

いま欲しいのはx^3の係数が1であるような
x^3+Ax^2+Bx+C=0 型の3次方程式であって
3解が αβ,βγ,γα であるようなものです。

解と係数の関係から
A=αβ+βγ+γα
B=(αβ)(βγ)+(βγ)(γα)+(γα)(αβ)
C=(αβ)(βγ)(γα)

が成り立たなければならないはずです~~cat_1.gif

A,B,Cはどれも α,β,γ の対称式なので
基本対称式 α+β+γ,αβ+βγ+γα=0,αβγ 
を使って表すことが出来ます。

というわけでちゃちゃっと計算してしまいましょう~~car2_taxi.gif



i1_20130515180808.jpg



難なく攻略出来ましたね~~

でも実はこの(1)に関しては
α+β+γ=k,
αβ+βγ+γα=0,
αβγ=1
の3つのうち, αβγ=1 のみを使うだけでも解いてしまうことが可能です~
考え方自体はこの手の問題でしばしば使えたりするものなので
触れてみたいと思います~dog_happy.gif


一般に f(x)=0 という方程式が0でない解 x=p を持っていたとしましょう。
すると,このとき方程式 f(1/x)=0 は x=1/p を解に持ちます。

今回の方程式 f(x)=0 の3解 α,β,γ はいずれも0ではありません。
なぜなら f(0)=-1 なので x=0 はこの方程式の解ではないからです。

では x を 1/x に置き換えて f(1/x)=0 を考えると
この方程式の解は 1/α,1/β,1/γ になるはずです。
ところで, αβγ=1 だったので

αβ=1/γ, βγ=1/α, γα=1/β

になっていることに気付きまますね。
f(1/x)=0 の解は αβ,βγ,γα なのです~dolphin.gif
1/x=t とおけば t の3次方程式が得られますが,
それこそ g(t)=0 になるわけなんです~~

i10_20130515180831.jpg


元の方程式の解の逆数を解に持つ方程式を作らされる問題というのは
今回の問題のようにしばしば出題されます~
x を 1/x に置き換えるという発想は覚えておいて損はありませんdokuro.gif






このように,解と係数の関係を使えばあっさり解けちゃう問題なのですが,
表立ってこの解と係数の関係に触れずに解こうと思うと結構大変になる可能性はあります
α+β+γ=k,
αβ+βγ+γα=0,
αβγ=1
を導く時点で手間がかかります。

3次方程式の解と係数の関係をど忘れしちゃった人,
あるいは付く符号が「+」か「-」か記憶があやふやで使うのが怖い人
なんてのがいるでしょうねー
(x-α)(x-β)(x-γ) を展開するだけで得られるんですが
単純に公式そのものだけを覚えようとすると
そのことが分からなかったりします。
簡単な公式は導出過程とセットで理解しておきたいものですeto_tora.gif


では,ちょっと回りくどく(1)を解いてみたいと思います。
まずは f(x)=0 は重解を持たない場合を考えてみます。

解と係数の関係を使わないとすると, α,β,γ と f(x)=0 を
繋ぐ関係式は f(α)=0,f(β)=0,f(γ)=0
になるでしょうね。
この3式を起点として,解と係数の関係の3式と同じものを獲得したいと思います~

i2_20130515180808.jpg
i3_20130515180809.jpg
i4_20130515180809.jpg


ちょっと面倒でしたね。でも,この先も面倒です。
解と係数の関係の理解が曖昧だという設定なので,
g(x)を作る場面でも解と係数の関係は封印しておきましょう。

というわけで, g(x)=x^3+Ax^2+Bx+C とおいて
g(αβ)=0,g(βγ)=0,g(γα)=0 の3式を起点にして
係数 A,B,C を決定していきたいと思います~isona.gif

まずは後で使う (αβ)^2+(βγ)^2+(γα)^2 と
(αβ)^3+(βγ)^3+(γα)^3 の値を出しておきます~ipon.gif


i5_20130515180810.jpg


では具体的に A,B,C を求めていきます、
f(x)=0 は重解を持たない設定なので
α,β,γ はすべて異なる値ですが,それに加えて
α,β,γ はすべて (2k)/3 とは異なる値だと仮定しておきます。
あとで確認しますが, f(x)=0 が x=(2k)/3 を解に持つときというのが
重解を持つときなんです~


i6_20130515180810.jpg
i7_20130515180831.jpg
i8_20130515180831.jpg


なかなか面倒臭かったですね~

最後に, f(x)=0 が重解を持つ場合について考察しておきましょう~
一般に多項式 f(x) に対して, f(x)=0 が重解を持つ条件は
f(x)=0 と f’(x)=0 が共通解を持つ
ことですkaeru_en1.gif


実際, f(x)=(x-p)^2・h(x) という形をしているならば
f’(x)=2(x-p)・h(x)+(x-p)^2・h’(x)
となるので f(x)=0 と f’(x)=0 が共通解 x=p を持ちます

逆に, f(x)=0 と f’(x)=0 が共通解 x=p を持つならば
もしも f(x) が (x-p)^2 を因数に持っていないとすれば
f(x)=(x-p)・h(x) (ただし h(p)≠0) と書けるので
f’(x)=h(x)+(x-p)・h’(x) となりますが
f’(p)=h(p)≠0 なので矛盾します


今回の問題の場合, f’(x)=3x^2-2kx=0 の2解は
x=0,(2k)/3 と明快に求められますが,
f(0)≠0 だから,もしも f(x)=0 と f’(x)=0 が共通解を
持つとしたら,その共通解は x=(2k)/3  でなければならないのです。

かくて, f(x)=0 が重解を持つことと f((2k)/3)=0 
が同値であることが分かりましたkuma_fly.gif
f((2k)/3)=0 を満たすkの値はただ1つ k=(-3/2)(2)^(1/3) です。

i9_20130515180831.jpg








それでは次回(2)をやっていきます~~korobo.gif






   
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