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2013年東北大学前期入試 理系数学 第2問

2013.05.21 20:11|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東北大学前期入試理系数学第2問をやります~



空間図形の問題です~
空間ベクトルを駆使して解くのがベタなやり方ですね

与えられた四面体OABCの体積を求めたいッ
というのが趣旨の問題で
△OABを底面とみなし,高さCHの長さを求めて
(底面積)×(高さ)×(1/3)
の公式で体積を出す,という流れの問題ですよ~~kashiwamochi02.gif



(→OA)=(→a),(→OB)=(→b),(→OC)=(→c) とおいて
この3つのベクトルを使って色々計算していきますー。

OA=OB=OC=1,∠AOB=60°,∠BOC=∠COA=45°
条件が与えられています。
これで内積 (→a)・(→b), (→b)・(→c), (→c)・(→a)
が計算出来ますね



k1_20130521115630.jpg

△OABは1辺の長さが1であるような正三角形です。
また, △OBC≡△OAC ですね。
ABの中点をMとすると,四面体OABCは平面OCMに関して対称に
なっていることに気付けると多少計算は簡単になりますよ~heart08.gif


(1)(2)までで高さCHの長さを求めます。
(1)は下準備で(→OH)を (→a),(→b) を用いて表示する問題です。

 解法1:(→OH)=x(→a)+y(→b) とおいて OA⊥CH,OB⊥CHに着目する

Hは平面OAB上の点なので,
この平面上の1次独立な2つのベクトル (→a),(→b) の
1次結合で表現することが出来ますね。
そこで,(→OH)=x(→a)+y(→b) とおきましょう~futaba05.gif

x,y を求めたいので連立方程式を作るための
2本の式が欲しいです。
ちなみに,先程述べた立体の対称性に注意すれば
x=y であることが分かるので,それを利用するならば
式は1本あれば十分ですね。

ここで CH⊥(平面OAB) に着目します。
ここから分かることは, CH は平面OAB上の任意の線分と垂直であるということですbye03.gif

空間図形が苦手な人だと,この類の把握も苦手なことが多いようです。
たとえば CH⊥OA であるはずなのですが,
図を見ると斜めな感じに交わってるように見えて
とてもこの2つの線分が直交しているなどと気付けなかったりします。
ですが, CH⊥(平面OAB) であるので直交します。
平面OABを水平面と思いましょう。
その平面に対して鉛直方向に(→HC)が伸びている。
そういう見方が出来れば CH⊥OA のみならず
CH⊥OB, CH⊥AB, CH⊥OH, CH⊥AH, CH⊥BH なども
納得できるのではないでしょうかbeen.gif


k15.jpg

というわけで,平面OAB上のベクトルを2つ適当に選んで
(→CH)との内積が0になることで2本の関係式が得られます。

当然ながら,なるべく計算が簡単になるような
2つのベクトルを選ぶのが賢明なわけです。
そこで (→OA)=(→a),(→OB)=(→b) を選択するのが良いと思いますbuta(2).gif


k2_20130521115630.jpg
k3_20130521115630.jpg


 解法2:(→OH)=k・{(→a)+(→b)}/2 とおけることに着目する

今度は対称性から x=y となることと同等の考え方をしてみます。
Cから平面OABに下した垂線の足がHでした。
このHは一意的に定まります。
ABの中点をMとすると,Hは△OAM側にあるか△OBM側にあるかということになりますが
対称性と一意性から,Hは△OAMと△OBMの共通部分である
OM上にあることが分かりますrabi_happy.gif

(→OM)={(→a)+(→b)}/2 なので(→OH)はその定数倍です。

k5_20130521115631.jpg
k6_20130521115631.jpg


ちなみに (→CH)・(→a)=0 ではないもの,
例えば (→CH)・(→OH)=0 などで立式すると以下のようになり,
やはり計算が多少面倒になっていますladybug.gif


k7_20130521115657.jpg


 解法3:(→CH)=x(→CA)+y(→CB)+z(→CO) (x+y+z=1) とおけることに着目する

Hは平面OAB上の点だったので,
(→CH)=x(→CA)+y(→CB)+z(→CO) (x+y+z=1) 
という形で書くことができましたhiyob_uru.gif


k4_20130521115631.jpg

得られたものは解法1で出てきた(→CH)の形と同じものですねkasabake.gif
あとは解法1と同様にやればOKです~。





次は(2)を考えてみましょう~。
CHの長さを求める問題です~
(1)で求めた(→OH)の表示式をヒントに考えます。

 解法1:△OCHに三平方の定理を使う

△OCHは∠OHC=90°の直角三角形です。
OC=1 は分かっているので,あとは OH=|(→OH)| を求めれば,
三平方の定理が使えますbuta.gif


k10_20130521115657.jpg

 解法2:|(→CH)|を計算する

(→CH)=(→OH)-(→OC) なので
|(→OH)-(→OC)|^2 の値をガリガリ計算してもOKですね~benibara.gif


k11_20130521115658.jpg


 解法3:OH=s,CH=t とおいてs,tの連立方程式を立てる


今度は(1)と(2)を並行して解いてみる考え方をしてみます。
OH=s,CH=t とおいて, s と t を求めようという発想ですaicon_bbs19.gif
ベクトルに固執しないで空間幾何の問題と思って解いていきます。

OB上に OB⊥CD となる点Dを取ります。
四面体OCDHに着目して,s,t に関する連立方程式を立てます。
3つの三角形OCH,CDH,OCDが直角三角形であること,
対称性から ∠BOH=30° であることなどがポイントです

k8_20130521115657.jpg
k9_20130521115657.jpg



 解法4:△OCMの3辺の長さからOH,HMの長さを求めてみる

k16.jpg

またまた(1)(2)を並行して解いていきます~aicon331.gif
△OBCにおいて,余弦定理を使えばBCの長さが出せます。
△BCMは∠CMB=90°の直角三角形で,BM=1/2なので
CMの長さが三平方の定理より導けます。
また,OC=1,OM=√3/2 です。

これで△OCMの3辺の長さが分かることになります。
この3辺が分かると,OHとHMの長さを求めることが可能になります。
それが分かれば OH:HM の比に着目して(→OH)を計算出来ますし
△OCHに三平方の定理を適用させてCHの長さも出すことができます~cake.gif


k12_20130521115658.jpg
k13_20130521115711.jpg







このように,CHの長さを求めるまでには
様々な考え方ができるようですね~~


最後(3)は四面体OABCの体積を求めておしまいです~aicon338.gif


△OABを底面とみなすので
底面積は△OABの面積を計算すればOKです~
それに高さCHの長さを掛けて,1/3をかけて終わりですね~


k14.jpg







それでは次回は第3問をやっていきましょう~~aicon432.gif








    
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