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2013年東北大学前期入試 理系数学 第1問 その2

2013.05.17 21:05|大学入試問題
どもども。

今回は前回の続きです~



前回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-104.html


3次方程式の解の設定の問題でした~~

前回は(1)を取り扱ったので,今回は(2)をやりますよ~tukushi.gif


α,β,γを3解に持つ3次方程式 f(x)=x^3-kx^2-1=0 と
αβ,βγ,γαを3解に持つ3次方程式 g(x)=x^3+kx-1=0 
が与えられています。

この2つの方程式が共通解をもつときのkの値を求める問題です~syumai.gif


やり方はいくつか考えられると思います~。


 解法1: f(x)=g(x) が成り立つことに着目する

f(x)=0 の解 x=α,β,γ のうちのどれかが共通解なのだから
x=α が共通解であると仮定しても支障はありません。
ただし,共通解は1つとは限りませんよ~
βやγも共通解になっているかもしれません。

さて, f(α)=0 かつ g(α)=0 を満たすわけなので
そのような x について, f(α)=g(α) が成り立たねばなりませんsuika.gif
このことから, k=0 または α=0 または α=-1
でなければならないという必要条件が得られます。


j1_20130517202033.jpg

ここで得られたαは f(α)=g(α) を満たすもので,
すなわち方程式 f(x)=g(x) の解です。
f(x)=0 の解として得られたわけではありません。
つまり,f(α)=g(α)=0 であるための条件ではありませんkusyami01.gif

そこで, f(α)=0 となるかどうかを吟味しなければいけませんねーmushi.gif



j2_20130517202033.jpg



 解法2: 「αβ,βγ,γα」「α,β,γ」の中に共通解があることに着目する

解法1と同様に共通解をαとおきます。
「αβ,βγ,γα」の中にαと等しいものがあればよいわけですねxmas_tonakai.gif

そこで, α=αβ の可能性と, α=βγ の可能性について
それが起こり得るかどうか調べてみます~。

βとγの対称性から, α=γα の場合は改めて論じる必要はありませんmush.gif
論じたとしても, α=αβ の場合と同様の議論になりますよ~

j3_20130517202034.jpg

j4_20130517202034.jpg

  j5_20130517202034.jpg






 解法3: kを消去する


f(0)≠0 なので, x=0 は方程式の解ではありません。
そこで x≠0 としておきましょう。

f(x)=0 を変形して k について解くと k=(x^3-1)/(x^2)
になります。

同様に, g(x)=0 から k=(1-x^3)/x
が得られます。

共通解があるとすれば,
それは (x^3-1)/(x^2)=(1-x^3)/x の解でなければならないですkawauso.gif

逆に, (x^3-1)/(x^2)=(1-x^3)/x の解 p に対して, k を
k=(p^3-1)/(p^2) で与えてやれば,
x=p は2つの方程式 f(x)=0 と g(x)=0 の共通解になります。
kは実数という仮定を設けているので,そこさえ吟味すればよいわけですhamster_2.gif


j8_20130517202051.jpg
j9.jpg







まぁ,大体こんな感じでしょうかね~

次回は大問2をやっていきましょう~~eto_tatsu.gif









    
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