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2013年東北大学前期入試 理系数学 第3問 

2013.05.24 12:07|大学入試問題
どもども。


今回は今年の東北大前期入試の理系数学第3問をやります~




確率の問題です~

AとBの2人がさいころを投げ合うという,
非常によくあるシチュエーションですよ~tree02(1).gif

A → B → A → B → A → B → ……
と交互にさいころを投げていきます。
自分の投げたさいころの出目の総和が先に6以上になった方の勝ち
というルールです~

各ターンでAとBがさいころを同時に投げる,のではないので
先攻のAの方が確実に有利ですね。
1発目でAが6の目を出しちゃったら,そこでもうゲーム終了です。

今回はそんなシチュエーションのもとで様々な確率を考えていきます。


(1)はAがさいころをちょうど2回投げた所でAが勝利する確率を出す問題ですkoinoburi08.gif

A,Bどちらにも言えることとして,
さいころを2回投げたとき,(1回目の出目,2回目の出目)の組は
全部で 6×6=36 通りあります。
このさいころ2回投げパターンの問題は恐らく今まで何度も見てきたのではないでしょうか。
全36パターンは以下のように表の形式でまとめるか
あるいは樹形図の形式でまとめるかして書き出しておくとミスが減るかもしれません
全てのパターンがビジュアル的に確認できるようにしておいて,
あとは問題を解く上で条件を満たす候補を数え上げていけばよいのです。

l1_20130524023412.jpg


Aが2回目のさいころ投げで勝利するということは,
A → B → A の順に投げることになるので,Bは1回しかさいころを投げません。
Aの1投目の出目は6以外でなければなりません。
そして1投目と2投目の出目の和が6以上にならなければいけませんkaeru0-02.gif

このような条件を満たす目の出方は全部で20通りあるんですが
計算で20という数字を導き出すよりも
該当するものを書き出してしまう方が分かりやすい気がします。
さいころ2回投げるパターンの問題ではそういう事が多いですね。

一方,Bに関しては1投目の出目は6以外であればOKです~。
つまり1~5の5通りですね。

AとBのさいころ投げの試行は互いに独立なので
A側の確率とB側の確率の積を計算すればOKです~s2_sum_sunflower.gif


l2_20130524023413.jpg

 l3_20130524023413.jpg


A側の目の出方は20通りだったんですが,
全体が36通りですから,余事象にあたる目の出方は16通りあります。
そっちの方を数えた方が実は早かったようですねs2_sum_katori.gif

また,(Aの1回目の出目,Aの2回目の出目,Bの1回目の出目)の組を考えて
積の法則から 20×5=100 通りとして 100/216=25/54
とするのも良いですね





(2)は2回ずつ投げたところでBが勝つ確率を求める問題です~
A → B → A → B の順に投げるということですね。

A側は,2回投げた時点でまだ総和が6未満であれば良いですね。
2回投げた時点で出目の和は最小でも2なので(2回とも1だったときですね),
出目の和は2,3,4,5の可能性があります。
この条件を満たすものを数え上げていくと全部で10通りありますtankoro.gif

一方で,B側は2回投げた時点で出目の和が6以上になるので
これは(1)のAの目の出方と同じように考えればいいので20通りになりますねwaraioni.gif


l4_20130524023414.jpg

今度は試しに余事象の確率を計算してみましょうか
「2回投げた時点でBが勝利する」の余事象は
「 ・1回投げた時点でAかBが勝つ
  ・2回投げた時点でAが勝つ
  ・2回ずつ投げた時点でまあ勝敗が決まらない
 のどれかになる」

です~s1_spr_chulip.gif
この3パターンの確率を足し合わせたものが余事象の確率です。
3パターンのうち「2回投げた時点でAが勝つ」は(1)で求めたものです。

l5_20130524023414.jpg

(1)で求めた結果も使えるし楽に計算できるかとも思いましたが
いざやってみると正攻法で攻めたほうが早そうですねs2_sum_hotaru.gif







最後は(3)です~~
今度は3回ずつ投げても勝敗が決まらない確率を求める問題ですよー

これは上の余事象の確率を計算する別解の中の
「2回ずつ投げた時点でまあ勝敗が決まらない」のやり方と同様にやればOKです。
(1回目の出目,2回目の出目,3回目の出目)の組を考えたとき
この3数の和が6未満になるようにすればよいわけですが,
和の最小値は3なので,考えられる可能性は,出目の和が3,4,5の場合です。

さいころ3回投げともなると,数え上げで考えるのが大変になることも多いですが
今回の条件であれば十分数え上げでいけます~rokuro.gif


l6_20130524023415.jpg


数え上げの仕方として,
2回目までの出目の和が何かで分類して数えるというのでもいいですねーrobo.gif
2回目までの出目の和が4以下であればいいですよー

l7_20130524023427.jpg






それでは次回は第4問やっていきます~~risu.gif







    
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